第六章样本及抽样分布.pptx

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1、n基本概念n经验分布函数n统计量及其分布n三个常用分布n抽样分布定理n典型例题 现实中往往只允许我们对随机现象进行次数不现实中往往只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，即从局部观察资料推断总体的规律多的观察试验，即从局部观察资料推断总体的规律. 数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的理、分析所获得的有限有限的资料，对所研究的问题的资料，对所研究的问题, 尽可能地作出精确而可靠的结论尽可能地作出精确而可靠的结论.第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识它们构成了统计推断的两种基本形式它们构成了统计推断的两种基本形式. .这两种

2、推断这两种推断渗透到了数理统计的每个分支渗透到了数理统计的每个分支. 现实世界中存在着形形色色的数据现实世界中存在着形形色色的数据,分析这些分析这些数据需要多种多样的方法数据需要多种多样的方法. 因此因此,数理统计中的方法和支持这些方法的相数理统计中的方法和支持这些方法的相应理论是相当丰富的应理论是相当丰富的.概括起来可以归纳成两大类概括起来可以归纳成两大类:参数估计参数估计根据数据根据数据,用一些方法对分布的未知用一些方法对分布的未知参数进行估计参数进行估计.假设检验假设检验根据数据根据数据,用一些方法对分布的未知用一些方法对分布的未知参数进行检验参数进行检验.第六章第六章 数理统计基础知识

3、数理统计基础知识总体总体:研究对象的某项数量指标的全部可能的观察值研究对象的某项数量指标的全部可能的观察值某学校男生的身高的全体一个总体，某学校男生的身高的全体一个总体，每个男生的身高是一个个体。每个男生的身高是一个个体。某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；每一个灯泡的寿命是一个个体；个体：个体：每一个可能观察值为个体。每一个可能观察值为个体。容量：容量：总体所包含的个体的个数称为总体的容量总体所包含的个体的个数称为总体的容量有限总体：有限总体：容量有限的称为有限总体容量有限的称为有限总体无限总体：无限总体：容量无限的称为无容量无限的

4、称为无 限总体限总体5.1 5.1 基本概念基本概念6.1 基本概念基本概念样本：样本：被抽取的部分个体叫做总体的一个样本被抽取的部分个体叫做总体的一个样本总体一般被看作随机变量总体一般被看作随机变量第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识简单随机样本简单随机样本: :若若n个随机变量个随机变量 相互独立，且具有相相互独立，且具有相同的概率分布同的概率分布 ，则称，则称 是来自总是来自总体的一个容量为体的一个容量为n的的简单随机样本简单随机样本，简称为，简称为样本样本。nXXX,21),(21nXXX)(xFix 容量为容量为n的样本的样本 是一个是一个n维随机变量，维随机变量，记记 为

5、为 的一次观察值的一次观察值则称则称 为样本的一次为样本的一次观察值观察值。), 2 , 1(niXi),(21nXXX),(2,1nxxx niinxFxxF11*)(),( niinxfxxf11*)(),( 若若 为为X的一个样本，则的一个样本，则 的联合分布函数为：的联合分布函数为：nXX,1nXX,1 若设若设X的概率密度为的概率密度为f，则的联合，则的联合概率密度为：概率密度为：nXX,16.1 基本概念基本概念6.2 6.2 经验分布函数经验分布函数 设有总体设有总体X的的n个独立观察值，按大小顺序可排成个独立观察值，按大小顺序可排成 nxxx21 若若 ，则不大于，则不大于X的

6、观察值的频率为的观察值的频率为 ，那么，函数那么，函数1kkxxxnk., 2 , 1, 1, 0)(1, 1nkxxxxxnkxxxFnkkn表示在表示在n次重复试验中，事件次重复试验中，事件 的频率。我们称的频率。我们称 为样本分布函数或为样本分布函数或经验分布函数经验分布函数。 xX )(xFn6.2 经验分布函数经验分布函数对于经验分布函数对于经验分布函数 有如下定理：有如下定理：)(xFn即即一致收敛与分布函数一致收敛与分布函数以概率以概率时时，当，当对一切实数对一切实数),(1)(xFxFnxn 10)()(suplim xFxFPnxn第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知

7、识)()( xFxFPn或：一一. 统计量的概念统计量的概念二二. .常用统计量常用统计量第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识6.3 6.3 统计量统计量一一. . 统计量的概念统计量的概念x1,x2, xn是相应于样本是相应于样本X1,X2, Xn的样本值的样本值,则称则称g(x1,x2, xn)是是g(X1,X2, Xn)的观察值。的观察值。 注：统计量是随机变量。是一是一统计量统计量。若若X1, X2, Xn是是来自总体来自总体X 的一个样本的一个样本,g(X1,X2, Xn)是是X1,X2, Xn的函数，的函数，不含任何未知参数不含任何未知参数， 则称则称g(X1,X2, X

8、n)若若g中中1.6.3 统计量统计量设为来自总体设为来自总体 的一个样本，的一个样本，nXX ,1),(2 NX已知，已知，未知未知其中其中2, 问下列随机变量中那些是统计量问下列随机变量中那些是统计量.)(;)(;2122111nnXXXXnXXXXnnnn思考？思考？第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识二二. . 常用统计量常用统计量样本均值样本均值样本方差样本方差niiXnX11niiXXnS122)(11它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息 niiXXnSS122)(11样本标准差：样本标准差：6.3 统计量统计量样本样本

9、k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXnA11 nikikXXnB1)(1 k=1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶矩阶矩的信息的信息它反映了总体它反映了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识它们的观察值分别为：它们的观察值分别为： niixnx1111)(11122122 niiniixnxnxxns niixxns12)(112 , 1,11 kxnanikik2 , 1,)(11 kxxnbnikik样本均值样本均值样本方差样本方差样本标准差样本标准差样本样本k阶矩阶矩样本样本k阶中心矩阶中心矩6.3 统计量统计量时，时，则

10、当则当存在，存在，记成记成阶矩阶矩的的若总体若总体 nXEkXkk )(, 2 , 1, kAkPk 说明说明第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识那么那么2. .2,1,2222nnnESESn3.PXn时，当),(21nXXX定理定理 设设是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本1. nXDXE2,2,DXEX记记4.,2222PnPSSn时，当证明证明1. niniiniinXEnXnEXE1111)(1)1()(nnXDnXnDXDniniinii21221211)(1)1()(证明证明2.6.4 抽样分布抽样分布2121221221212 )2()( XnXXXXnXXXX

11、XXXniiiniiniiiniini因为2222222121221) 1()( )(nnnnXEXnDEXDXXnEEXXXEiininiiini2212)(11XXEnESini22121)(1nnXXEnESinin3.与与4.的结论由大数定律即可得。的结论由大数定律即可得。所以所以n三个常用分布n抽样分布定理6.4 6.4 三个常用分布三个常用分布 统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布。一般情况下，。一般情况下，当总体分布已知时，求统计量的分布是很困难的。当总体分布已知时，求统计量的分布是很困难的。然而，当总体服从正态分布时，某些统计量的分然而，当总体服从正态分布时，某些统

12、计量的分布比较容易求得。布比较容易求得。6.4 抽样分布抽样分布 X1,X2,Xn 是来自总体是来自总体N(0,1)的样本的样本, ,则称统计量则称统计量222212nXXX 服从自由度为服从自由度为n的的 2分布分布. （一）（一） 2分布分布记为记为 2 2(n).2 分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .1. 定义及概率密度定义及概率密度6.4 抽样分布抽样分布一、三个常用分布一、三个常用分布2分布的密度函数为分布的密度函数为 000)2(21),(2122xxexnnxfxnn来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分0,)(01 xd

13、ttexxt)(x )()1(xxx !)1(nn )21(第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识 2分布的分布的密度函数密度函数的图形如的图形如右图右图. .6.4 抽样分布抽样分布),(2 N(3) 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21则则21222)(1nniiX 22121nnXX ,222121nnXX (2) 设设 且且X1,X2相互独立，则相互独立，则分布的性质分布的性质2 2.第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识nDnE2)(,)(22 (1) 期望和方差期望和方差)()(222212nXXXEE )()()(22221nXEX

14、EXE )(2iXnE )()(2iiXEXDn nn )01(2)()(222212nXXXDD )()()(22221nXDXDXD )(2iXnD )()(224iiXEXEn 2241212dxexnx 13 nn2 6.4 抽样分布抽样分布证明（证明（1）)() 10(22nP，称满足条件：对于给定的。分位点下分布的为的点)()(22nn24. 下分位点下分位点第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识nYXt/ （二）（二） t分布分布设设 X N(0,1), Y 2(n), 且且X,Y相互独立相互独立,称统计量称统计量 服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布.记为记为 t

15、t(n).T的密度函数为：的密度函数为：212)1()2(2)1(),( nnxnnnnxf 1. 定义及概率密度定义及概率密度6.4 抽样分布抽样分布xR，当当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形函数的图形. 2221),(xnenxfLim t分布的密度函数关于分布的密度函数关于x=0对称，且对称，且 当当n充分大时，充分大时，t 分布近似分布近似N (0,1)分布分布. 但但对于较小的对于较小的n，t分布与分布与N (0,1)分布相差很大分布相差很大.第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识)() 10(nttP，称满足条件：对于

16、给定的。分位点下分布的为的点tnt)()()(1ntnt ：由概率密度的对称性知由概率密度的对称性知.)(45untn时，当2. 下分位点下分位点6.4 抽样分布抽样分布 )(nt 21/nVnUF （三）（三）F分布分布设设 U 2(n1), V 2(n2), 且且U,V相互独立相互独立,服从自由度为服从自由度为(n1,n2)的的F分布分布.记为记为 F F (n1,n2). F1),(12nnF1.定义定义).,(/1),(F 1221nnFFnnF则则若若12nUnV称统计量称统计量第六章第六章 数理统计基础知识数理统计基础知识性质：性质：( , )F mn分布的概率密度函数为：122(

17、)21,0;( ; , )( ) ( )220,0.mm nm nmmmxxxmnF x mnnnnx),(/1),(12211nnFnnF 结论：结论：),() 10(21nnFFP，称满足条件：对于给定的。分位点下分布的为的点FnnF),(212. 下分位点下分位点6.4 抽样分布抽样分布357. 080. 21)12, 9(1)9 ,12(95. 005. 0FF例：),(21nnF 分别为样本均值与分别为样本均值与 样本方差，则样本方差，则1. );,(2nNX2. 与与 相互独立相互独立;X2S3.。)1()1(222nSn),(2N),(21nXXX定理定理1 1 若若，是来自正态

18、总体，是来自正态总体的的 一个样本，一个样本，niiXnX11niiXXnS122)(11与与6.4 抽样分布抽样分布6.5 6.5 抽样分布定理抽样分布定理证明证明 由定理由定理4知知 (1)/XTt nSn);,(2nNX所以所以) 1 , 0( NnX又又) 1(1222nSn),(21nXXX的的 一个样本，则一个样本，则),(2N定理定理2 2 若若是来自正态总体是来自正态总体6.4 抽样分布抽样分布。）（) 1()(1) 1(22ntSnXnSnnXT 由于由于 与与 相互独立，因此相互独立，因此 与与X2SnX221Sn相互独立，从而由相互独立，从而由t t 分布的定义有：分布的

19、定义有：6.4 抽样分布抽样分布) 2(11)()(1221mntmnSYXT其中其中niiXnX112121)(11XXnSnii的两个样本，且它们相互独立，则的两个样本，且它们相互独立，则 ),(21nXXX),(21mYYY定理定理3 3 设设和和),(21N),(22N是分别来自正态总体是分别来自正态总体和和6.4 抽样分布抽样分布miiYmY112122)(11YYmSmii证明证明 由定理条件有由定理条件有),(2221mnNYX) 1 , 0(11)()(21NmnYXU所以所以2) 1() 1(2221212mnSmSnS6.4 抽样分布抽样分布又因又因) 1(12222mSm

20、) 1(12212nSn并且它们是相互独立的，故由并且它们是相互独立的，故由 分布的可加分布的可加性可知性可知2)2(1122222122mnSmSnZ从而由独立性条件及从而由独立性条件及 t 分布的定义有分布的定义有 即即)2(22mntmnZUT)2(11)()(1221mntmnSYXT6.4 抽样分布抽样分布) 1, 1(21222221mnFSSF其中其中 和和 分别是两个样本的样本方差。分别是两个样本的样本方差。21S22S证明证明 因为因为) 1() 1(22121nSn) 1() 1(22222mSm的两个样本，且它们相互独立，则的两个样本，且它们相互独立，则 ),(21nXX

21、X),(21mYYY定理定理4 4 设设和和),(211N),(222N是分别来自正态总体是分别来自正态总体和和6.4 抽样分布抽样分布由相互独立性及由相互独立性及F分布的定义可知：分布的定义可知：)1, 1()1()1()1()1(2122222122222121mnFSSmSmnSnF6.4 抽样分布抽样分布例例1 16.2 抽样分布抽样分布6.6 6.6 典型例题典型例题1,nXXX设（）是来自下正态总体 的简单随机样，61278919122212111()6321() ,2iiiYXYXXXYYSYYZS，2Zt证明统计量 服从自由度为 的 分布。证证2221212=,.63DXEYE

22、Y DYDY记，易见2121212122222=0=.2=(0,1),/22=2YYE YYD YYYYUNS由于 和 独立，可见，从而由正态总体样本方差的性质，知服从自由度为 的分布.222121212Y Y Y SY SY Y S由 于 与 ， 与 ， 以 及 与 独 立 ， 可 见与 独 立 .1222=/2Y YUtZS于是，由服从分布随机变量的结构，知2.t服从自由度为 的 分布答答:例例2 26.2 抽样分布抽样分布21919192219,=XYNXXYYXYXXUYY 设 随 机 变 量与相 互 独 立 且 都 服 从 正 态 分 布（ 0,3 ） ， 而和分 别 是 来 自与的

23、 简 单 随 机 样 本 ， 则 统 计 量服 从（ ） 分 布 ， 参 数 为 （ ） ., 9t1919192221919192219119311.99(9)(9)XXNXXNYYNYYXXXXttYY由于（0,81），则（0,1），（0,1）且相互独立.（9）且与相互对立按分布定义，知服从分布.例例3 321,nXXNX 设是来自正态总体（ ， ）的简单随机样本， 是样本均值，记222212112222341111() ,() ,111() ,() .1nniiiinniiiiSXXSXXnnSXSXnn1nt则服从自由度为的 分布的随机变量是1234/1/1/XXttSnSnXXttSnSn（A）,(B),(C), (D).答答 B2134(1),1()1NiN Xt nxXNSSX（） 由于已知经过形式变换，它正是选项（B），而且 和 与 不独立，故（C）和（D）是不成立的.例例4 412221211,nnXNYXXYYX Y 设总体（ ，），总体（ ，）,和分别是来自总体的简单随机样本，求12221112()().2nniiiiXXYYEnn解解12221112()().2nniiiiXXYYEnn122211122211221222212121()() 21(1)(1)21(1)(1)2nniiiiEXXYYnnE nSnSnnnnnn