西工大-概率论与数理统计：抽样分布.pptx

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1、下下回回停停第三节第三节 抽样分布抽样分布一、问题的提出一、问题的提出二、抽样分布定理二、抽样分布定理一、问题的提出一、问题的提出 由于统计量依赖于样本由于统计量依赖于样本, ,而后者又是随机变量而后者又是随机变量, ,这一节这一节, 我们来讨论我们来讨论正态总体正态总体的某些统计量的的某些统计量的精确抽样分布精确抽样分布.布就是统计量的分布布就是统计量的分布.概率分布概率分布.称这个分布为称这个分布为“抽样分布抽样分布”. 也即抽样也即抽样分分故统计量也是随机变量故统计量也是随机变量,因而统计量就有一定的因而统计量就有一定的12,nXXX设设随随机机变变量量列列相相互互独独立立 且且二、抽样

2、分布定理二、抽样分布定理性性函函数数则则它它们们的的任任一一确确定定的的线线nnniiiiiiiiiC XNCC22111(,)引理引理), 2 , 1(),(2niNXiii 12,.nC CC其其中中为为不不全全为为零零的的常常数数iniiniiiiniiCXECXCE 111)()(212121iniiniiiiniiCXDCXCD )()().,(12211 niiiiniiiniiCCNXC ,21独独立立且且均均为为正正态态变变量量由由于于nXXX证证1,niiiC X 故故它它们们的的线线性性函函数数仍仍为为正正态态变变量量 又又所以所以12,设设随随机机变变量量列列相相互互独独

3、立立同同分分布布于于nXXX性性函函数数则则它它们们的的任任一一确确定定的的线线22111(,)nnniiiiiiiC XNCC特例特例2N( ,)， 12,.nC CC其其中中为为不不全全为为零零的的常常数数特别特别1,当当iCn 211( ,).niiXNnn 1. 样本来自单个正态总体样本来自单个正态总体定理定理5.3而而是是来来自自总总体体设设样样本本,),(21XXXXn),(2 NX样样本本均均值值则则)1(),/,(121nNXnXnii 或或2(0,1).XXUnNn . 数学期望数学期望估计总体估计总体目的：目的：注：注：时，时，一般一般当当)30(1 nn，近近似似)1,

4、0( NnXU ).()(2XDXE ，其中其中X若若总总体体 不不服服从从正正态态分分布布，由由林林德德贝贝格格列列维维中中心心极极限限定定理理知知，2222221*()(3)nnnnSnSSVn ) 1(2 n .2是是样样本本方方差差其其中中nS212)(1XXnii 22*(2).nnXSS与与或或独独立立.:2 估计估计目的目的的平均偏离程度的平均偏离程度样本关于样本关于X期望的偏离程度期望的偏离程度关于总体关于总体均值均值样本样本XnXD:)(2 niiXnX22211V) 1() ( niiXn22211() ( ) 与下式的区别与下式的区别注意注意注注自由度减少一个自由度减少一

5、个!),1(2 n 2211()niiVXX 减少一个自由度的原因：减少一个自由度的原因：.),2 , 1(不相互独立不相互独立niXXi 事实上，它们有一个约束条件：事实上，它们有一个约束条件： niiXX1 niiXnX1)(1 niiXnX1. 001 2*2nUS 若若将将标标准准样样本本均均值值 中中的的用用代代替替，常常常常是是未未知知的的，差差在在实实际际问问题题中中，总总体体方方2 则则有有如如下下推推论论：212nXXXN(,)( ,), 设设是是总总体体的的样样本本证证),1 , 0(/NnXU ),1()1(222* nSnVn 且两者独立且两者独立, 由由 t 分布的定

6、义知分布的定义知1 nVU).1( nt(4)*2=(1)./1nnnXXXTt nSnSnSn )1()1(/22* nSnnXn T则则有有样样本本方方差差分分别别是是样样本本均均值值和和修修正正,2*nSX例例1 )250,2250(2NX命命某某厂厂生生产产的的灯灯泡泡使使用用寿寿记样本均值，记样本均值，以以X)250,2250(2nNX则则现进行质量检查，方法如下：任意挑选若干个现进行质量检查，方法如下：任意挑选若干个灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2200h，就，就认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使通过检认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使通过检验的概

7、率超过验的概率超过0.997，问至少检查多少只灯泡，问至少检查多少只灯泡.解解)250)22502200(250)2250()2200( nXnPXP所所以以997. 0)5(1250)22502200(1 nn所以，要是检查能通过的概率超过所以，要是检查能通过的概率超过0.997，至，至灯泡的寿命灯泡的寿命即即少应该检查少应该检查190只灯泡只灯泡.1 0.997()0.99719055nnun 定理定理5.42. . 样本来自两个正态总体样本来自两个正态总体.相相互互独独立立与与YX),(121nXXX样样本本总体总体X和和Y，则，则分分别别来来自自与与),(221nYYY),()1(22

8、212121nnNYX );1 , 0(/)()(22212121NnnYX 或或221122(,),(,),XNY N 若若),2(11)()(212121 nntnnSYXTw 时，当22221)3(.,2)1()1(2212*222*112wwwSSnnSnSnS 其中其中本本的的修修正正分分别别是是来来自自两两个个总总体体样样和和2221 SS).1, 1(/(2)21222*2212*1nnFSSF;样样本本方方差差证证2111(,)XNn 22121212(,)XYNnn2222(,)YNn ),()1(22212121nnNYX );1 , 0(/)()(22212121NnnY

9、X 或或122212120 1XYNnn()()( , ). ),()(*111221211nSn ),1() 1(22222*22 nSn 22*12 S , S , 由由假假设设独独立立 分布的定义知分布的定义知则由则由F22*112212221122(1)(1)(1,1),(1)(1)nSnSF nnnn . )1, 1(/21222*2212*1 nnFSSF 即即).1, 1(/(2)21222*2212*1nnFSSF),2(11)()(212121 nntnnSYXTw 时，当22221)3(.,2)1()1(2212*222*112wwwSSnnSnSnS 其中其中),(221

10、221nnNYX 212111)()( nnYXU ),1 , 0( N),1() 1( 1222*11 nSn 由由),1()1(2222*22 nSn 分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它们相互独立且它们相互独立2, ),2(212 nn 分布的定义分布的定义按按相互独立相互独立与与由于由于tVU,22111 *)(SnV22221 *)(Sn )2/(21 nnVUT212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt例例2)9 , 2(),4 , 0(,NYNXYX相互独立，相互独立，设设).13, 2(,NbYaXba 使得使得试求正实数试求正实数bbYaEXbYaXE2)(

11、解解因为相互独立正态随机变量的线性和仍为因为相互独立正态随机变量的线性和仍为 1394220,22babba，且，且由由所以所以. 1,1 ba得得222294)(baDYbDXabYaXD 正态，且正态，且例例32129,( ,)XXXN 设设是是来来自自正正态态总总体体的的样样本本).2( tZ试证明：试证明：)3,(),6,(2221 NYNY因为因为解解记记 97261131,61iiiiXYXY相相互互独独立立且且21,YY 97222)(21iiYXSSYYZ)(221 )2, 0(221 NYY ）（）（从从而而有有1 ,0221NYY 独独立立）（与与且且又又因因为为 2122

12、22222),2(2YYSS ).2()2/(2/ )(2)(2222121tSYYSYYZ 所以所以所以所以例例4nXXX,212nXS和和),(2 N设设是来自正态总体是来自正态总体分别为样本均值与方差分别为样本均值与方差,又设又设),(21 NXn 且与且与nXXX,21相互独立，相互独立，试求常数试求常数C 使得使得221() /nnFC XXS 服从服从F(1,n-1).解解因为因为),(),(212 NXnNXn 所以，由正态分布的线性性得所以，由正态分布的线性性得)1, 0()(21 nnNXXn 因此因此)1 , 0(1)(1NnnXXn )1(222 nnSn )1, 1(1

13、1)()1/(1/1)(2212221 nFnnSXXnnSnnXXnnnn 另一方面，有样本方差的性质知另一方面，有样本方差的性质知且且22211)( nnnSnnXX与与 相互独立相互独立 所以，由所以，由F 分布的定义知分布的定义知所以所以)1(1)(221 nnXXn从而有从而有C=(n-1)/(n+1).内容小结内容小结抽样分布定理抽样分布定理1 1 单正态总体的抽样分布定理单正态总体的抽样分布定理（定理（定理5.35.3）2 2 两正态总体的抽样分布定理两正态总体的抽样分布定理（定理（定理5.45.4）备用题备用题例例1-1),(,221 NXXXn为为来来自自正正态态总总体体设设

14、X则则样样本本均均值值的的一一个个简简单单随随机机样样本本，为常数，则为常数，则ia服从，又若服从，又若 niiiXa1服从服从.因为相互独立的正态随机变量的线性函数服从因为相互独立的正态随机变量的线性函数服从正态分布正态分布因而因而nXDXE2, ),(2nNX 得得同样同样 niiiniiniiiniiaXaDaXaE122111, 所以所以),(12211 niiniiniiiaaNXa 解解例例1-2nN中中抽抽取取容容量量为为从从正正态态总总体体)36,4 .3(）内内的的，值值位位于于区区间间（的的样样本本，若若要要求求样样本本均均4 . 54 . 1少少？，则则样样本本容容量量至

15、至少少为为多多概概率率不不小小于于95. 0解解 (3.4)(0,1)6n XN 因此因此, 样本容量样本容量n至少取至少取35.以以X表示样本均值，则表示样本均值，则(1.45.4)(3.42)PXPX所所以以)6264 . 3(nXnP 95. 01)3(2 n57.34 n例例1-3111111niijjjj iVXXXnn ),(,2121NXXXn为为来来自自正正态态总总体体设设 则则),1,2,1(1111 niXnXVnjjii服从服从iV).1, 0(2 nnN解解11111njjjj inXXnn 121,iniVXXXV 由由于于是是的的线线性性函函数数，所所以以服服从从正

16、正态态分分布布。11111nijjjj inEVEXEXnn 21122221)1(11 nnnnnDVnijji. 1, 1),1, 0(2 ninnNVi 所以所以111011njj innn 例例1-4且独立且独立是同一正态总体是同一正态总体与与设设),(221 NXX两两个个样样本本均均值值，试试取取得得的的样样本本容容量量相相同同的的离离，使使得得两两样样本本均均值值的的距距确确定定样样本本容容量量 n.01. 0的概率不超过的概率不超过超过超过 解解)2, 0(221nNXX )/2/2()(222121nnXXPXXP 于于是是且独立，故且独立，故由于由于, 2 , 1),(2

17、inNX 01. 0)2(1 2 n1 0.995()0.9952.57513.2622nnun 时满足条件！时满足条件！故当样本容量故当样本容量14 n此时样本距离超过标准差的可能性不大于此时样本距离超过标准差的可能性不大于0.01.等价于等价于例例1-5个样本个样本从中抽取从中抽取设总体设总体100),20,80(2NX所所以以因因为为),20,80(2NX)1 , 0(280NX 的概率的概率.解解 )23280()380( XPXP因因而而.1336.0)203(2 3之之差差的的绝绝对对值值大大于于求求样样本本均均值值与与总总体体均均值值例例1-6的的样样本本，那那么么是是来来自自设

18、设)25,(,21 NXXXn.95.0)1( XPn取取多多少少时时，才才能能使使因此因此样本均值样本均值),25,(nNX 解解95. 01)5/(2)/251/25()1( nnnXPXP 04.96975. 0)5( nn所所以以因此，当因此，当n至少取至少取97时，满足上述条件时，满足上述条件.例例2-1的两个独立的样本，求的两个独立的样本，求)3 ,20(N是来自总体是来自总体和和设设),(),(15211021YYYXXX解解),103,20(101101NXXii ),153,20(151151NYYii YX ),21, 0()153103, 0(NN .3 . 0 YXP)

19、1 , 0(21NYX 故故3 . 013 . 0 YXPYXP从而从而 213 . 0211YXP)23 . 0(1 2 .6744. 0)6628. 01(2 例例2-2), 0(,24321NXXXX来来自自总总体体设设122234?XXTXX 的的分分布布为为)1 , 0(2),2 , 0(221221NXXNXX 于是于是于于是是独独立立同同分分布布于于与与),1 , 0(2423NXX 解解)2(2224223 XX 则则统统计计量量分分布布的的定定义义由由t).2(242321tXXXX 即即)2(2/222423221tXXXX 的的是来自正态是来自正态设设), 0(,221

20、NXXXn试试求求为为样样本本均均值值和和标标准准差差，和和样样本本，nSX./的的概概率率分分布布统统计计量量nSXU 解解)1(11/ ntnSXnSXnn)(uSXPuUPuFn 5.31由由定定理理的的推推论论 知知:)(UFU的分布函数的分布函数先求先求)1(11)1(unFunnSXPntn 例例3-11)1()()()1( nunFuFupnt的的分分布布密密度度为为所所以以， U1)1()1( nunpnt11)1(1)21()1()2(22 nnunnnnnn.)1()21()2(22nunn 例例3-2 是是修修正正是是样样本本均均值值，设设总总体体2*2),(nSXNX

21、量量样样本本容容量量，则则常常用用统统计计样样本本方方差差， n).1(2 n U=_ 服从服从 N(0,1), T=_服从服从t(n-1), M=_ 服从服从解解)1 , 0(/NnX )1()1(222* nSnn 由抽样分布的性质知由抽样分布的性质知所以所以).1()1/()1(/)(22*2* ntnSnnXSXnTnn 22*)1(/ nSnnX 与与同时同时相互独立相互独立常见三大分布常见三大分布卡方分布卡方分布t 分布分布F分布分布此类问题的关键在于熟练掌此类问题的关键在于熟练掌握常见分布的构造性质握常见分布的构造性质例例4-1(有问题）有问题）)2 , 0(, )2 , 0(2

22、21221 NXXNXX 由条件由条件)1(2),1(222212221 XXXX故故且且又又, 0VarVar),(Cov212121 XXXXXX解解，于是，于是服从正态分布，故独立服从正态分布，故独立2121,XXXX .)(), 0(,22121221的分布的分布试求试求设设XXXXYNXX ).1 , 1()2/ )()2/ )()(22122122121FXXXXXXXXY 例例4-2. 5 . 0)1(),1 , 1( XPFX证明证明设随机变量设随机变量则则分分布布的的性性质质知知，若若由由),1 , 1( FXF)1 , 1(/1FXY )1()1( YPXP从从而而, 1)

23、1()1( XPXP又因为又因为. 5 . 0)1( XP所以所以解解注注 本题分布换成具有相同自由度的本题分布换成具有相同自由度的F(n,n)亦亦有相同的结论！有相同的结论！)1()1/1( XPXP例例4-3)4 , 0(,),1 , 0(321NYYYNX.,23222122221YYYSSXTSXT )1(22 X设设且相且相解解因为因为3 , 2 , 1),4 , 0(),1 , 0( iNYNXi所以所以3 ,2 , 1),1 ,0(2 iNYi)3(422 S进而有进而有互独立，试求下列统计量的期望及互独立，试求下列统计量的期望及1T方差方差.)3(3/ )4(322tSXSX

24、)3 , 1(3/41/122222FSXSX 所以，由所以，由T 分布的性质知分布的性质知0323211 SXEET由抽样分布的性质可知由抽样分布的性质可知3321211 SXDDT. 31212122 SXEET由由F 分布的性质知分布的性质知例例4-4的的样样本本，中中取取一一组组容容量量为为设设在在总总体体nN),(2 *2*2.nnESDS和和*222(1)(1)nnSn 其中参数未知，求其中参数未知，求解解故有故有*22(1)()1,nnSEn *22*22(1)()1nnnSESEn 因为因为*2222(1)()1nnSEn *22(1)()2(1)nnSDn 于是于是*22*22(1)()1nnnSDSDn 又因为又因为*2242(1)2().11nnSDnn