大学物理答案第三章.doc

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1、3-1 分析与解在质点组中内力总是成对出现的,它们是作用力与反作用力由于一对内力的冲量恒为零,故内力不会改变质点组的总动量但由于相互有作用力的两个质点的位移大小以及位移与力的夹角一般不同,故一对内力所作功之和不一定为零,应作具体分析,如一对弹性内力的功的代数和一般为零,一对摩擦内力的功代数和一般不为零,对于保守内力来说,所作功能使质点组动能与势能相互转换,因此保守内力即使有可能改变质点组的动能,但也不可能改变质点组的机械能综上所述(1)(3)说法是正确的故选(C)3-2 分析与解对题述系统来说,由题意知并无外力和非保守内力作功,故系统机械能守恒物体在下滑过程中,一方面通过重力作功将势能转化为动

2、能,另一方面通过物体与斜面之间的弹性内力作功将一部分能量转化为斜面的动能,其大小取决其中一个内力所作功由于斜面倾角不同,故物体沿不同倾角斜面滑至底端时动能大小不等动量自然也就不等(动量方向也不同)故(A)(B)(C)三种说法均不正确至于说法(D)正确,是因为该系统动量虽不守恒(下滑前系统动量为零,下滑后物体与斜面动量的矢量和不可能为零由此可知,此时向上的地面支持力并不等于物体与斜面向下的重力),但在水平方向上并无外力,故系统在水平方向上分动量守恒3-3 分析与解保守力作正功时,系统内相应势能应该减少由于保守力作功与路径无关,而只与始末位置有关,如质点环绕一周过程中,保守力在一段过程中作正功,在

3、另一段过程中必然作负功,两者之和必为零至于一对作用力与反作用力分别作用于两个质点所作功之和未必为零(详见习题3 -2 分析),由此可见只有说法(2)正确,故选(C)3-4 分析与解由题意知,作用在题述系统上的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能未必守恒,这取决于在A、B 弹开过程中C 与A 或D 与B 之间有无相对滑动,如有则必然会因摩擦内力作功,而使一部分机械能转化为热能,故选(D)3-5 分析与解子弹-木块系统在子弹射入过程中,作用于系统的合外力为零,故系统动量守恒,但机械能并不守恒这是因为子弹与木块作用的一对内力所作功的代数和不为零(这是因为子弹对地位移大于木块对地位移所致),子弹动能的

4、减少等于子弹克服阻力所作功,子弹减少的动能中,一部分通过其反作用力对木块作正功而转移为木块的动能,另一部分则转化为热能(大小就等于这一对内力所作功的代数和)综上所述,只有说法(C)的表述是完全正确的3-6 分析由于鸟与飞机之间的作用是一短暂时间内急剧变化的变力,直接应用牛顿定律解决受力问题是不可能的如果考虑力的时间累积效果,运用动量定理来分析,就可避免作用过程中的细节情况在求鸟对飞机的冲力(常指在短暂时间内的平均力)时,由于飞机的状态(指动量)变化不知道,使计算也难以进行；这时,可将问题转化为讨论鸟的状态变化来分析其受力情况,并根据鸟与飞机作用的相互性(作用与反作用),问题就很简单了解以飞鸟为

5、研究对象,取飞机运动方向为x 轴正向由动量定理得式中F为飞机对鸟的平均冲力,而身长为20cm 的飞鸟与飞机碰撞时间约为t l /v,以此代入上式可得 鸟对飞机的平均冲力为 式中负号表示飞机受到的冲力与其飞行方向相反从计算结果可知,2.25 105 N的冲力大致相当于一个22 t 的物体所受的重力,可见,此冲力是相当大的若飞鸟与发动机叶片相碰,足以使发动机损坏,造成飞行事故3-7 分析重力是恒力,因此,求其在一段时间内的冲量时,只需求出时间间隔即可由抛体运动规律可知,物体到达最高点的时间,物体从出发到落回至同一水平面所需的时间是到达最高点时间的两倍这样,按冲量的定义即可求得结果另一种解的方法是根

6、据过程的始、末动量,由动量定理求出解1物体从出发到达最高点所需的时间为 则物体落回地面的时间为 于是,在相应的过程中重力的冲量分别为 解2根据动量定理,物体由发射点O 运动到点A、B 的过程中,重力的冲量分别为 3-8 分析本题可由冲量的定义式,求变力的冲量,继而根据动量定理求物体的速度v2解(1) 由分析知(2) 由I 300 30t 2t2 ,解此方程可得 t 686 s(另一解不合题意已舍去)(3) 由动量定理,有 I m v2- m v1由(2)可知t 686 s 时I 300 Ns ,将I、m 及v1代入可得 3-9 分析从人受力的情况来看,可分两个阶段：在开始下落的过程中,只受重力

7、作用,人体可看成是作自由落体运动；在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论事实上,动量定理也可应用于整个过程但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的；而在过程的初态和末态,人体的速度均为零这样,运用动量定理仍可得到相同的结果解1以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论在自由落体运动过程中,人跌落至2 m 处时的速度为 (1)在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有 (2)由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为解2

8、从整个过程来讨论根据动量定理有3-10 分析由冲量定义求得力F 的冲量后,根据动量原理,即为动量增量,注意用式积分前,应先将式中x 用x Acost代之,方能积分解力F 的冲量为 即3-11 分析对于弯曲部分AB 段内的水而言,由于流速一定,在时间t 内,从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量因此,对这部分水来说,在时间t 内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量pm(vB -vA )；此动量的变化是管壁在t时间内对其作用冲量I 的结果依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力F；由牛顿第三定律,自然就得到水流对管壁的作用力F-F解在t 时间内,从管一端流入(或流出) 水的质量为m St,弯曲

9、部分AB 的水的动量的增量则为 pm(vB -vA ) St (vB -vA )依据动量定理I p,得到管壁对这部分水的平均冲力从而可得水流对管壁作用力的大小为 作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧3-12 分析根据抛体运动规律,物体在最高点处的位置坐标和速度是易求的因此,若能求出第二块碎片抛出的速度,按抛体运动的规律就可求得落地的位置为此,分析物体在最高点处爆炸的过程,由于爆炸力属内力,且远大于重力,因此,重力的冲量可忽略,物体爆炸过程中应满足动量守恒由于炸裂后第一块碎片抛出的速度可由落体运动求出,由动量守恒定律可得炸裂后第二块碎片抛出的速度,进一步求出落地位置解取如图示坐标,根据抛体运动

10、的规律,爆炸前,物体在最高点A 的速度的水平分量为 (1)物体爆炸后,第一块碎片竖直落下的运动方程为当该碎片落地时,有y1 0,t t1 ,则由上式得爆炸后第一块碎片抛出的速度 (2)又根据动量守恒定律,在最高点处有 (3) (4)联立解式(1)、(2)、(3) 和(4),可得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为 爆炸后,第二块碎片作斜抛运动,其运动方程为 (5) (6)落地时,y2 0,由式(5)、(6)可解得第二块碎片落地点的水平位置 x2 500 m3-13 分析由于两船横向传递的速度可略去不计,则对搬出重物后的船A 与从船B 搬入的重物所组成的系统来讲,在水平方向上无外力作用,因此,

11、它们相互作用的过程中应满足动量守恒；同样,对搬出重物后的船B 与从船A 搬入的重物所组成的系统亦是这样由此,分别列出系统、的动量守恒方程即可解出结果解设A、B两船原有的速度分别以vA 、vB 表示,传递重物后船的速度分别以vA 、vB 表示,被搬运重物的质量以m 表示分别对上述系统、应用动量守恒定律,则有 (1) (2)由题意知vA 0, vB 3.4 ms-1 代入数据后,可解得也可以选择不同的系统,例如,把A、B 两船(包括传递的物体在内)视为系统,同样能满足动量守恒,也可列出相对应的方程求解3-14 分析人跳跃距离的增加是由于他在最高点处向后抛出物体所致在抛物的过程中,人与物之间相互作用

12、力的冲量,使他们各自的动量发生了变化如果把人与物视为一系统,因水平方向不受外力作用,故外力的冲量为零,系统在该方向上动量守恒但在应用动量守恒定律时,必须注意系统是相对地面(惯性系)而言的,因此,在处理人与物的速度时,要根据相对运动的关系来确定至于,人因跳跃而增加的距离,可根据人在水平方向速率的增量v 来计算解取如图所示坐标把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有式中v 为人抛物后相对地面的水平速率, v -u 为抛出物对地面的水平速率得人的水平速率的增量为 而人从最高点到地面的运动时间为 所以,人跳跃后增加的距离3-15 分析由于桌面所受的压力难以直接求出

13、,因此,可转化为求其反作用力,即桌面给绳的托力但是,应注意此托力除了支持已落在桌面上的绳外,还有对dt 时间内下落绳的冲力,此力必须运用动量定理来求解取如图所示坐标,开始时绳的上端位于原点,Oy 轴的正向竖直向下绳的总长为l,以t 时刻,已落到桌面上长为y、质量为m的绳为研究对象这段绳受重力P、桌面的托力FN 和下落绳子对它的冲力F (如图中所示)的作用由力的平衡条件有 (1)为求冲力F,可取dt 时间内落至桌面的线元dy 为研究对象线元的质量,它受到重力dP 和冲力F 的反作用力F的作用,由于FdP,故由动量定理得 (2)而 (3)由上述三式可得任意时刻桌面受到的压力大小为3-16 分析这是

14、一个系统内质量转移的问题为了讨论火箭的运动规律,仍需建立其在重力场中的动力学方程为此,以t 时刻质量为m 的火箭为研究对象,它在tt t 的时间内,将分离成火箭主体(包括尚剩的燃料)和排出的燃料两部分根据它们的总动量的增量dPi 和系统所受的外力重力(阻力不计),由动量定理可得到-mg udm/dt mdv/dt(推导从略,见教材),即火箭主体的动力学方程由于在dt 时间内排出燃料的质量dm很小,式中m 也就可以视为此刻火箭主体的质量, 而燃料的排出率dm/dt 也就是火箭质量的变化率-dm/dt这样,上述方程也可写成在特定加速度a0 的条件下,根据初始时刻火箭的质量m0 ,就可求出燃料的排出

15、率dm/dt在火箭的质量比( 即t 时刻火箭的质量m 与火箭的初始质量m0之比) 已知的条件下,可算出火箭所经历的时间,则火箭运动的速率可通过对其动力学方程积分后解得解(1) 以火箭发射处为原点,竖直向上为正方向该火箭在重力场中的动力学方程为 (1)因火箭的初始质量为m0 5.00 105 kg, 要使火箭获得最初的加速度a0 4.90 ms-2,则燃气的排出率为(2) 为求火箭的最后速率,可将式(1)改写成 分离变量后积分,有 火箭速率随时间的变化规律为 (2)因火箭的质量比为6.00,故经历时间t 后,其质量为得 (3)将式(3)代入式(2),依据初始条件,可得火箭的最后速率3-17 分析

16、由题意知质点是在变力作用下运动,因此要先找到力F 与位置x 的关系,由题给条件知则该力作的功可用式 计算,然后由动能定理求质点速率解由分析知, 则在x 0 到x L 过程中作功, 由动能定理有 得x L 处的质点速率为此处也可用牛顿定律求质点速率,即分离变量后,两边积分也可得同样结果3-18 分析该题中虽施以“恒力”,但是,作用在物体上的力的方向在不断变化需按功的矢量定义式来求解解取图示坐标,绳索拉力对物体所作的功为3-19 分析本题是一维变力作功问题,仍需按功的定义式来求解关键在于寻找力函数F F(x)根据运动学关系,可将已知力与速度的函数关系F(v) kv2 变换到F(t),进一步按x c

17、t3 的关系把F(t)转换为F(x),这样,就可按功的定义式求解解由运动学方程x ct3 ,可得物体的速度按题意及上述关系,物体所受阻力的大小为则阻力的功为3-20 分析由于水桶在匀速上提过程中,拉力必须始终与水桶重力相平衡水桶重力因漏水而随提升高度而变,因此,拉力作功实为变力作功由于拉力作功也就是克服重力的功,因此,只要能写出重力随高度变化的关系,拉力作功即可题3 -20 图求出解水桶在匀速上提过程中,a 0,拉力与水桶重力平衡,有F P 0在图示所取坐标下,水桶重力随位置的变化关系为P mg -gy其中02 kg/m,人对水桶的拉力的功为3-21 分析(1) 在计算功时,首先应明确是什么力

18、作功小球摆动过程中同时受到重力和张力作用重力是保守力,根据小球下落的距离,它的功很易求得；至于张力虽是一变力,但是,它的方向始终与小球运动方向垂直,根据功的矢量式,即能得出结果来(2) 在计算功的基础上,由动能定理直接能求出动能和速率(3) 在求最低点的张力时,可根据小球作圆周运动时的向心加速度由重力和张力提供来确定解(1) 如图所示,重力对小球所作的功只与始末位置有关,即在小球摆动过程中,张力F 的方向总是与运动方向垂直,所以,张力的功 (2) 根据动能定理,小球摆动过程中,其动能的增量是由于重力对它作功的结果初始时动能为零,因而,在最低位置时的动能为 小球在最低位置的速率为 (3) 当小球

19、在最低位置时,由牛顿定律可得 3-22 分析质点在运动过程中速度的减缓,意味着其动能减少；而减少的这部分动能则消耗在运动中克服摩擦力作功上由此,可依据动能定理列式解之解(1) 摩擦力作功为 (1)(2) 由于摩擦力是一恒力,且F mg,故有 (2)由式(1)、(2)可得动摩擦因数为(3) 由于一周中损失的动能为,则在静止前可运行的圈数为圈3-23 分析运用守恒定律求解是解决力学问题最简捷的途径之一因为它与过程的细节无关,也常常与特定力的细节无关“守恒”则意味着在条件满足的前提下,过程中任何时刻守恒量不变在具体应用时,必须恰当地选取研究对象(系统),注意守恒定律成立的条件该题可用机械能守恒定律来

20、解决选取两块板、弹簧和地球为系统,该系统在外界所施压力撤除后(取作状态1),直到B 板刚被提起(取作状态2),在这一过程中,系统不受外力作用,而内力中又只有保守力(重力和弹力)作功,支持力不作功,因此,满足机械能守恒的条件只需取状态1 和状态2,运用机械能守恒定律列出方程,并结合这两状态下受力的平衡,便可将所需压力求出解选取如图(b)所示坐标,取原点O处为重力势能和弹性势能零点作各状态下物体的受力图对A 板而言,当施以外力F 时,根据受力平衡有F1 P1 F (1)当外力撤除后,按分析中所选的系统,由机械能守恒定律可得式中y1 、y2 为M、N 两点对原点O 的位移因为F1 ky1 ,F2 k

21、y2 及P1 m1g,上式可写为F1 -F2 2P1 (2)由式(1)、(2)可得F P1 F2 (3)当A 板跳到N 点时,B 板刚被提起,此时弹性力F2 P2 ,且F2 F2 由式(3)可得F P1 P2 (m1 m2 )g应注意,势能的零点位置是可以任意选取的为计算方便起见,通常取弹簧原长时的弹性势能为零点,也同时为重力势能的零点3-24 分析矿车在下滑和返回的全过程中受到重力、弹力、阻力和支持力作用若取矿车、地球和弹簧为系统,支持力不作功,重力、弹力为保守力,而阻力为非保守力矿车在下滑和上行两过程中,存在非保守力作功,系统不满足机械能守恒的条件,因此,可应用功能原理去求解在确定重力势能

22、、弹性势能时,应注意势能零点的选取,常常选取弹簧原长时的位置为重力势能、弹性势能共同的零点,这样做对解题比较方便解取沿斜面向上为x 轴正方向弹簧被压缩到最大形变时弹簧上端为坐标原点O矿车在下滑和上行的全过程中,按题意,摩擦力所作的功为W (0.25mg 0.25mg)(l x) (1)式中m和m 分别为矿车满载和空载时的质量,x 为弹簧最大被压缩量根据功能原理,在矿车运动的全过程中,摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值,故有W -E -(EPE )由于矿车返回原位时速度为零,故E0；而EP(m -m) g(l x) sin,故有W -(m -m) g(l x) sin (2)由式(1)、(

23、2)可解得3-25 分析由于两次锤击的条件相同,锤击后钉子获得的速度也相同,所具有的初动能也相同钉子钉入木板是将钉子的动能用于克服阻力作功,由功能原理可知钉子两次所作的功相等由于阻力与进入木板的深度成正比,按变力的功的定义得两次功的表达式,并由功相等的关系即可求解解因阻力与深度成正比,则有Fkx(k 为阻力系数)现令x01.00 10 -2 m,第二次钉入的深度为x,由于钉子两次所作功相等,可得 x0.41 10 -2 m3-26 分析根据势能和动能的定义,只需知道卫星的所在位置和绕地球运动的速率,其势能和动能即可算出由于卫星在地球引力作用下作圆周运动,由此可算得卫星绕地球运动的速率和动能由于

24、卫星的引力势能是属于系统(卫星和地球)的,要确定特定位置的势能时,必须规定势能的零点,通常取卫星与地球相距无限远时的势能为零这样,卫星在特定位置的势能也就能确定了至于卫星的机械能则是动能和势能的总和解(1) 卫星与地球之间的万有引力提供卫星作圆周运动的向心力,由牛顿定律可得 则 (2) 取卫星与地球相距无限远(r)时的势能为零,则处在轨道上的卫星所具有的势能为(3) 卫星的机械能为3-27 分析取冰块、屋面和地球为系统,由于屋面对冰块的支持力FN 始终与冰块运动的方向垂直,故支持力不作功；而重力P又是保守内力,所以,系统的机械能守恒但是,仅有一个机械能守恒方程不能解出速度和位置两个物理量；因此

25、,还需设法根据冰块在脱离屋面时支持力为零这一条件,由牛顿定律列出冰块沿径向的动力学方程求解上述两方程即可得出结果解由系统的机械能守恒,有 (1)根据牛顿定律,冰块沿径向的动力学方程为 (2)冰块脱离球面时,支持力FN 0,由式(1)、(2)可得冰块的角位置冰块此时的速率为v 的方向与重力P 方向的夹角为 90- 41.83-28 分析若取小球、弹簧和地球为系统,小球在被释放后的运动过程中,只有重力和弹力这两个保守内力作功,轨道对球的支持力不作功,因此,在运动的过程中,系统的机械能守恒运用守恒定律解题时,关键在于选好系统的初态和终态为获取本题所求的结果,初态选在压缩弹簧刚被释放时刻,这样,可使弹

26、簧的劲度系数与初态相联系；而终态则取在小球刚好能通过半圆弧时的最高点C 处,因为这时小球的速率正处于一种临界状态,若大于、等于此速率时,小球定能沿轨道继续向前运动；小于此速率时,小球将脱离轨道抛出该速率则可根据重力提供圆弧运动中所需的向心力,由牛顿定律求出这样,再由系统的机械能守恒定律即可解出该弹簧劲度系数的最小值解小球要刚好通过最高点C 时,轨道对小球支持力FN 0,因此,有 (1)取小球开始时所在位置A 为重力势能的零点,由系统的机械能守恒定律,有 (2) 由式(1)、(2) 可得 3-29 分析这也是一种碰撞问题碰撞的全过程是指小球刚与弹簧接触直至弹簧被压缩到最大,小球与靶刚好到达共同速

27、度为止,在这过程中,小球和靶组成的系统在水平方向不受外力作用,外力的冲量为零,因此,在此方向动量守恒但是,仅靠动量守恒定律还不能求出结果来又考虑到无外力对系统作功,系统无非保守内力作功,故系统的机械能也守恒应用上述两个守恒定律,并考虑到球与靶具有相同速度时,弹簧被压缩量最大这一条件,即可求解应用守恒定律求解,可免除碰撞中的许多细节问题解设弹簧的最大压缩量为x0 小球与靶共同运动的速度为v1 由动量守恒定律,有 (1)又由机械能守恒定律,有 (2)由式(1)、(2)可得3-30 分析该题可分两个过程分析首先是弹丸穿越摆锤的过程就弹丸与摆锤所组成的系统而言,由于穿越过程的时间很短,重力和的张力在水

28、平方向的冲量远小于冲击力的冲量,因此,可认为系统在水平方向不受外力的冲量作用,系统在该方向上满足动量守恒摆锤在碰撞中获得了一定的速度,因而具有一定的动能,为使摆锤能在垂直平面内作圆周运动,必须使摆锤在最高点处有确定的速率,该速率可由其本身的重力提供圆周运动所需的向心力来确定；与此同时,摆锤在作圆周运动过程中,摆锤与地球组成的系统满足机械能守恒定律,根据两守恒定律即可解出结果解由水平方向的动量守恒定律,有 (1)为使摆锤恰好能在垂直平面内作圆周运动,在最高点时,摆线中的张力F0,则 (2)式中vh 为摆锤在圆周最高点的运动速率又摆锤在垂直平面内作圆周运动的过程中,满足机械能守恒定律,故有 (3)

29、解上述三个方程,可得弹丸所需速率的最小值为3-31 分析对于粒子的对心弹性碰撞问题,同样可利用系统(电子和氢原子)在碰撞过程中所遵循的动量守恒和机械能守恒来解决本题所求电子传递给氢原子的能量的百分数,即氢原子动能与电子动能之比根据动能的定义,有,而氢原子与电子的质量比m/m 是已知的,它们的速率比可应用上述两守恒定律求得, 即可求出解以EH 表示氢原子被碰撞后的动能, Ee 表示电子的初动能,则 (1)由于粒子作对心弹性碰撞,在碰撞过程中系统同时满足动量守恒和机械能守恒定律,故有 (2) (3)由题意知m/m1 840,解上述三式可得3-32 分析这是粒子系统的二维弹性碰撞问题这类问题通常采用

30、守恒定律来解决因为粒子系统在碰撞的平面内不受外力作用,同时,碰撞又是完全弹性的,故系统同时满足动量守恒和机械能守恒由两守恒定律方程即可解得结果解取如图所示的坐标,由于粒子系统属于斜碰,在碰撞平面内根据系统动量守恒定律可取两个分量式,有 (1) (2)又由机械能守恒定律,有 (3)解式(1)、(2)、(3)可得碰撞后B 粒子的速率为各粒子相对原粒子方向的偏角分别为3-33 分析该题可分两个阶段来讨论,首先是子弹和物块的撞击过程,然后是物块(包含子弹)沿斜面向上的滑动过程在撞击过程中,对物块和子弹组成的系统而言,由于撞击前后的总动量明显是不同的,因此,撞击过程中动量不守恒应该注意,不是任何碰撞过程

31、中动量都是守恒的但是,若取沿斜面的方向,因撞击力(属于内力)远大于子弹的重力P1 和物块的重力P2 在斜面的方向上的分力以及物块所受的摩擦力F ,在该方向上动量守恒,由此可得到物块被撞击后的速度在物块沿斜面上滑的过程中,为解题方便,可重新选择系统(即取子弹、物块和地球为系统),此系统不受外力作用,而非保守内力中仅摩擦力作功,根据系统的功能原理,可解得最终的结果解在子弹与物块的撞击过程中,在沿斜面的方向上,根据动量守恒有 (1)在物块上滑的过程中,若令物块刚滑出斜面顶端时的速度为v2 ,并取A 点的重力势能为零由系统的功能原理可得 (2)由式(1)、(2)可得3-34 分析由于桌面无摩擦,容器可

32、以在水平桌面上滑动,当小球沿容器内壁下滑时,容器在桌面上也要发生移动将小球与容器视为系统,该系统在运动过程中沿水平桌面方向不受外力作用,系统在该方向上的动量守恒；若将小球、容器与地球视为系统,因系统无外力作用,而内力中重力是保守力,而支持力不作功,系统的机械能守恒由两个守恒定律可解得小球和容器在惯性系中的速度由于相对运动的存在,小球相对容器运动的轨迹是圆,而相对桌面运动的轨迹就不再是圆了,因此,在运用曲线运动中的法向动力学方程求解小球受力时,必须注意参考系的选择若取容器为参考系(非惯性系),小球在此参考系中的轨迹仍是容器圆弧,其法向加速度可由此刻的速度(相对于容器速度)求得在分析小球受力时,除

33、重力和支持力外,还必须计及它所受的惯性力小球位于容器的底部这一特殊位置时,容器的加速度为零,惯性力也为零这样,由法向动力学方程求解小球所受的支持力就很容易了若仍取地面为参考系(惯性系),虽然无需考虑惯性力,但是因小球的轨迹方程比较复杂,其曲率半径及法向加速度难以确定,使求解较为困难解根据水平方向动量守恒定律以及小球在下滑过程中机械能守恒定律可分别得 (1) (2)式中vm 、vm分别表示小球、容器相对桌面的速度由式(1)、(2)可得小球到达容器底部时小球、容器的速度大小分别为由于小球相对地面运动的轨迹比较复杂,为此,可改为以容器为参考系(非惯性系)在容器底部时,小球相对容器的运动速度为 (3)

34、在容器底部,小球所受惯性力为零,其法向运动方程为 (4)由式(3)、(4)可得小球此时所受到的支持力为3-35 分析(1) 桩依靠自重下沉是利用重力势能的减少来克服摩擦力作功,可根据功能原理求解(2)打桩过程可分为三个阶段1.锤自由下落的过程在此过程中,锤与地球系统的势能转化为锤的动能,满足机械能守恒定律2.碰撞的过程在这过程中,由于撞击力远大于重力和泥土的阻力,锤与桩这一系统满足动量守恒定律由于碰撞是完全非弹性的,碰撞后桩和锤以共同速度运动3.桩下沉的过程在这过程中,桩和锤的动能和系统的势能将用于克服摩擦力作功,可应用系统的功能原理根据以上分析列出相应方程式即可解(3)仍为打桩过程所不同的是

35、,在此过程中,碰撞是非弹性的,因此,桩获得的速度还需根据锤反弹的高度求出桩下沉时,仍是以桩的动能和势能减少来克服摩擦力作功的解(1) 在锤击桩之前,由于桩的自重而下沉,这时,取桩和地球为系统,根据系统的功能原理,有 (1)桩下沉的距离为(2) 锤从1 m 高处落下,其末速率为由于锤与桩碰撞是完全非弹性的,锤与桩碰撞后将有共同的速率,按动量守恒定律,有 (2)随后桩下沉的过程中,根据系统的功能原理,有 (3)由式(2)、(3)可解得桩下沉的距离为h2 0.2 m(3) 当桩已下沉35 m 时,再一次锤桩,由于此时的碰撞是一般非弹性的,锤碰撞后的速率可由上抛运动规律得,再根据动量守恒定律,有 (4

36、)随后,桩在下沉过程中,再一次应用系统的功能原理,得 (5)由式(4)、(5)可得桩再一次下沉的距离h3 0.033 m3-36 分析因质点系的质心是静止的, 质心的速度为零, 即vC drC,故有,这是一矢量方程将质点系中各质点的质量和速度分量代入其分量方程式,即可解得第三质点的速度解在质点运动的平面内取如图3 -36 所示坐标按的分量式,有其中, , -30,代入后得 则 3-37 分析两质点被刚性杆连接构成一整体,其质心坐标可按质心位矢式求出虽然两力分别作用在杆端不同质点上,但对整体而言,可应用质心运动定律和运动学规律来求解解(1) 选如图所示坐标,则t 0 时,系统质心的坐标为对小球与杆整体应用质心运动定律,得 (1) (2)根据初始条件t 0 时,v 0,分别对式(1)、式(2)积分可得质心速度的分量与时间的函数关系式,有 (3) (4)根据初始条件t 0 时,x xC0 ,y yC0 ,对式(3)、式(4)再一次积分可得质心坐标与时间的函数关系式,有及 (2) 利用动量定理并考虑到系统的初始状态为静止,可得系统总动量与时间的函数关系