专题7.2 立体几何中的折叠问题-2019届高三数学提分精品讲义.doc

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1、专题七分析几多何征询题二：立体几多何中折叠征询题一、考情分析立体几多何中的折叠征询题是历年高考命题的一大年夜抢手与难点,要紧包括两个方面：一是立体图形的折叠征询题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等征询题；二是几多何体的表面展开征询题,要紧涉及到几多何体的表面积以及几多何体表面上的最短距离等.二、阅历分享(1)立体几多何中的折叠征询题要紧包括两大年夜征询题：立体图形的折叠与几多何体的表面展开.把一个立体图形按照某种恳求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系跟数量关系上的变卦,这的确是折叠征询题.把一个几多何体的表面伸展为一个立体图形从而研究几多何体表面上的距离征

2、询题,这的确是几多何体的表面展开征询题.折叠与展开征询题是立体几多何的两个要紧征询题,这两种办法的改动正是空间几多何与立体几多何征询题转化的汇合表达,展开与折叠征询题的确是一个由抽象到直不雅观,由直不雅观到抽象的过程.此类征询题也是历年高考命题的一大年夜抢手.(2)立体图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变卦的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)不发生变卦，我们称其为“波动量求解立体几多何中的折叠征询题，抓住“波动量是关键(3)把曲面上的最短路途征询题使用展开图转化为立体上两点间距离的征询题，从而使征询题失落失落处置，这是求曲面上最短路途的一种常用办法.三、题型分析(一)立体图形的折叠解答

3、折叠征询题的关键在于画好折叠前后的立体图形与立体图形,抓住两个关键点：波动的线线关系、波动的数量关系.波动的线线关系,尤其是立体图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点跟要紧按照；波动的数量关系是求解几多何体的数字特色,如几多何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的要紧按照.1.折叠后的形状揣摸【例1】如以以下列图,在以下六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,可以围成正方体的是_(恳求：把你以为精确图形的序号都填上)【分析】按照立体图形的特色,想象立体图形折叠后的图形停顿揣摸.也可使用手中的纸片画出呼应的图形停顿折叠.【小试牛刀】以以下列图代表

4、未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是A.B.C.D.【答案】B【分析】将立体展开图恢复成正方体后,三个面内的线段是平行的,应选B.2.折叠后的线面关系【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿歪边BC的中线折起失落失落空间四边形ABCD(如图2),那么在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是()图1图2A订交且垂直B订交但不垂直C异面且垂直D异面但不垂直【答案】C【分析】在图1中的等腰直角三角形ABC中,歪边上的中线AD的确是歪边上的高,那么ADBC,折叠后如图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD、CD,这两条线段与AD垂直,即ADBD,ADCD,故

5、AD立体BCD,因此ADBC.【小试牛刀】【2017届浙江省宁波市高三上学期期末】如图,在正方形ABCD中,点E,F分不为边BC,AD的中点,将沿BF所在直线停顿翻折,将沿DE所在直线停顿翻折,在翻折过程中A.点A与点C在某一位置可以重合B.点A与点C的最大年夜距离为C.直线AB与直线CD可以垂直D.直线AF与直线CE可以垂直【答案】D【分析】A不精确,点恒不重合；不成破,点跟点的最大年夜距离是正方形的对角线；不精确,不可以垂直；.当立体立体时,立体立体,直线跟直线垂直,应选D.3.折叠后几多何体的数字特色折叠后几多何体的数字特色包括线段长度、几多何体的表面积与体积、空间角与距离等,方案征询题

6、综合、单方面,也是高考命题的重点.处置此类征询题的关键是精确判定折叠后几多何体的结构特色以及立体图形折叠前后的数量关系之间的对应.【例3】体积征询题如以下列图,等腰的底边,高,点是线段上异于点的动点,点在边上,且,现沿将折起到的位置,使,记,表示四棱锥的体积1求的表达式；2当为何值时,取得最大年夜值？【分析】1由折起的过程可知,PE立体ABC,V(x)=2,因此时,V(x)单调递增；时,V(x)单调递减；因此x=6时,V(x)取得最大年夜值.【小试牛刀】【2016届河南省信阳高中高三上第八次大年夜考】平行四边形ABCD中,=0,沿BD将四边形折起成直二面角A一BDC,且,那么三棱锥ABCD的外

7、接球的表面积为ABCD【答案】C【例4】空间角征询题如左图,矩形中,、分不为、边上的点,且,将沿折起至位置(如右图所示),贯串连接、,其中.()求证:立体；()求直线与立体所成角的正弦值.ACDBEF图图ABCDPEF【分析】()由翻折波动性可知,在中,因此在图中,易得,在中,因此又,立体,立体,因此立体.()办法一:以为原点,树破空间直角坐标系如以下列图,那么,因此,设立体的法向量为,那么,即,解得令,得,设直线与立体所成角为,那么.因此直线与立体所成角的正弦值为.办法二:过点作于,由()知立体,而立体因此,又,立体,立体,因此立体,因此为直线与立体所成的角.在中,在中,由等面积公式得在中,

8、因此直线与立体所成角的正弦值为.【点评】折叠征询题分析求解两原那么：(1)折叠征询题的探究须充分使用波动量跟波动关系；(2)折叠前后不断位于折线的同侧的几多何量跟位置关系保持波动.【小试牛刀】【2017届陕西省西安市高三模拟一】如图：在直角梯形中,于,把沿折到的位置,使,如图,分不为,的中点(1)求证：立体；(2)求立体与立体的夹角.【答案】1详看法析；2.【分析】1在中,.又,面,面,.,面.树破如图空间直角坐标系,那么,设面的法向量,那么,面.2由题意知面的法向量,设立体的法向量,那么,来源:Zxxk.Com.立体与立体的夹角为.(二)几多何体的展开几多何体表面展开征询题是折叠征询题的逆向

9、思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的征询题,解题时不妨将它展开成立体图形试一试.1.展开后形状的揣摸【例5】把正方体的表面沿某些棱剪展开成一个立体图形如右以以下列图,请按照各面上的图案揣摸谁人正方体是分析：这是图模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右四个面,有“空心圆的正方形做“上面,显然是正方体C的展形图,应选C.【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分不必“后面、后面、上面、上面、左面、左面表示.如右图,是一个正方体的立体展开图,假设图中的“似表示正方体的后面,“锦表示左面,“程表示上面.那么“祝、“你、“前分不表示正方体的_.【分析】谁人展开图是图的状况,题目给出“程

10、做底面,“似做后面,显然,“祝是后面,“前跟“你是往右边翻折的,因此“前是左面,“你是上面.因此,依次填：“后面、“上面、“左面.【点评】正方体展开头阅历口诀:正方体盒巧展开,六个面儿七刀裁;十四条边布周围,十一类图记清晰;四方成线两相卫,六种图形巧组合；跃马失落蹄四分开；两两错开一路径.迎面相隔不相连,识图巧排“7、“凹、“田.在正方体的展开图中,一条直线上的小正方形不会逾越四个.正方体的展开图不会有田字形,凹字形的形状.2.展开后的数字特色表面上的最短距离征询题【例6】如图,已经清楚圆柱体底面圆的半径为,高为2,分不是两底面的直径,是母线假设一只小虫从A点出发,从正面爬行到点,求小虫爬行的

11、最短路途的长度【点评】几多何体表面上的最短距离需要将几多何体的表面展开,将其转化为立体内的最短距离,使用立体内两点之间的距离最短求解.但要留心棱柱的正面展开图可以有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把差异展开图中的最短距离停顿比较,寻出其中的最小值.【小试牛刀】如图,在长方体中,求沿着长方体表面从到的最短路途长.分析：在长方体的表面上从到有三种差异的展开图.1将面绕着折起,失落失落的立体图形如图1所示：那么,在直角中,.2将面绕着折起,失落失落的立体图形如图2所示：那么,在直角中,.3将面绕着折起,失落失落的立体图形如图3所示：那么,在直角中,.显然,故沿着长方体表面从到的最短路途长为.四

12、、迁移使用1.【2017辽宁省六校协作体下学期期初】已经清楚一个圆柱的底面半径跟高分不为跟,正面展开图是一个长方形,谁人长方形的长是宽的2倍,那么该圆柱的表面积与正面积的比是()A.B.C.D.【答案】A【分析】由题设,即,因此圆柱的表面积与正面积的比是,应选答案A.2.【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形的歪边上的中线为折痕，将与折成互相垂直的两个立体，失落失落以下四个结论：立体；为等边三角形；立体立体；点在立体内的射影为的外接圆圆心.其中精确的有A.B.C.D.【答案】C【分析】由于三角形为等腰直角三角形,故,因此立体,故精确,打扫选项.由于,且立体立体,故立体,因此,由此可

13、知,三角形为等比三角形,故精确,打扫选项.由于,且为等边三角形,故点在立体内的射影为的外接圆圆心,精确,应选.3.【2017河南省信阳市上学期期末教学质量监测】已经清楚梯形如以以下列图所示,其中,为线段的中点,四边形为正方形,现沿停顿折叠,使得立体立体,失落失落如以下列图的几多何体.已经清楚当点称心时,立体立体,那么的值为A.B.C.D.【答案】C【分析】由于四边形为正方形,且立体立体,因此两两垂直,且,因此树破空间直角坐标系如以下列图,又由于,因此,那么,设立体的法向量为,那么由得,取,立体的法向量为,那么由得,取,由于立体立体,因此,解得.应选C.4.【2016学年湖南师大年夜附中第三次检

14、测】如图是棱长为1的正方体的立体展开图,那么在谁人正方体中,以下结论差错的选项是A点到的距离为B与所成角是C三棱锥的体积是D与是异面直线【答案】D【分析】按照正方体的立体展开图,画出它的立体图形如以下列图,中到的距离为,精确；与所成角是,精确；三棱锥的体积是,精确；,差错5.【2016学年四川省成都七中】把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大年夜时,直线和立体所成的角的大小为度A90B60C45D30【答案】C【分析】折叠后所得的三棱锥中易知当立体垂直立体时三棱锥的体积最大年夜设的中点为,那么即为所求,而是等腰直角三角形,因此,应选C6.【辽宁省辽阳市2018学届高三第一次模拟】

15、如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，为圆上的点，分不以，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分不以，为折痕折起，使得，重合，失落失落一个四棱锥，当该四棱锥的正面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为_【答案】【分析】如图：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x，那么OI=，.由于该四棱锥的正面积是底面积的2倍，因此，解得设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，那么，解得，外接球的体积7【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】表面积为的球面上有四点,且是边长为的等边三角形,假设立体在侧棱长为的正三棱锥中,过作截面,交于,交于,那么截面周长

16、的最小值为_来源:【答案】6【分析】将棱锥的正面沿侧棱展开,如图,的长的确是截面周长的最小值,由题意,由等腰三角形的性质得.8.如以下列图,在四边形中,将四边形沿对角线折成周围体,使立体立体,那么以下结论精确的选项是1；2；3与立体所成的角为；4周围体的体积为【答案】24【分析】立体立体立体,与立体所成的角为,周围体的体积为,综上24成破9【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】如图,矩形中,为边的中点,将沿直线翻折成,假设为线段的中点,那么在翻折过程中,上面四个选项中精确的选项是(填写所有的精确选项)1是定值2点在某个球面上运动3存在某个位置,使4存在某个位置,使立体【答案】1241

17、0【四川省广元市高2018届第二次高考适应性统考】如图，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且立体立体.求证：；求二面角的大小.【答案】证明看法析；.【分析】证明：，取的中点，贯串连接，那么，立体立体，立体，从而立体，如图树破空间直角坐标系，那么、，从而=4,0,0，.设为立体的法向量，那么可以取设为立体的法向量，那么可以取因此，有，即立体立体，故二面角的大小为.11【2017安徽省黄山市上学期期末质量检测】如图1,在中,是歪边上的高,沿将折成的二面角.如图2.1证明：立体立体；2在图2中,设为的中点,求异面直线与所成的角.【答案】1证明看法析；2.【分析】1证明：由于折起前是边上的

18、高,那么当折起后,又,那么立体,由于立体,因此立体立体2解：取的中点,贯串连接,那么,因此为异面直线与所成的角,贯串连接、,设,那么,在中,在中,由题设,那么,即,从而,在中,在中,在中,因此异面直线与所成的角为.12【2017辽宁省六校协作体下学期期初】如图1所示,在直角梯形中,、分不为线段、的中点,现将折起,使立体立体图21求证：立体立体；2假设点是线段的中点,求证：立体.3求三棱锥的体积【答案】1证明过程看法析；2证明过程看法析；3【分析】来源:学+科+网Z+X+X+K1证明：、分不是的中点,又立体,立体,立体同理,立体,立体,立体立体立体.2连接,、分不是、的中点,又立体立体,立体,又

19、,立体,在中,是的中点,立体,即立体313【2017届河北省正定中学高三上学期第三次月考】如图,菱形的对角线与交于点,点分不在上,交于点,将沿折到的位置,1证明：立体；2求二面角的正弦值【答案】(1)详看法析(2)【分析】(1)由已经清楚得,又由得,故,因此,从而.由得.由得.因此,.因此,故.又,而,因此立体.如图,以为坐标原点,的倾向为轴的正倾向,树破空间直角坐标系,那么,.设是立体的法向量,那么,即,可取.设是立体的法向量,那么,即,可取因此,设二面角的大小为,.因此二面角的正弦值是.14.如图1所示,正的边长为,CD是AB边上的高,E,F分不是AC,BC的中点.现将沿CD翻折,使翻折后

20、立体ACD立体BCD如图2求三棱锥C-DEF的体积.【分析】过点E作EMDC于点M,面ACD面BCD,面ACD面BCDCD,而EM面ACDEM立体BCD即EM是三棱锥E-CDF的高.又为的中点,为的中点,EM三棱锥C-DEF的体积为：.15.如图1,在直角梯形中,且现以为一边向梯形外作正方形,然后沿边将正方形折叠,使立体与立体垂直,为的中点,如图21求证：立体;2求证：;图23求点到立体的距离.图1分析：1证明：取中点,贯串连接在中,分不为的中点,因此,且由已经清楚,来源:ZXXK因此,且因此四边形为平行四边形因此又由于立体,且立体,因此立体3解法一：由于立体,因此立体立体过点作的垂线交于点,

21、那么立体因此点到立体的距离等于线段的长度在直角三角形中,因此因此点到立体的距离等于.解法二：立体,因此因此又,设点到立体的距离为那么,因此因此点到立体的距离等于.16.正的边长为4,是边上的高,分不是跟边的中点,现将沿翻折成直二面角1试揣摸直线与立体的位置关系,并说明因由；2求二面角的余弦值；3在线段上是否存在一点,使？证明你的结论【分析】1征询可使用翻折之后的几多何体正面的中位线失落失落,便可由线面平行的判定定理证得；2先按照直二面角将条件转化为面,然后做出过点且与面垂直的直线,再在立体内过作的垂线即可得所求二面角的立体角；3把作为已经清楚条件使用,使用中过与垂直的直线判定点的位置.【分析】1如图：在ABC中,由E、F分不是AC、BC中点,得EF/AB,又AB立体DEF,EF立体DEFAB立体DEF2ADCD,BDCDADB是二面角ACDB的立体角ADBDAD立体BCD取CD的中点M,这时EMADEM立体BCD过M作MNDF于点N,贯串连接EN,那么ENDFMNE是二面角EDFC的立体角,在RtEMN中,EM=1,MN=tanMNE=,cosMNE=