数学必修5导学案：3-4_第2课时简单线性规划.doc

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1、3.3.2简单的线性规划问题(2)知能目标解读1.了解线性规划的意义，掌握目标函数的约束条件，二元线性规划、可行域、最优解等基本概念.2.掌握用图解法求方程及解线性规划问题的一般方法及步骤.重点难点点拨重点：线性规划的有关概念理解及线性目标函数最值的求解方法.难点：线性目标函数最值（即最优解）求法.学习方法指导一、简单线性规划的几个概念1.目标函数：我们把要求最大值或最小值的函数z=ax+by+c叫做目标函数.如果目标函数是关于变量的一次函数，则又称该目标函数为线性目标函数.2.约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件.如果约束条件是关于变量的一次不等式（组），又称线性约束条件.

2、3.线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题，也称为二元线性规划问题.4.可行解：线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）称为可行解.5.可行域:由所有可行解组成的集合称为可行域.6.最优解:可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解,最优解一定在可行域里面,一般在边界处取得,最优解不一定只有一个,它可以有无数个.二、目标函数的最值问题在求目标函数z=ax+by+c的最值时,根据y的系数的正负,可分为以下两种情形求最值. 1.求目标函数z=ax+by+c,b0的最值.在线性约束条件下,当b0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值

3、的求解程序为:(1)作出可行域；(2)作出直线l0：ax+by=0；(3)确定l0的平移方向,若把l0向上平移,则对应的z值随之增大；若把l0向下平移,所对应的z值随之减小,依可行域判定取得最优解的点.(4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.2.求目标函数z=ax+by+c,b0的最值.在线性约束条件下,当b0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为:(1)作出可行域；(2)作出直线l0:ax+by=0;(3)确定l0的平移方向:若把l0向上平移,所得相应z值随之减小；若把l0向下平移,所对应的z值随之增大,依可行域判定取得最优解的点.(4)解相关

4、方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值.注意：确定最优解的方法:将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的顶点便是最优解；利用围成可行域的直线的斜率来判断,若围成可行域的直线l1,l2,ln的斜率分别为k1k2kn,且目标函数的斜率为k,则当kik0,y0误解依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线5x+4y=S过点A()时，S=5x+4y取最大值，Smax.因为x、y为整数，而离点A最近的整点是C(1,2)，这时S=13,所要求的最大值为13.辨析显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S=14,故上述解法不正确.对于整点解问题，其最优解不一定是离边

5、界点最近的整点.而要先对边界点作目标函数t=Ax+By的图像，则最优解是在可行域内离直线t=Ax+By最近的整点.正解依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l：5x+4y=0,平行移动直线l经过可行域内的整点B(2,1)时，Smax14.课堂巩固训练一、选择题 x21.若x,y满足约束条件 y2 ,则目标函数z=x+2y的取值范围是（）x+y2A.2,6B.2,5C.3,6D.3,5答案A x2解析画出不等式组 y2 表示的可行域为如图所示的ABC.x+y2作直线l:x+2y=0,平行移动直线l,当直线l经过可行域内的点B(2,0)时z取最小值2，当直线l经过可行域内的点A(2,2)时

6、，z取最大值6，故选A.x1,2.（2011天津文，2）设变量x,y满足约束条件x+y-40, 则目标函数z=3x-y的最大值x-3y+40,为（）A.4B.0C.D.4答案D解析本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域，则区域端点的值为目标函数的最值，求出交点坐标代入目标函数即可. x1,由 x+y-40,x-3y+40,作出可行域如图：当直线z=3x-y过点A(2,2)点时z有最大值.z最大值=32-2=4. 0x3.(2011广东理，5)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组 y2 给定.xy若M(x,y)为D上的动点，点A的坐标为(,1)，则z=的最

7、大值为（）A.4B.3C.4D.3答案C解析本题考查线性规划、数量积的坐标运算.=（x,y）（,1）=x+y,做直线l0：x+y=0，将l0向右上方平移，当l0过区域D中点(，2)时，=x+y取最大值+2=4.选C.二、填空题 x-y+204.设x、y满足约束条件 5x-y-100，则z=2x+y的最大值为. x0 y0答案11 x-y+20解析不等式组 5x-y-100表示的可行域如图阴影部分所示. x0 y0 x-y+2=0 x=3由 ，得5x-y-10=0 y=5点A的坐标为（3，5），作直线l：2x+y=0，平行移动直线l至过点A时，z=2x+y取最大值11.5.某实验室需购买某种化工

8、原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费元.答案500解析设第一种原料x袋，第二种原料y袋，花费为z， 由题意知，线性目标函数z=140x+120y，线性约束条件x0y0 ，35x+24y106其可行域如图，可得z的最优整数解为（1，3），此时zmin=500.课后强化作业一、选择题 x01.不等式组 x+3y4 ，所表示的平面区域的面积等于（）3x+y4A.B.C.D.答案C解析不等式组表示的平面区域如图所示， x+3y=4由 ，得点A的坐标为(1,1). 3x+y=4又B、C两点坐标

9、分别为（0,4）、 (0,),SABC= (4-)1=. yx,2.设变量x，y满足约束条件： x+2y2,则z=x-3y的最小值为（）x-2.A.-2B.-4C.-6D.-8答案D解析作可行域（如图），令z=0得x-3y=0，将其平移，当过点（-2，2）时，z取最小值，zmin=-2-32=-8. x+2y-503.(2011浙江理，5)设实数x、y满足不等式组 2x+y-70，若x、y为整数，则3x+4yx0，y0的最小值为（）A.14B.16C.17D.19答案B解析本题主要考查简单线性规则问题等基础知识，如图， 作出不等式组表示的平面区域 ，作直线l0：3x+4y=0平移l0 与平面区

10、域有交点，由于x，y为整数，结合图形可知当x=4，y=1时，3x+4y取最小值为16，选B. x-14.若变量x、y满足约束条件 yx , 则z=2x+y的最大值为（）3x+2y5A.1B.2C.3D.4答案C解析如图所示，由约束条件作出可行域，将目标函数z=2x+y化为y=-2x+z,由图知在A点z取最大值. y=x联立 得A（1，1）.3x+2y=5zmax=21+1=3. 2x+y45.设x，y满足 x-y-1 ，则z=x+y（）x-2y2A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值答案B解析如右图作出不等式组表示的可行域，由于z=x

11、+y 的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值2，但z没有最大值. x+3y-306.若实数x,y满足不等式 2x-y-30，且x+y的最大值为9，则实数m=（）x-my+10A.-2B.-1C.1D.2答案C解析如图，作出可行域. x-my+1=0由 ，得A（,）,2x-y-3=0平移y=-x,当其经过点A时，x+y取最大值，即+=9.解得m=1. x07.若不等式组 x+3y4所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k3x+y4的值是（）A.B. C. D. 答案A解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y=kx+过定点（0，）.因此只

12、有直线过AB中点时，直线y=kx+能平分平面区域.因为A（1，1），B(0,4)，所以AB中点M(，).当y=kx+过点（，）时，=+,k=.8.设G是平面上以A(2，1)、B(-1，-4)、C(-2,2)三点为顶点的三角形区域（包括边界点），点（x,y）在G上变动，f(x,y)4x-3y的最大值为a,最小值为b,则a+b的值为（）A.-1 B.-9 C.13 D.-6答案D解析设4x-3y=c,则3y=4x-c,y=x-,-表示直线l:4x-3y=c在y轴上的截距，kAB=,而kl=,l过C(-2,2)时，-有最大值；-=2-（-2），cmin=b=-14,l过B(-1,-4)时，-有最小值

13、;-=-4-（-1）-，cmax=a=8,a+b=-6.二、填空题 0x49.已知x、y满足条件 0y3 ，则z=2x+5y的最大值为.x+2y8答案19解析可行域如图.当直线y=-x+经过直线y=3与x+2y=8交点（2，3）时,z取最大值zmax=19. 32x+y9,10.(2011新课标理，13)若变量x,y满足约束条件 则z=x+2y的最小值为6x-y9,.答案-6解析本题主要考查了线性规划求最值.依题意，可行域为如图阴影部分，则最优解为A(4,-5),zmin=4+2(-5)=-6. x-y+2011.不等式组 x+y+20，所确定的平面区域记为D.若点（x,y）是区域D上的点，则

14、2x+y2x-y-20的最大值是；若圆O:x2+y2=r2上的所有点都在区域D内，则圆O面积的最大值是答案14解析如图，令z=2x+y可知，直线z=2x+y经过（4,6）时z最大，此时z=14;当圆O：x2+y2=r2和直线2x-y-2=0相切时半径最大.此时半径r=,面积S=. x112.已知 x-y+10，则x2+y2的最小值为.2x-y-20答案5解析画出可行域如下图所示,可见可行域中的点A(1,2)到原点的距离最小为d=,x2+y25.三、解答题 x-y+2013.已知变量x,y满足约束条件 x1 ，求的最大值和最小值.x+y-70解析由约束条件作出可行域（如图所示），A点坐标为（1，

15、3），目标函数z=表示坐标是（x,y）与原点（0，0）连线的斜率.由图可知，点A与O连线斜率最大为3;当直线与x轴重合时，斜率最小为0.故的最大值为3，最小值为0. x-4y-314.设x,y满足约束条件 3x+5y25，分别求： x1（1）z=6x+10y的最大值、最小值;（2）z=2x-y的最大值、最小值;（3）z=2x-y(x,y均为整数）的最大值、最小值.解析（1）先作出可行域，如图所示中ABC表示的区域，且求得A（5,2）、B（1，1）、C（1，）.作出直线l0：6x+10y=0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过B点时，可使z=6x+10y达到最小值，当l0的平行线l2过A点时

16、，可使z=6x+10y达到最大值.zmin=61+101=16；zmax=65+102=50. (2)同上，作出直线l0:2x-y=0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过C点时，可使z=2x-y达到最小值，当l0的平行线l2过A点时，可使z=2x-y达到最大值. zmax=8；zmin=-.(3)同上，作出直线l0:2x-y=0，再将直线l0平移，当l0的平行线l2过A点时，可使z=2x-y达到最大值，zmax=8.当l0的平行线l1过C点时，可使z=2x-y达到最小值，但由于不是整数，而最优解（x,y）中，x、y必须都是整数，所以可行域内的点C（1,)不是最优解.当l0的平行线经过可行域内的整点（1，4）时，可使z=2x-y达到最小值.zmin=-2.