第五章抽样估计3.pptx

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1、1回顾：区间估计的一般步骤回顾：区间估计的一般步骤: :1.1. 寻找参数寻找参数的一个好的点估计的一个好的点估计量量T; T; 2.2. 2 2. . 寻找寻找和估计量和估计量T T 的函数的函数U(U(,T),T),且分布已知且分布已知; ; 3.3. 3. 3. 由由P(aUP(aU( (, ,T)bT)b)=1-)=1-查表得查表得a a, , b b ; ; 4.4. 4 4. . 对对“a a U U( (T T, ,)b b”作等价变形作等价变形, ,得到得到则则 就是就是在在1-下的置信区间下的置信区间. . ),(21 1P212目标要求目标要求1 1、了解、了解正态总体方差

2、的区间估计正态总体方差的区间估计2 2、熟悉大样本、熟悉大样本二项分布、泊松分二项分布、泊松分布总体参数的区间估计布总体参数的区间估计3、了解小样本二项分布、泊松分布总体了解小样本二项分布、泊松分布总体参数的区间估计参数的区间估计3三、正态总体方差的区间估计三、正态总体方差的区间估计标准型标准型：若总体：若总体XN(XN( , , 2 2) )，且，且, ,2 2未知，未知，x x1 1, ,x x2 2,x xn n是来自总体的样本值，求是来自总体的样本值，求的置信的置信度度1-1-的置信区间。的置信区间。 )1n(S)1n()S,(T)2(22222 取取 (3) (3) 对给定置信水平对

3、给定置信水平1-1-22/ 22/1 /2/21-f(x) 1)1n(S) 1n() 1n(P22/2222/1解解(1)(1)选选2 2 的点估计为的点估计为S S2 24所以所以2 2 的的1-1-置信区间为置信区间为)1n(S)1n(,)1n(S)1n(22/1222/2 总体标准差总体标准差的的1-1-置信区间为置信区间为)S)1n(1n,S)1n(1n(22/122/ 1)1n(S)1n()1n(S)1n(P)4(22/12222/2变形，变形，5例例1414 从某地随机抽取从某地随机抽取1313人，测得血磷值为人，测得血磷值为1.67,1.98,2.33,2.34,2.5,3.6,

4、3.73,4.14,4.11.67,1.98,2.33,2.34,2.5,3.6,3.73,4.14,4.17,4.57,4.82,5.787,4.57,4.82,5.78，若血磷值近似服从正态分，若血磷值近似服从正态分布布, ,求总体方差求总体方差2 2的的0.90.9置信区间置信区间. .解解 n=13,n=13,自由度自由度dfdf=12=12226. 5)12()12(295. 022/1 . 01 当当1-=0.91-=0.9时，时，=0.1, =0.1, 查附表查附表6 6 得得026.21)12()12(205. 022/1 . 0 6701. 1.)xx(1n1Sn1i2i2

5、又又971. 0026.21701. 112) 1n(S) 1n(22/2 所所以以906. 3226. 5701. 112) 1n(S) 1n(22/12 故故2的的0.9置信区间为（置信区间为（0.971,3.906).75.4 二项分布、泊松分布总体参数的区间估计二项分布、泊松分布总体参数的区间估计 前面介绍的区间估计方法都是正态总体的情况，前面介绍的区间估计方法都是正态总体的情况，解决的也是解决的也是计量资料计量资料问题。问题。 本节讨论总体服从二项分布和泊松分布的情况，本节讨论总体服从二项分布和泊松分布的情况，解决解决计数资料计数资料参数的区间估计问题。参数的区间估计问题。一、小样本

6、精确估计方法（一、小样本精确估计方法（n50)二、大样本正态近似估计方法（二、大样本正态近似估计方法（n50)81、二项分布参数、二项分布参数P的区间估计的区间估计 总体总体(概概)率率P：具有某种特征的个体数与总体数的比率，：具有某种特征的个体数与总体数的比率，如有效率、发病率。如有效率、发病率。 总体率一般未知，需要根据样本值进行区间估计。总体率一般未知，需要根据样本值进行区间估计。样本样本(概概)率率p: 具有某种特征的个体数占样本容量的比率。具有某种特征的个体数占样本容量的比率。 重复抽取重复抽取n个个体可看作个个体可看作n重贝努利试验，则具有某重贝努利试验，则具有某种特征的个体数种特

7、征的个体数XB(n，P) 。一、小样本精确估计方法（一、小样本精确估计方法（n50)9 在小样本情况下，用公式直接计算很复在小样本情况下，用公式直接计算很复杂，杂，通常通过查表通常通过查表得到。得到。 只要给出只要给出n,k 和和(常用常用0.05及及0.01)，就可，就可从附表从附表9中查出总体率中查出总体率P的的1-置信区间置信区间.例例17 设用某种药物治疗近视眼设用某种药物治疗近视眼,随机抽取样随机抽取样20例作为样本，结果例作为样本，结果12例有效，求总体有效率例有效，求总体有效率的的0.95的置信区间的置信区间.解解 显然显然,是二项分布参数是二项分布参数P的区间估计的区间估计 n

8、=20, k=12, 1-=0.95 查附表查附表9得得0.95的置信区间的置信区间(0.361,0.809)102、泊松分布参数、泊松分布参数的区间估计的区间估计 设总体服从参数设总体服从参数的泊松分布，的泊松分布， x1,x2,xn是来自是来自总体的样本值总体的样本值 （xi 为第为第i次抽样事件发生的次数次抽样事件发生的次数，注意，注意与二项分布中与二项分布中xi的区别）。的区别）。样本总计数样本总计数-各次试验事件发生次数之和，各次试验事件发生次数之和， niixX1记作记作 在小样本情况下，通常也是在小样本情况下，通常也是通过查表通过查表得到。得到。 只要给出样本总计数只要给出样本总

9、计数X和和，就可从附表，就可从附表10中查出中查出总体参数总体参数n的的1-置信区间，将其上下限再除以置信区间，将其上下限再除以n即得即得参数参数的的1-置信区间。置信区间。11例例18 从一份充分混合的井水中随机抽取从一份充分混合的井水中随机抽取3 次水次水样样(每次每次1ml)，经检查有，经检查有20只细菌，求每毫升井只细菌，求每毫升井水所含细菌数的水所含细菌数的0.99的置信区间。的置信区间。解解 井水含细菌是稀有事件，则本题为泊松分布井水含细菌是稀有事件，则本题为泊松分布均数均数的区间估计的区间估计 。设设 xi（i=1,2,3)为第为第i次抽样所含细菌数，则次抽样所含细菌数，则 X=

10、x1+x2+x3=20, n=3, 1-=0.99。 查附表查附表10得，总体参数得，总体参数 3的的0.99置信区间置信区间 (10.35,34.67)则每毫升井水所含细菌数的则每毫升井水所含细菌数的0.99的置信区间的置信区间 (3.45,11.56)。12二、大样本正态近似估计方法二、大样本正态近似估计方法 （计数样本容量（计数样本容量n50)1 1、二项分布参数、二项分布参数P P的区间估计的区间估计 从总体中抽取容量为从总体中抽取容量为n n的样本，可看做的样本，可看做n n重贝努利试重贝努利试验，所以具有某种特征的的样本数验，所以具有某种特征的的样本数XB(n,PXB(n,P) )

11、，且且 E(X)=E(X)=nPnP, V(X)=nP(1-P), V(X)=nP(1-P)，则样本率，则样本率 nPPpVPpEnXp)1()(,)( 也服从二项分布，且也服从二项分布，且 这说明样本率这说明样本率p是总体率是总体率P的的无偏估计量无偏估计量。13 由中心极限定理，在大样本情况下由中心极限定理，在大样本情况下(n(n足够大足够大) )，样本率样本率p p 近似服从正态分布近似服从正态分布N(P,P(1-P)/n).N(P,P(1-P)/n).则样本率则样本率p p 的标准化随机变量的标准化随机变量)1 , 0()1(NnPPPpu 为计算方便，在大样本情况下为计算方便，在大样

12、本情况下(n(n足够大足够大) )，常用，常用样本率样本率p p代替总体率代替总体率P P计算样本率计算样本率p p 的标准差，即的标准差，即)1 , 0()1(NnppPpu 14 1)n)p1(pupPn)p1(pup(P)4(22变变形形，所以总体率所以总体率P P的的1-置信区间为置信区间为)1(,)1(22nppupnppup n)p1(pup2 简简记记为为（3）对给定置信水平）对给定置信水平1- 1)u|n)p1(pPp(|P2)1 , 0(N(n)p1(pPp)P,p(U)2( 取取(1) (1) 总体率总体率P P 以样本率以样本率p p为点估计量。为点估计量。用求区间估计的

13、一般步骤求出用求区间估计的一般步骤求出P P的置信区间：的置信区间：15例例19 随机抽查了某校随机抽查了某校200名沙眼患者，经治疗有名沙眼患者，经治疗有168名治愈，名治愈，求总体治愈率的求总体治愈率的0.95的置信区间的置信区间.解解 样本治愈率样本治愈率p=168/200=0.84, =0.05 查附表查附表4得得u 0.05/2=1.96 总体治愈率的总体治愈率的0.95置信区间置信区间051. 084. 0200)84. 01(84. 096. 184. 0 即即(0.789,0.891)162、泊松分布参数、泊松分布参数的区间估计的区间估计 设总体设总体X服从泊松分布服从泊松分布

14、P(), 则则E(X)=V(X)= 若若x1,x2,xn是来自总体的样本值是来自总体的样本值(xi 为第为第i次抽样事件发生次抽样事件发生的次数的次数),则则 n1iin1ii)x(En1)xn1(E)x(E这说明样本均值是参数这说明样本均值是参数的的无偏估计无偏估计。 n1ii2n1iin)x(Vn1)xn1(V)x(V17 由中心极限定理，在大样本情况下由中心极限定理，在大样本情况下(n(n足够大足够大) )，样本均值近似服从正态分布样本均值近似服从正态分布N(N(,/n,/n) ). .则样本均值的标准化随机变量则样本均值的标准化随机变量)1 , 0(/Nnxu 因因为计算方便为计算方便

15、，在大样本情况下，在大样本情况下(n(n足够大足够大) )，常用样本均值代替常用样本均值代替计算样本均值的标准差，则有计算样本均值的标准差，则有)1 , 0(/Nnxxu 若实际中只得到样本总计数若实际中只得到样本总计数niixX1nXnXxx ,这这时时)1 , 0(/NnXnXu 从而有从而有18(3) (3) 对给定置信水平对给定置信水平1-1- 1)|/(|2unXnXP现用求区间估计的一般步骤求出现用求区间估计的一般步骤求出的置信区间：的置信区间：为点估计量为点估计量以以nXx )1()1 , 0(/),(2NnXnXXU ）取取（19 1)()4(22nXunXnXunXP变变形形

16、，所以总体均数所以总体均数的的1-置信区间为置信区间为),(22nXunXnXunX nXunX2 简简记记为为而总体总计数而总体总计数n n的的1-置信区间为置信区间为),(22XuXXuX XuX2 简简记记为为20例例20 用一种计数器测定某放射性标本，用一种计数器测定某放射性标本，10分钟获得分钟获得脉冲数为脉冲数为16784，求，求10分钟及每分钟总体总脉冲数的分钟及每分钟总体总脉冲数的0.95置信区间置信区间.解解 样本总计数样本总计数X=16784, n=10, =0.05 查查附表附表4 4得得u 0.05/2=1.96 所以所以10分钟总体总脉冲数的分钟总体总脉冲数的0.95置信区间为置信区间为254167841678496. 1167842 XuX 即即(16530,17038）故每分钟总体总脉冲数的故每分钟总体总脉冲数的0.95置信区间为置信区间为(1653,1703.8)。21小小 结结1 1、正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计2 2、大样本、大样本二项分布、泊松分布总二项分布、泊松分布总体参数的区间估计体参数的区间估计3、小样本二项分布、泊松分布总体参数小样本二项分布、泊松分布总体参数的区间估计的区间估计练习：练习： P117 18 21