数学学科漫谈小学数学思想及其在教学中的渗透.doc

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1、数学论文之漫谈小学数学思想及其在教学中的浸透 潘江儿 摘要：数学思想是从某些详细数学认识过程中提炼和概括，在后继的认识活动中被反复证明其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。在小学数学教育中有认识地向学生浸透一些根本数学思想方法是提高学生数学才能和思维质量的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析征询题、处理征询题才能的重要思维活动,且它本身也蕴涵了情感素养的熏染。这点也是新课程标准充分强调的。 关键词：数学思想；浸透；符号思想；类比思想；分类思想；方程与函数思想；建模思想。 数学思想是从某些详细数学认识过程中提炼和概括，在后继的认识活动中被反复证明其正确性，带有一般意义和相对稳定的

2、特征。它提示了数学开展中普遍的规律，对数学的开展起着指引方向的作用，它直截了当支配着数学的实践活动，是数学的灵魂。而数学方法则表达了数学思想，在自然辩证法一书的导言中，恩格斯表达了笛卡儿制定理解析几何，耐普尔制定了对数，来布尼茨和牛顿制定了微积分后指出：“最重要的数学方法根本上被确定了”，对数学而言，能够说最重要的数学思想也根本上被确定了。 九年制义务教育全日制小学数学课程标准（试验稿）提出：“学生通过学习，能够获得习惯今后社会生活和进一步开展所必需的重要数学知识以及根本的数学思想方法。”因而，在小学数学教学阶段有认识地向学生浸透一些根本数学思想方法能够加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理

3、解，是提高学生数学才能和思维质量的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析征询题、处理征询题才能的重要途径，也是小学数学教学进展素养教育的真正内涵之所在。在小学阶段，数学思想主要有符号思想、类比思想、分类思想、方程与函数思想、建模思想等。 一、符号思想 西方较早地在数学研究中引进了符号，十六世纪数学家韦达对数学符号作了特别多改良，同时第一个有认识地系统地用字母表示已经明白数、未知数及其乘幂，带来了代数学研究的严峻拓展，奠定了符号代数的根底，后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改良。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描绘数学的内容，这确实是符号思想。在数学中各

4、种量的关系，量的变化以及量与量之间进展推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩方式来表达大量的信息，如乘法分配律(ab)cacbc，这里的a、b、c不仅能够表示1、2、3，也能够表示4、5、6、7长方形的面积计算公式sab，不管世界上有多少个不同的长方形，都可用它计算出来。又如在“有余数的除法”教学中，最后出现一道考虑题：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能明白第24个气球是什么颜色的吗？处理这个征询题，学生能够有多种方法。如，用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意能够转化成如下符号方式：aaabbc aaa

5、bbc aaabbc从而能够直观地找出气球的陈列规律，并推出第24个气球是蓝色的。 上例所分析的这些都是符号思想的详细表达，它们将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字表达用简约明了的字母公式表示出来，便于经历，便于运用，正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正由于如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。这种用符号来表达的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。 把客观存在的事物和现象及它们互相之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从详细到表象再抽象符号化的过程，小学生在数学学习中，从接遭到运用会遇到较多的困难，需要老师在平时地教学中，从介绍字母使用的历史入手，循循善诱，

6、加强培养和训练。 二、类比思想 数学上的类比思想是指按照两类数学对象的类似性，有可能将已经明白的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够处理一些外表上看似复杂困难的征询题。就迁移过程来分，有些类比十明晰显、直截了当、比拟简单，如由加法交换律abba的学习迁移到乘法分配律ab=ba的学习；而有些类比需在建立抽象分析的根底上才能实现，比拟复杂。 例如有这么一道数学奥林匹克竞赛题：某科学调查组进展科学调查，要越过一座山。上午8时上山，每小时行3千米，到达山顶时休息1小时。下山时，每小时行5千米，下午2时到达山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？分析：此题外表上看似一

7、道行程征询题，但本质上只不过是一道典型的“鸡兔同笼”征询题的变化题型。其特征是： （1）已经明白两种事物的单值：上山速度为3千米；下山速度为5千米。 (2)已经明白这两种不同事物的总个数：除去休息1小时的5小时；全程19千米。 (3)要求的是这两种不同事物的个数：上山和下山的时间各是多少？可见此题的解答方法与鸡兔同笼征询题的解答方法完全一样。假设5小时都是上山时间，则共走路程为3515（千米），比实际走的19千米少了19154（千米），缘故是由于把下山时间也当作了上山时间，则下山时间为4（53）2（小时）。从而能够推出下山路程是5210（千米），上山路程是19109（千米）。因而我们也能够假设

8、5小时都是下山时间来类推求解。数学中所有公式定理的运用确实是类比思想的直截了当反映。 目前，小学数学教材中类比思想的内容特别多，杂志上发表得较多的某些定理，征询题的延伸，推论，拓广也是类比思想的反映，这就要求老师去开掘去施行，如长方形的面积公式为长宽ab，通过类比，三角形的面积公式也能够理解为长（底）宽（高）2ab（h）2。类似的，圆柱体体积公式为底面积高，那么锥体的体积能够理解为底面积高 。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的经历变得顺水推舟得自然和简约，从而能够激发起学生的制造力，正如数学家波利亚所说：我们应该讨论一般化和特别化和类比的这些过程本身，它们是获得觉察的伟大源泉。 三、

9、分类思想 数学中每一个概念都有其特有的本质特征，它又是按照一定的规律扩展变化的，它们之间都存在着质变到量变的关系。要正确的认识这些概念，就需要详细的概念按照详细的标准详细分析，这确实是数学的分类思想，是指按某种标准，将研究地数学对象分成假设干部分进展分析研究。 一般我们分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。如整数以能否被2整除为例，可分为奇数和偶数；假设以自然数的约数个数来分类，则可分为质数、合数和1。几何图形中的分类更常见，如学习角的分类时，涉及到许多概念，而这些概念之间的关系浸透着量变到质变的规律。其中几种角是按照度数的大小，从量变到质变来分类的，由此推理到在三角形中以最大一个角大于、

10、等于和小于90为分类标准，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。而三角形以边的长短关系为分类标准，又可分为不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识的构造。 由于分类讨论，一则在学习数学的过程中，学生潜移默化地遭到了辨证唯物主义思想的启蒙教育；又一则对学生才能有明显的区别功能，再加上现实世界需要分类研究的普遍性，作为一种数学思想必定会引起人们的注重。 例如在教学多位数读写法后，设计了如此一道开放题：下面五张卡片上分别写有数字0、0、1、2、3，能够利用它们组成许多不同的五位数，求所有五位数的平均数。分析

11、：以最高位上的数字为标准，把所有能组成的五位数分成三类，再依从小到大的顺序列表如下。 （1）10023 （2）20013 （3）30012 10032 20031 30021 10203 20103 30102 10230 20130 30120 10302 20301 30201 10320 20310 30210 12003 21003 31002 12030 21030 31020 12300 21300 31200 13002 23001 32001 13020 23010 32010 13200 23100 32100 这36个数的平均数，万位上的数字是2，可由（123）32确定，其

12、他数位上的数字都是1，可由（123）6361确定。平均数是21111。 四、方程和函数思想 在已经明白数与未知数之间建立一个等式，把生活语言“翻译”成代数语言的过程确实是方程思想。笛卡儿曾设想将所有的征询题归为数学征询题，再把数学征询题转化成方程征询题，即通过征询题中的已经明白量和未知量之间的数学关系，运用数学的符号语言转化为方程（组），这确实是方程思想的由来。 在小学阶段，学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上，一时还不能接受方程思想，由于在算求解题时，只同意详细的已经明白数参加运算，算术的结果确实是要求未知数的解，在算术解题过程中最大的弱点是未知数不同意作为运算对象，这也是算术的致命伤。

13、而在代数中未知数和已经明白数一样有权参加运算，用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边，而是和已经明白数一样，接受和执行各种运算，能够从等式的一边移到另一边，使已经明白与未知之间的数学关系十明晰晰，在小学中高年级数学教学中，假设不浸透这种方程思想，学生的数学水平就特别难提高。例如稍复杂的分数、百分数应用题、行程征询题、复原征询题等，用代数方法即假设未知数来解答比拟简便，由于用字母x表示数后，要求的未知数和已经明白数处于平等的地位，数量关系就更加明显，因而更容易考虑，更容易找到解题思路。在近代数学中，与方程思想亲切相关的是函数思想，它利用了运动和变化观点，在集合的根底上，把变量与变量之间

14、的关系，归纳为两集合中元素间的对应。数学思想是现实世界数量关系深化研究的必定产物，关于变量的重要性，恩格斯在自然辩证法一书有关“数学”的阐述中已阐述得特别明确：“数学中的转机点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辨证法进入了数学；有了变数，微分与积分也立即成为必要的了。”数学思想本质地辨证地反映了数量关系的变化规律，是近代数学发生和开展的重要根底。在小学数学教材的练习中有如下方式： 63 205700800 603 205070800 6003 205007800 有些老师，让学生计算完毕，答案正确就满足了。有经历的老师却如此来设计教学：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答

15、案有什么特点（找规律），答案的变化是如何样引起的？然后再出现下面两组题： 459 1800200 159180020 5918002 通过比照，让学生体会“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”，结论可由学生用本人的话讲出来，只求体会，不求死记硬背。研究和分析详细征询题中变量之间关系一般用解析式的方式来表示，这时能够把解析式理解成方程，通过对方程的研究去分析函数征询题。中学阶段这方面的内容较多，有正反比例函数，一次函数，二次函数，幂指对函数，三角函数等等，小学虽不多，但也有，如在分数应用题中十分常见，一个详细的数量对应于一个抽象的分率，找出数量和分率的对应恰是解题之关键；在应用题中

16、也常见，如行程征询题，客车的速度与所行时间对应于客车所行的路程，而货车的速度与所行时间对应于货车所行的路程；再如一元方程xab等等。 学好这些函数是接着深造所必需的；构造函数，需要思维的飞跃；利用函数思想，不但能到达解题的要求，而且思路也较明晰，解法巧妙，引人入胜。 五、建模思想 目前，由世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔提出的“现实数学教育”观点得到国际数学教育界的普遍认同，也为广大数学老师所接受。这一思想说明，一则学校数学具有现实的性质，数学来源于现实生活，再运用到现实生活中去；二则学生应该用现实的方法学习数学，即学生通过熟悉的现实生活，本人逐步觉察和得出的数学结论。这就意味着数学课程的

17、应用性和实践性成为国际数学课程改革的一个根本趋势。 例如美国数学老师协会1989数学课程标准和2000年标准的根本特点之一都是强调数学应用；荷兰从60年代起就开场了现实数学教育的改革历程，到90年代初，几乎所有的荷兰中小学生都已经在使用按照现实数学教育思想编写的数学课本，注重培养学生数学应意图识与实践才能；日本的数学课程设置了综合课题学习，同样也表达了数学知识综合应用的关注。这一系列实际上强调的是一种数学建模思想。 所谓数学模型是关于现实世界的某一特定研究对象，为了某个目的，在作了一些必要的简化和假设之后运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学构造。而数学建模思想确实是把现实世界中

18、有待处理或未处理的征询题，从数学的角度觉察征询题、提出征询题、理解征询题，通过转化过程，归结为一类已经处理或较易处理的征询题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得处理的一种数学思想和方法。 数学中的各种根本概念都以各自相应的现实模型作背景。如自然数集是用以描绘离散数量的模型；各类几何图形也都是从现实中抽象出来的数学模型。那些根本的数学模型使我们能对与之联络的实际征询题，举一反三，触类旁通。 例如在平面图形面积一章复习中，设计了如此一个综合学习课题：自主运用已学图形为本人的房间进展简单的镶嵌设计。 学生能顺利处理征询题，关键在于理清各种平面图形之间的知识联络，在教学中，能够建立一个平面求积的模

19、型Sab，从长方形求积公式出发推导出正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形的求积公式，沟通了各平面图形的内在联络；同时又随着相关边长的变化，展示出这些平面图形能够互相转化。学生学会了建模，有顿悟之感。 在此根底上，进一步让学生通过探究平面图形的镶嵌，明白三角形、四边形或者正六边形能够镶嵌平面，然后自行设计房间镶嵌方案。在这整个过程中，强调了数学学习经历“征询题情境建立模型分类求解解释与应用”的根本过程，引导学生主动参与、亲身实践、独立考虑、合作探究，实现了学习方式的转变，改变了单一的经历、接受、模拟的被动学习方式，开展了学生搜集和处理信息的才能，以及交流与合作的才能。 因而，在数学教育中,加强

20、数学思想和数学方法的浸透不只是单存的思维活动,它本身就蕴涵了情感素养的熏染。而这一点在传统的数学教育中往往被无视了。我们在强调学习知识和技能的过程和方法的同时，更加应该关注的是伴随这一过程而产生的积极情感体验和正确的价值观。标准把“情感与态度”作为四大目的领域之一，与“知识技能”、“数学考虑”、“处理征询题”三大领域相提并论，这充分说明新一轮的数学课程标准改革对培养学生良好的情感与态度的高度注重。它应该包括能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自决心。初步认识数学与人类生活的亲切联络及对人类历史开展的作用，体验数学活动充满着探究

21、与制造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性，构成实事求是的态度以及进展质疑和独立考虑的习惯。另一方面引导学生在学习知识的过程中，学会合作学习，培养探究与制造精神，构成正确的人格认识。 现代数学思想方法的内涵极为丰富，诸如还有集合思想、极限思想、优化思想、统计思想、猜测与证明等等，小学数学教学中都有所涉及。我们广大小学数学老师要做教学有心人，有意浸透，有意点拨，注重数学史的浸透，注重课堂教学小结，要以习惯小学生年龄特点的群众化、生活化方式呈现教学内容，让学生通过现实活动，主动参与、自主探究，学会用数学思维方法提出征询题、分析征询题、处理征询题，从而让学生的数学思维才能得到实在、有效地开展，进而提高全民族的数学文化素养。 主要参考文献： 1. 九年制义务教育全日制小学数学课程标准（试验稿） 2. 和学新，新一轮根底教育课程改革解读，教学与治理2002-2-1 3. 徐斌艳，“现实数学教育”中基于情境性征询题的教学方式分析，外国教育材料2000-4 4孔企平，近年来国际数学课程改革的假设干趋势，外国教育材料2000-6 天杭小学