2022年数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章.doc

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1、数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章 篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及第八章 第八章 不定积分 一. 填空题 x 1假设f?(e)?1?x，那么f(x)?_ 2设f(x)的一个原函数为xe，那么?xf?(x)dx?_ 3假设e ?x x 是f(x)的一个原函数，那么?xf(x)dx?_ 4假设f(x)?1，那么f(x)?_ 5?max(x,x)dx?_ 6假设f(x)有原函数xlnx，那么?xf?(x)dx?_ 7? ln(sinx)sin 2 ? 3 ? 2 x dx?_ 8假设? dx(1?2cosx) 2 ? Asinx1?2cosx ?B? dx1?2cosx ，那么A

2、?_，B?_ 9设?xf(x)dx?arcsinx?C，那么? dxx(4?x) lnx?1x 2 dxf(x) ?_ 10? ?_ 11? dx?_ 12?13?14? ?a?sin(lnx)?cos(lnx) n x ?_ ?f(x)?xf?(x)?dx dx1?e x ?_ ?_ 15?16? xe x2 (1?x) dx?_ 4sinx?3cosxsinx?2cosx dx?_ 2 17已经明白f?(2?cosx)?sinx?tan 2 x，那么f(x)?_18? f?(x)1?f(x)? 2 dx?_ 19. 假设?f(x)dx?F(x)?C,而u?(x),那么?f(u)du?_.

3、20设函数f(x)的二阶导数f?(x)连续,那么?xf?(x)dx?_. 21设f(x)的原函数是 sinxx ,那么?xf?(x)dx?_. 112 22已经明白曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x?1时,y?那么f(x)?_;f(x)的极小值是_. 1?x 2 是极大值, 23已经明白一个函数的导数为f(x)?,同时当x?1时,这个函数值等于 32 ?,那么这个函 数为F(x)?_. 24 设f?(sin 2 x)?cosx(x?1),那么f(x)?_. 2 25 假设f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),那么?f(x)dx?_. 26 假设(?f(x)dx)?

4、lnx,那么f(x)?_. 27 已经明白e28 ?x 2 是f(x)的一个原函数,那么?f(tanx)secxdx?_. 2 2?f()dx?_. 2 xx 1?x 29 设f(x)dx?C,那么f(x)?_. 1?x ? 1 ? 30 在积分曲线族?二、选择填空题 1设I? 1xx dx中,过(1,1)点的积分曲线是y?_. ? x e?1e?1 x x ，那么I?() A.ln(1?e)?C B.2ln(1?e)?x?C C.x?2ln(1?e)?C D.ln(e?1)?C x x x3设I1? ? 1?xdx,I2? ? du，那么存在函数u?u(x)，使() x(1?xex ) u(

5、1?u) A.I1?I2?x B.I1?I2?x C.I2?I1 D.I2?I1 4当n?1时，?xn lnxdx?() n n?1 n (lnx? 1n )?C B. x n?1(lnx? 1n?1 )?C n?1 C.1?1 x n?1 x n(lnx? 1n?1 )?CD. n?1 lnx?C 7?(cosx2 ?sin x2 )dx?() A.2(sinx?cos x)?C B.2(cos xx2 2 2?sin 2)?C C.sinx?cosx ?sin2?C 8? x?sinx 1?cosx dx?() ?C 9假设f(x)的导函数是e?x ?cosx，那么f(x)的一个原函数为(

6、) ?x ?cosxB.?e ?x ?sinxC.?e?x ?x ?sinx 12已经明白函数y?3x2 的一条积分曲线过(1,1)点，那么其积分曲线的方程为() A.y?x3 B.y?x3 ?1C.y?x3 ?2 D.y?x3 ?C 13?xf?(x)dx?() A.xf(x)? ? f(x)dx B.xf(x)?f(x)?C C.xf(x)?f(x)?C D.f(x)?xf(x)?C 14sin2x的原函数是()A.2cos2xB. 12 cos2xC.?cos 2 xD. 12 sin2x 15假设f(x)为连续函数，那么?f(2x)dx?() A.f(2x)?CB.f(x)?CC. 1

7、2 f(2x)?CD.2f(2x)?C 16. 一个函数的原函数假设有的话有( ). (A) 一个 ； (B) 两个 ； (C) 无穷多个 ； (D) 都不对 . 17. 假设?f(x)dx?F(x)?C,且x?at?b,那么?f(t)dt?( ). (A) F(x)?c; (B) F(t)?c ;(C) 1a F(at?b)?C; (D) F(at?b)?C. 18. 设f(x)为可导函数,那么( ). (A) ? f(x)dx?f(x);(B) ?f?(x)dx? f(x); f(x)?C. (C) ( ?f(x)dx)? f(x) ;(D) ( ?f(x)dx)? 19. 假设u,v都是

8、x的可微函数,那么?udv?( ). (A) uv?(C) uv? ?vdu ;(B) uv?u?vdu; ?v?du; (D) uv?uv?du. ?x 2 20 已经明白f(x)的一个原函数是e(A) ?2xe(C) e ?x 2 ,求?xf?(x)dx?( ). ?2xe 2 ?x 2?x 2 ?C; (B) 2 ; f(x)dx. (?2x?1)?C;(D) xf(x)? ? 21. 已经明白曲线上任意点的二阶导数y?6x,且在曲线上(0,-2)处的切线为2x?3y?6,那么这条曲线的方程为( ). (A) y?x?2x?2; (B) 3x?2x?3y?6?0; (C) y?x; (D

9、) 以上都不对. 33 3 22. 假设f(x)的一个原函数是ln(2x),那么f?(x)?( ). (A) ? 1x 2 ;(B) 1x ;(C) ln(2x); (D) x?ln2x. 23. 假设?df(x)?dg(x),那么以下各式中不成立的是( ).(A) f(x)?g(x); (B) f?(x)?g?(x); (C)df(x)?dg(x); (D) d ?f?(x)dx?d?g?(x)dx. 24. 假设f?(x2)? 1x (x?0),那么f(x)?( ). 1x (A) 2x?C;(B) lnx?C; (C) 2x?C;(D) f?(lnx)x ?C 25. 假设f(x)?e?

10、2x,那么?(A) 1x 2 dx?( ). ?C; (B) ? 1x 2 ?C; (C) ?lnx?C; (D) lnx?C. ?x 26. 设?f(x)dx?F(x)?C,那么?e(A) F(e)?C;(B) F(e x f(e ?x )dx?( ). ?x )?C;(C) F(ex ?x ) ?C;(D) ?F(e ?x )?C. 27. 设sinx是f(x)的一个原函数,那么?xf(x)dx?( ). (A) xsinx?cosx?C; (B) xsinx?cosx?C; (C) xcosx?sinx?C; (D) xcosx?sinx?C. 28. 设f(x)?cosx,那么f(x)

11、在区间( )是可积的. (A) (?,?);(B) 0,?);(C) ?,?;(D) ?1,0. 29. 在计算积分?x 2?xdx时,为使被积函数有理化,可做变换( ). (A) x?sint; (B) x?tant; (C) x?sect; (D) t? 3 ?x. 30. ?x 2x 2 ?2x?5 dx? ?(x?1) 2x?2?2 2 ?4 dx?( ). x?1x?122 ?c;(B) lnx?2x?5?arcta?c; (A) lnx?2x?5?2arcta22x?11x?122 ?c;(D) lnx?2x?5?arcta?c. (C) lnx?2x?5?2arcta424 三、

12、计算题 1. 求一曲线y=f(x),使它在点(x、f(x)处的切线的斜率为2x,且通过点(2、5). 2. 求以下不定积分:篇二：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章 第二十二章 曲面积分 一、证明题 1.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于 V= 余弦. 2.假设S为封闭曲面,L为任何固定方向,那么cos?n,L?ds=0 S1?xcos?ycos?zcosr?ds其中cos?,cos?, cpsr3S为曲面S的外法线方向 其中n为曲面S的外法线方向. 3. 证明 公式 ? Vdxdydzr=1cos?r,n?ds 2S 其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向. r=x2?y

13、2?z2,r=(x,y,z). 4.证明: 场A=?yz?2x?y?z?,zs?x?2y?z?, xy?x?y?2z?是有势场并求其势函数. 二、计算题 1.计算以下第一型曲面积分: (1) ?x?y?z?ds,其中S为上半球面 S 2222x?y?z=az?0; (2) ?x S2?y2?ds,其中S为主体x?y22?z?1的边界曲面; (3) ? S1x?y22ds,其中S为柱面x2?y2?R2被平面Z=0,Z=H所截取的P分; (4) ?xyzds S,其中S为平面在第一卦限中的部分.2.计算?zds,其中S为圆锥外表的一部分. S2 ?x?rcos?sin?0?r?a?S:?y?rsi

14、n?sin? D:? 0?2?z?rcos? 这里为常数(0lt;lt;? 2). (1)?y?x?z?dydz+x2dzdx+?y2?xz?dxdy,其中S为x=y=z=0,x=y=z=a平成所围成 S 的正方体并取处侧为正向; (2)?x?y?dydz?y?z?dzdx?z?x?dxdy,其中S是以原点中心,边长为2的正方体 S 外表并取外侧正向; (3)?xydydz?yzdzdx?zxdxdy,其中S是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体 S 外表并取外侧为正向; (4)?yzdzdx,其中S是球面,x2?y2?z2=1的上半部分并取外侧为正向; S 2(5)?xdydz?

15、ydzdx?zdxdy,其中S是球面?x?a? +?y?b?+?x?c?=R并取222222 S 外侧为正向. 4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x2+y2 +z2=4的内部流过球面的流量 I=?f?x?dydz+g?y?dzdx+h?z?dxdy S 其中S是平行分面体(0?x?a,0?y?b,0?z?c)外表并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数, 6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x2+y2 +z2=a2,z=0的磁通量, 7.应用高斯公式计算以下曲面积分: (1) (2) Syzdydz?zxdzds?sydxdy,其中S

16、为单位球面x2+y2+z2=1的外侧; xdydz?ydzds?zdxdy,其中S是立方体0?x,y,z?a的外表取外侧; xdydz?ydzds?zdxdy,其中S为锥面x2+y2 =z2与平面z=h所围的空间区222222S S(3)域(0?z?h)的外表方向取外侧; (4) x S2dydz?ydzds?zdxdy,其中S是单位球面x2+y2+z2=1的外侧; 33 (5) xdydz S?ydzds?2dxdy ,其中S为上半球面Z=a2?x2?y2的外侧. ?xy?yz?zx?dxdydz V 其中v是由x?0,y?0,0?z?1与x2?y2?所确定的空间区域. (1)?y?z?dx

17、+?x2?z2?dy+?x2?y2?dz,其中L为x+y+z=1与三坐标面的交线,它22 L 的走向使新围平面区域上侧在曲线的左侧; (2)xydx?dy?zdz,其中为y2?z2=1,x=y所交的椭圆的正向; L22 (3)?z?y?dx+?x?z?dy+?y?x?dz,其中L是以A(a,0, 0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶点的三角形L 沿ABCA的方向. 10.假设L是平面xcos?+ycos?+zcosrp=0上的闭曲线,它所包围区域的面积为S,求 dx dy dz Lcos? cos? cosr x yz 其中L依正向进展. 11.假设r=x2?y2?z2,计算?r2,?

18、1 r,?f?r?,?rn(n=3) 12.求u=x2?2y2?3z2+2xy4y+2y4z在点0(0,0,0),A(1, 1,1),B(1,1,1)的梯度,并求梯度为零之点. 13.计算以下向量场A的散度和旋度: (1)A=?y?z,z?x,x?y222222?; (2)A=?xyz,xyz,xyz222?; (3)A=?x?yzzx,y,z?. xy? 22214.流体流速A=?x,y,z 流量. ?求单位时间内穿过1球面x82+ y+z2=1(x1,y0,z0)的2 15.设流速A=?y,x,c?(c为常数)求环流量 (1)沿圆周x?y=1,z=0; 2(2)沿圆周?x?2?y=1,z=

19、0. 222 三、考研复习题 ?u ?x221.证明:假设?u=+?u?y22+?u?z22,S为包围区域V的同面的外例,那么 (1)?udxdydz=VS?u?nds; (2)u S?u?nds=?udxdydz+?u?udxdydz VV 2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明: ?u ?x?w?x(1)?WVdxdydz=uwdydz? S?Vudxdydz; (2)?W?udxdydz=WVS?u?nds?uV?Wdxdydz. 3.设A=r r3S为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,

20、上,内时分别有 Ads S=0.2,4. 4.证明公式: f?msin?cos?nsin?sin?Pcos?sin?d?d? D =2?fum?u?p?11?222?du篇三：数学分析(华师大二版)课本上的习题6 P.124 习题 1试讨论以下函数在指定区间内是否存在一点?，使f?(?)?0： 1?xsin （1）f(x)?x ?0 解 （1）由于f在0,理，?(0, 0?x?x?0 1 ?， （2）f(x)?|x|?1?x?1 1 1 ? 连续，在(0, ? 1 )可导，且f(0)?f()，因此由Rolle定 ? 1 ? )，使得f?(?)?0。 ?1x?0 ，且f?(0)不存在，故不存在一

21、点?，使f?(?)?0 ?1x?0? 3 （2）由于f?(x)? 2证明：（1）方程x?3x?c?0（这里c为常数）在区间0,1内不可能有两个不同的实根； 32 证明 设f(x)?x?3x?c，由于方程f?(x)?3x?3?0在(0,1)内没有根，因此 （由P.120，例1）方程x?3x?c?0在区间0,1内不可能有两个不同的实根。 （2）方程x?px?q?0（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。 证明 设f(x)?x?px?q，因此f?(x)?nx奇数，故方程f?(x)?nx n n?1n n?1 n 3 ?p?0。当n为偶数时，n-1为 ?p?0至多有一个实

22、根（由于幂函数nxn?1?p严格递增）， 从而方程x?px?q?0至多有两个实根； 当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程 nf?(x)?nxn?1?p?0至多有两个实根，从而方程x?px?q?0当n为奇数时至多有三 个实根。 3证明：假设函数f和g均在区间I上可导，且f?(x)?g?(x)，x?I，那么在区间I上 f和g只相差一常数，即f(x)?g(x)?c（c为某一常数）证明 令F(x)?f(x)?g(x)，那么F在区间I上可导，且F?(x)?f?(x)?g?(x)?0，由推论1，存在常数c，使得F(x)?c，即f(x)?g(x)?c 4证明 （1）假设函数f在a

23、,b上可导，且f?(x)?m，那么f(b)?f(a)?m(b?a) （2）假设函数f在a,b上可导，且|f?(x)|?M，那么|f(b)?f(a)|?M(b?a) （3）对任意实数x1,x2，都有|sinx1?sinx2|?|x2?x1| 证明 由于f在a,b上可导，因此f在a,b上满足Lagrange中值定理的条件，因此?(a,b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) （1）由于f?(x)?m，因此f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?m(b?a)，从而有 f(b)?f(a)?m(b?a) （2）由于|f?(x)|?M，因此|f(b)?f(a)|?|f?(?)|?|b?a|?M

24、(b?a) （3）不妨设x1?x2，正弦函数f(x)?sinx在x1,x2上连续，在(x1,x2)可导，因此?(a,b)，使得|sinx1?sinx2|?|cos?|?|x1?x2|?|x2?x1| 5应用拉格朗日中值定理证明以下不等式： （1） b?abb?a ，其中0?a?b ?ln? baa 证明 设f(x)?lnx，那么f在a,b上连续且可导，因此f在a,b上满足Lagrange中值定理的条件，因此?(a,b)，使得ln b1 ?lnb?lna?f?(?)(b?a)?(b?a)，a? 由于0?a?b，因此 b?ab?ab?ab?abb?a，从而 ?ln? b?abaa h2 ?arct

25、anh?h，其中h?0 （2）2 1?h证明 设f(x)?arctanx，那么f在0,h上满足Lagrange中值定理的条件，因此 ?(0,h)，使得arctanh?arctanh?arctan0?f?(?)(h?0)? h 。由于 2 1? h2hh ?h，从而?arctanh?h。 0?h，因此2 1?h21?21?h 6确定以下函数的单调区间： （1）f(x)?3x?x （2）f(x)?2x?lnx 2 2 x2?1 （3）f(x)?2x?x （4）f(x)? x 2 解 （1）f?(x)?3?2x，令f?(x)?0，得x?当x? 3 2 33 时，f?(x)?0，f递增；当x?时，f?

26、(x)?0，f递减。 22 14x2?11（2）f的定义域为x?0。f?(x)?4x?，令f?(x)?0，得x? xx2 当0?x? 11 时，f?(x)?0，f递减；当x?时，f?(x)?0，f递增。 22 1?x2x?x 2 （3）f的定义域为0?x?2。f?(x)?，令f?(x)?0，得x?1 当0?x?1时，f?(x)?0，f递增；当1?x?2时，f?(x)?0，f递减。 1x2?1 ?0，故f在其定义域 （4）f的定义域为x?0。f?(x)?1?2?2 xx(?,0)?(0,?)递增。 7应用函数的单调性证明以下不等式： x3? （1）tanx?x?，x?(0,) 33x3 证明 设

27、f(x)?tanx?x?，那么f在x?0连续，且f(0)?0。由于 3f?(x)?sec2x?1?x2?tan2x?x2?0，x?(0, ? 3 )，故f在(0, ? 3 )严格单调递 x3? 增，又因f在x?0连续，因此f(x)?f(0)?0，从而tanx?x?，x?(0,)。 33 （2） 2x ? ?sinx?x，x?(0,2x ? 2 ) 2sinxsnix2? ?。设f(x)?那么f在x?sinx，?， ?xx?2?xcosx?sinx(x?tanx)cosx? 连续，且f()?0。由于f?(x)?，?0x?(0,)。22 22xx?sinx2? 因此f在(0,)严格单调递减，因此f

28、(x)?f()?0，从而?，x?(0,)。 22x?2 证明 先证 其次证明：sinx?x。设f(x)?x?sinx，那么f在x?0连续，且f(0)?0。由于 f?(x)?1?cosx?0，x?(0, ? 2 )。因此f在(0, ? 2 )严格单调递增，又因f在x?0连 续，因此f(x)?f(0)?0，从而x?sinx，x?(0, ? 2 )。 x2x2 ?ln(1?x)?x?（3）x?，x?0 22(1?x) x2x2 ?ln(1?x)，x?0。?nl(1?x)，证明 先证：x?令f(x)?x?那么f在x?0221?x2 ?0，x?0。因此f在x?0严格连续，且f(0)?0。由于f?(x)?

29、1?x? 1?x1?xx2 ?ln(1?x)，x?0。单调递减，又因f在x?0连续，因此f(x)?f(0)?0，从而x? 2 x2x2 ?ln(1?x)，那么其次证明：ln(1?x)?x?，x?0。令f(x)?x? 2(1?x)2(1?x)2x?x21x2 ?0，x?0。且f(0)?0。由于f?(x)?1?f在x?0连续， 2(1?x)21?x(1?x)2 因此f在x?0严格单调递增，又因f在x?0连续，因此f(x)?f(0)?0，从而 x2 ln(1?x)?x?，x?0。 2(1?x) 8以S(x)记由(a,f(a), (b,f(b), (x,f(x)三点组成的三角形面积, 试对S(x)应用

30、罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理. 证明 由于S(x)? 1?b2x af(a)1 f(b)1, 假设f(x)在a,b连续, 在(a,b)可导, 那么易见f(x)1 S(x)也在a,b连续, 在(a,b)可导, 且S(a)?S(b)?0. 故由罗尔定理知, 存在 ?(a,b), 使得S?(?)?0. 而 1?b21a 1 f(b)1?f?(x)(b?a)?(f(b)?f(a), 故 2 f?(x)0f(a) 1 S?(x)? f(b)?f(a)?f?(?)(b?a). 1试征询函数f(x)?x,g(x)?x在区间-1, 1上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？ 2 解 由于f?(x)?2x,g?(x)?3x，故当x?0时，f?(0)?0,g?(0)?0，不满足柯 2 3 西中值定理的条件，因此在区间-1, 1上不能用柯西中值定理。 2设函数f在a,b上可导，证明：存在?(a,b)，使得 2?f(b)?f(a)?(b2?a2)f?(?) 证明 设F(x)?xf(b)?f(a)?(b?a)f(x)，那么F(x)在a,b上连续并可 2 2 2