高中数学竞赛专题讲座---不等式与函数性质的综合应用.doc

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1、不等式与函数性质的综合应用数学竞赛中我们经常遇到这类不等式：函数f(x)在(a,b)连续，x1,x2,x3(a,b)，且x1+x2+x3为定值，求或证明f(x1)+f(x2)+f(x3)的最值。本文将举例给出解决此类问题的方法。首先我们建立以下三个定理。定理1 若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，对任意x0(a,b)，不等式成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，给定的对任意x0(a,b)，不等式成立。定理1的几何意义为：设M(x0，y0)为函数f(x)图像上任意一点，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x0，y0)处的切线(如果存在切线)上方

2、；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，则除切点外，函数f(x)的图像一定在点M(x0，y0)处的切线(如果存在切线)下方。定理2 对任意，若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，当时，不等式成立；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，当时，不等式成立。定理2的几何意义为：若连续函数f(x)在(a,b)上下凸，函数f(x)的图像夹在点M，N之间的部分在过这两点的弦的下方；若连续函数f(x)在(a,b)上上凸，函数f(x)的图像夹在点M，N之间的部分在过这两点的弦的上方。定理3 函数f(x)在(a,b)上连续，给定的x0(a,b)，若对任意x(a,b)，不等式成立，则当x1,x2(a,b)，且x1

3、+x2=2x0时，f(x1)+f(x2)2f(x0)成立；若对任意x(a,b)，不等式成立，则当x1,x2(a,b)，且x1+x2=2x0时，f(x1)+f(x2)2f(x0)成立。定理3容易推广到n个变量的情况。利用函数极限的性质与导数的定义，凸函数的定义不难证明这三个定理，本文从略。定理1，2实质是“化曲为直”，利用切线或弦估计函数f(x)的情况。例1 已知，求证：证：记，则，而，故上式恒成立。从而，等号再a=b=c是成立。例2 已知x，y，z是正实数，且x+y+z=1，求证： (2003湖南省高中数学竞赛试题)证：记（0x1），则f(x)的导函数为，当时，所以f(x)在处的切线方程为：，

4、下证：当0x1时，不等式事实上，当0x1时，成立，故成立，所以当0x0，证明：证：不仿a+b+c=3，a,b,c,0，则原不等式等价于.记（0x3）在x=1处的切线为，下证：当0x3时，. 事实上，当时,故，当时，,从而当0x3时，不等式成立，由定理3知：，等号在a=b=c=1时取到。说明：将本题的结论稍作变形，即可得出另一优美的不等式。（a，b，c），此不等式与本例的不等式均出自中等数学数学奥林匹克问题栏目。例4 正实数a,b,c满足a2+b2+c2=1.求:的最小值.（加拿大国家集训队训练题，1989）解：令x=a2,y=b2,z=c2，则原题等价于正实数x,y,z满足x+y+z=1.求:

5、的最小值.记函数（0x1）在处的切线方程为，下证：0x1时， 事实上，当0x1时，从而不等式成立，由定理3知：，即的最小值为，当且仅当时取等号。例5 已知均为锐角，且，求证：证明：令，则，于是记，则，现考虑, 为方便，记，则因为，所以式成立。从而，即成立。例6 已知，求的最大值。解：记，则，所以当时，上凸，恒成立；当时，恒成立，即当时，恒成立。从而 ，等号再a=b=c是成立。例7 设a,b,c为正实数，证明： 证：由于齐次性，不妨设a+b+c=3，则问题等价于（0x3）在处的切线方程为：，易证当0x3时，事实上，当0x3时，从而不等式成立。由定理3知：，但等号不能取到。例8 已知a,b,c为直

6、角或钝角三角形三边，求证：证：不仿abc0，故2(a2+b2)(a+b)2c2,从而3=a2+b2+c2c2，c22，总之c22，1a2+b2。(1) 记函数(0x3)，则，当0x3时，从而函数在(0，3)上下凸，所以，故.由于在上是增函数，所以，故，等号当且仅当a2=b2=,c2=时取到.(2) 设a2+b2=k，则c2=3-k，1k1.5，由定理2知：当x(0,k)时，曲线全在直线y=的下方，所以,从而由(1)(2)本例不等式得证。说明：三个变量时，一次放缩不便时，可先考虑对两个变量的情况，这样做即起减元之用，又起调节放缩差距之用。例9 已知0x,y,z1,且x+y+z=1，求证：.证：记

7、,易知:；.(1)，所以f(x)在x=0处的切线为：y=-x+1,而在0x1上恒成立，所以，等号在x=y=0，z=1时取到。(2) 当时，f(x)下凹，当时，f(x)上凸，过(0,1)，()的曲线在段的弦为，f(x)在x=处的切线为：,由函数凸性的几何意义知：当时，f(x)下凹，恒成立；当时，f(x)上凸，恒成立。由于x+y+z=1及对称性，不妨xyz。 若x,y,z中有两个数不小于,则y=z=,x=0,不等式右边成立； 若x,y,z中有仅个数不小于,则z,设z=t，x+y=1-t,t,x,y，所以恒成立，记，g(t)的最小值为,所以不等式右边成立；若x,y,z都不大于,则所以，等号在x=0，

8、y=z=时取到，所以不等式右边成立。综合知：不等式右边成立。例10 设a,b,c为正实数，证明：证：不仿设a+b+c=3，从而原不等式可化为记函数（0x3）在处的切线方程为,因为当0x时，成立，故，所以成立。由于a,b,c为正数，且a+b+c=3，故最多只有一个变量不小于。(1) 当a,b,c均小于时，当且仅当时取等号。(2)当a,b,c中有变量不小于时，不妨a，记b+c=2t，a=3-2t，则。下证：对任意t，不等式在x(0,1.5时成立。事实上，不等式(x-t)2(6tx+3t2-2xt2-9)0，由于0x1.5，所以6tx+3t2-2xt2-90，而(x-t)20,从而对任意t，不等式在

9、x(0,1.5时成立。于是有定理3知：=，由于，故。综合(1)，(2)知：不等式成立，当且仅当时取等号。例11 设正数a,b,c,x,y,z满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=的最小值。（2005全国高中数学联赛，二试第二题）解：由条件易得：，由于a,b,c,x,y,z均为正数，所以，故以a,b,c为边长可构成锐角三角形。设x=cosA,y=cosB,z=cosC，A+B+C=，且不妨0ABCt0)，则g(t)的导函数为g/(t)=，易知当时，即函数g(t)在时下凸，所以,从而.等号可在A=B=C=，即x=y=z=时取到，所以函数f(x,y,z)的最小值为.