指数与指数幂的运算精选.doc

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1、指数与指数幂的运算 篇一：指数与指数幂的运算(例题讲解加同步练习) 指数与指数幂的运算 知能点全解： 知能点1：有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 （1）正整数指数幂an n个 ? ?0 ?a?a?a?a(n?N)； （2）零指数幂a?1(a?0)； （3）负整数指数幂a?n? 1a n ?a?0,n?N? （4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 （1）aa?a m m n m?n ?a?0,m,n?Q?（2）?a? m n ?amn?a?0,m,n?Q? （3）?ab?ambm?a?0,b?0,m?Q? 例 1：把以下各式中的a写成分数

2、指数幂的方式 （1）a5?256；（2）a?4?28；（3）a?7?56；（4）a?3n?35m?m,n?N? 1 解：（1）a?256；（2）a?28 5 ? 14 ；（3）a?5 ?32 ? 67 ；（4）a?3 ? 5m3n 例 2:计算 （1）9 3 32 ； （2）16 2?32 ?32 解：（1）9?3 2 2 ? 32 ?3?3?27 3 ；（2）16 ?4 2 ? ? 32 ?4 ?3 ?64?1 ? 1假设a0，P是一个无理数，那么ap表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，关于无理数指数幂都适用。 例 3: 化简（式中字母都是正数） （1）?解：（1） （2）?2?3

3、y ?2?3y ? （3）42 ?3x ?y ? ? ?x （2）?2?3y 2?3y ?2?3y1 2 ?4x ?9y ?（3 ）4?3x ?y ?12?12x0 ?12 知能点3：根式 1、根式的定义：一般地，假设xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中?n?1,n?N?，na叫做根式，n叫做根指数，a叫被开方数。2、关于根式记号 n?N，（1）且n?1； （2）当n是奇数，那么an?a；当n是偶数，那么an?a? ?a?a a?0a?0 ； （3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。 3、我们规定： m （1）an? a?0,m,n?N ? ,n?1? ； （2）a m?n ?

4、 1 m ? a n a?0,m,n?N?,n?1? 例 4: 求以下各式的值 （1）； （2； （3；（4 解：（1）?2； （2?2； （3?3?3（4）? ?x?y ?x?y?0? ?x?y? ?x?y ?x?y?0? 例 5: 用分数指数幂的方式表示以下各式：（1）a2?（2） a3?（31 (式中a解：（1）a2?a2?a2?a 2? 1252 3 ?a2；（2）a? ?a?a3?a 3 3? 23 11 ?a3 题型一： 求值：（1?； （2?解：（1）? ? ? ? ?|?|2? ?|2 |?|2? ?2?(2?。 2 留意：此题开方后先带上绝对值，然后按照正负去掉绝对值符号 （

5、2 ）令?t，两边同时立方得：t? 33 ?3 2 ?3 ?2?2? ?4?3t ? ?3 即 ：t3?3t?4?0?t3?t?4?t?1?0?t?t?1?t?1?4?t?1?t?1?t2?t?4?0 （1） 解：（1） 2 a?0) （2）? 2? ? a 1 2 3 ?a 2 12 2 ? ? 23 5 ?a6 1 2 1 3 1 2 14 3 14 5 5 a2?a2 3 ? （2）?(53?52)?54?53?54?52?54?53?52 ? ?512?54? 1 已经明白=3,求以下各式的值：(1)x2?x2, (2)x2?x2. 1 ? 13 ? 3 解：（1）?x2?x 1 ?

6、12 1 2 1 ?(x2)?2?x2x ? 12 ?(x ?1 ? 12 )?x?x 21?1 ?2?3?5 1 ?12 x2?x ? 12 ?又由x?x?3得x?0 因此x2?x 3 ? 3 （2）x2?x2（x2)?(x2)?(x2?x2)(x2)?x2?x 3 3 2 ? 31 ? 11 ? 111 ? 12 ?(x? 12 ) 2 4篇二：示范(2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时) 第二章 根本初等函数（） 2.1.1 指数与指数幂的运算 第1课时 本章教材分析 教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,提示这三种函数模型增长的差异

7、及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的根本过程和方法,学会运用详细的函数模型处理一些实际征询题. 本章总的教学目的是:理解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过详细实例理解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号及意义,能借助计算器或计算机画出详细指数函数的图象,探究并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,理解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,理解对数的觉察历史及其对简化运算的作用;通过详细函数

8、,直观理解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出详细对数函数的图象,探究并理解对数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）;明白指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a0,a1）,初步理解反函数的概念和f-1(x)的意义;通过实例理解幂函数的概念,结合五种详细函数y=x,y=x,y=x,y=x,y=x的图象,理解它们的变化情况. 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的根底上,通过几个特别函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特别到一般的研究征询

9、题的方法是数学的根本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联络及本质区别搞明晰是本章的难点.材料的作用,并尽可能联络一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中注重知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的明白概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,同时安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机

10、绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与考虑”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 整体 教学分析平方根和立方根的根底上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推行到分数指数.进而推行到有理数指数,再推行到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推行到实数指数幂. 教材为了让学生在学习之外就感遭到指数函数的实际背景一个征询题,既让学生回忆了初中学过的整数指数幂,也让学生感遭到其中的函数模型,同时还有思想价值.后一个征询题让学生体会其中的函数模型的同时

11、,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推行的思想(指数幂运算律的推行)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际征询题的结合,表达数学的应用价值. 按照本节内容的特点,教学中要留意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目的 1.通过与初中所学的知识进展类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培

12、养学生观察分析、抽象类比的才能. 2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生理解数学来自生活,数学又效劳于生活的哲理. 3.能纯熟地运用有理指数幂运算性质进展化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算才能. 4.通过训练及点评,让学生更能纯熟掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简约美和统一美. 重点难点 教学重点： (1)分数指数幂和根式概念的理解. (2)掌握并运用分数指数幂的运算性质. (3)运用有理指数幂性质进展化简、求值. 教学难点: (1)分数指数幂及根

13、式概念的理解. (2)有理指数幂性质的灵敏应用. 课时安排 3课时 教学过程 第1课时 指数与指数幂的运算(1) 导入新课 思路1.同学们在预习的过程中能否明白考古学家如何推断生物的开展与进化,又如何样推断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来推断生物的开展与进化的,第二个征询题我们不太明晰)考古学家是按照如此一条规律揣测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数指数与指数幂的运算. 思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根n次方根呢？是确信的,这确实是我们本堂课研究的课题:指数函数指数与指数幂的运算. 推进新课 新知探究 提出征询题 (1)什

14、么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？ (2)如x4=a,x5=a,x6=a按照上面的结论我们又能得到什么呢?(3)按照上面的结论我们能得到一般性的结论吗? (4)可否用一个式子表达呢? 活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对征询题的结论进展引申、推行,互相交流讨论后答复,教师及时启发学生,详细征询题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维. 讨论结果： (1)假设x2=a,那么x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为2,负数没有平方根,同理,假设x3

15、=a,那么x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.个数的六次方等于a,那么这个数叫a的六次方根. (3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,那么这个数叫a的n次方根. (4)用一个式子表达是,假设xn=a,那么x叫a的n次方根. 教师板书n次方根的意义: 一般地,假设xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n1且nN*. 可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例. 提出征询题 (1)你能按照n次方根的意义求出以下数的n次方根吗?(多媒体显示以下标题). 4的平方根；8的立方根；16的4次方根；32的5次方根；-32的5次方根；0的7次方根

16、；a6的立方根. (2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点? (3)征询题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否一般规律呢? (4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢? 活动：教师提示学生实在紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,确实是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把详细的数写出来,观察数的特点,对征询题 （2）中的结论,类比推行引申,考虑要全面,对答复正确的学生及时表扬,对答复不准确的

17、学生提示引导考虑征询题的思路. 讨论结果： （1）由于2的平方等于4,2的立方等于8,2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,因此4的平方根,8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是2,2,2,2,-2,0,a2. （2）方根的指数是2,3,4,5,7特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零. （3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0. （4）任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,由于没有

18、一个数的偶次方是一个负数. 类比前面的平方根、立方根,结合刚刚的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质: 当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用a表示,假设是负数,负的n次方根用?a表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成a(a0). n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号a表示. 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零. 上面的文字语言可用下面的式子表示: ?n为奇数,a的na,a为正数:? n?n为偶数,a的n次方根有两个为?a. ?a,?n为奇数,a的na为负数:? ?.?n为偶数,a的n次方根不存在 零的n次方根

19、为零,记为0=0. 可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例. 考虑按照n次方根的性质能否举例说明上述几种情况? 活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,如此才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,留意观察方根的方式,及时纠正学生在举例过程中的征询题. 解答：答案不唯一,比方,64的立方根是4,16的四次方根为中?27也表示方根,它类似于a的方式,现在我们给式子a一个名称根式. 根式的概念: 式子a叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数. 如?27中,3叫根指数,-27叫被

20、开方数. 考虑 an表示an的n次方根,等式an=a一定成立吗？假设不一定成立,那么an等于什么？ 活动：教师让学生留意讨论n为奇偶数和a的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,留意归纳整理. 34如(?3)=3?27=-3,(?8)=|-8|=8. 解答：按照n次方根的意义,可得:(a)n=a. 通过探究得到：n为奇数,an=a. a?0,?a,n为偶数,a=|a|=? ?a,a?0.?n 因此我们得到n次方根的运算性质： (a)n=a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.n为奇数,an=a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数. n为偶数,an=|a|=a,? 应用例如

21、思路1 例1求以下各式的值: 4322(1)(?8);(2)(?10);(3)(3?);(4)(a?b)(ab). a?0,?a,先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值. ?a,a?0. 活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确标题的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个标题细心分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的征询题并对症下药.求以下各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞明晰运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数仍然偶数,假设是奇数,无需考虑符号,假设是偶数,开方的结果必须是

22、非负数. 3解：(1)(?8)=-8; 2(2)(?10)=10; 4(3)(3?)=-3; 2(4)(a?b)=a-b(ab). 点评：不留意n的奇偶性对式子an的值的阻碍,是导致征询题出现的一个重要缘故,要在理解的根底上,记准,记熟,会用,活用. 变式训练 求出以下各式的值: 7(1)(?2); 3(2)3(3a?3)(a1); 4(3)(3a?3). 7解：(1)(?2)=-2, 3(2)(3a?3)(a1)=3a-3, ?3a?3,a?1,(3)(3a?3)=? 3?3a,a?1.?4 点评：此题易错的是第(3)题,往往无视a与1大小的讨论,造成错解. 思路2 例1以下各式中正确的选项

23、( )篇三：指数与指数幂的运算(课后习题) 指数与指数幂的运算练习题 一、课堂演练 2根式 14aa式中a0)的分数指数幂方式为( ) Aa4 3 Ba3Ca33 4Da43.?ab?5?ab?的值是( ) A0B2(ab) C0或2(ab)Dab 4计算：()022(211 42_. 二、课后测验 1以下各式正确的选项( ) A.?3?3B.4aa C.22Da01 2假设(x5)0有意义，那么x的取值范围是( ) Ax5Bx5 Cxlt;5Dx5 3假设xy0，那么等式 4xy2xyy成立的条件是( Ax0，y0Bx0，ylt;0 Cxlt;0，y0Dxlt;0，ylt;0 ?2n1?2?1?2n1 42 48(nN*)的结果为( ) 6B22n5 C2n22n6D(1 22n7 5化简 236104322得( ) A32B23 C12D123 )a216设a2a2m，那么a( ) Am22B2m2 Cm22Dm2 7根式aa化成分数指数幂是_ 11811621162_. 9化简32)201032)2011_. 10化简求值： 13110(1)0.0643()1640.252； 8 a1b1 (2)(a，b0) ?ab? 11 xy11已经明白xy12，xy9，且xlt;y的值 x a3na3n 12已经明白a21，求 aa 2n