必修⑤2.3等差数列的前n项和教案.doc

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1、课题： 2.3等差数列的前n项和山东省菏泽市第二中学 潘民教材分析教材的地位及作用：等差数列的前n项和是人教版数学必修五第二章数列的重要内容之一，它是在学生学习了等差数列的基础上学习和研究的，等差数列前n项和的教学过程，体现了数学的归纳转化及函数与方程的思想方法，反映了从特殊到一般的数学思维形式，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的创新意识和观察、抽象、概括、类比、分析解决问题的能力、发展学生的思维能力有重要的作用。本节教材根据大纲可分为二课时，本节课是第一节课。学情分析学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了通项公式，会运用等差数列的通项公式进行解题，因此只要简单地回顾

2、上一节课的知识就可引入新课。教学目标1、知识目标（1）掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。2、能力目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。3、情感目标通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 教学重点：等差数列前 项和公式的推导和应用。教学难点：公式推导的思路及综合运用。教 具：多媒体教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、复习引入：请同学们回顾一下学过

3、的等差数列基本知识和性质： 等差数列定义：即(n2) 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。 等差数列通项公式：(n1) 在等差数列中， 若m + n= p + q 则 等差数列在现实生活中比较常见，如： 建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，10 . 问共有多少根圆木？ 因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。如何用简便的方法呢？当然，若是数少了，即使口算，也能迅速得出若数多了呢，比如：1+2+3+100=？还能不能迅速算出呢？ 在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速

4、求出1+2+3+100和的好戏。同学们或许都听说过这个故事，哪个同学来简洁地说一说高斯是怎样来计算的？答：当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+（50+51）=10150=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，n，前100项的和的问题。 但这只是前100项的和，我们想知道前n项的和怎样求，更想知道有没有一个公式来表示。这就是我们今天要研究的问题二、 创设情境 合作探究：【创设情境】首先，我们根据高斯的算法，来计算一下1，2，3，n，的前n项的和：（学生分组讨论，展示做法）有的同学可能直接按照高斯的算

5、法：（1+n）+( 2+n-1) +(3+n-2)+ 但不知道数的个数是偶数还是奇数，不一定能恰好都配成对。有的同学可能根据上面解法存在的问题，对n 进行分类讨论：n 为偶数： n 为奇数： 最后交流出最佳方法：由 1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）从而初步总结出推导等差数列前n项和的一般方法：倒序相加法。【合作探究】引领学生合作交流，推导出等差数列前n项和 可请同学们先根据 1 + 2 + +（ n-1） + n 来推测一下 有的同学肯定会推测出来： 然后鼓励一下，在让学生分组合作交流，推导出来 用两种方

6、法表示 把上式的次序反过来又可以写成 由+，得 = 由此得到等差数列的前n项和的公式 请同学们把 把代入中，看能得到什么： 得： 点评：（1）对于第一个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了；对于第二个公式，只要知道等差数列首项、公差和项数就可以求等差数列前n项和了。实际解题时可根据题目给出的已知条件选择合适的公式来解决。 （2）这两个公式除了“数”的本质外，用“形”也可以直观地说明一下： 三、互动达标 巩固所学：【自主达标】1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和Sn. 答：学生独立完成：（1）Sn=-88 ; (2) 604.5 2. 求集

7、合M=m| m=2n - 1 .n ，且m 60 的元素个数，并求这些元素的和。 答：由2n 1 60 得： n 30.5 所以共有30项 ，公差为2 这些元素的和为 301 + 15302 = 930。【互动达标】 例1、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

8、分析：对于应用问题，首先应仔细阅读、审清题意。然后，抽象、提炼出相关数据，并分析出它们的本质关系，把实际问题转化为相应的数学问题 解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中， d=50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为 （万元）答：从20012010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.点评：通过此题引领学生逐步按照下列步骤来进行：先阅读题目；引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求

9、解。例2、已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 分析:这是一个关于前n项和的逆向问题，想一想的关系，然后列出，看到它们的关系，就会直接得到了。解：据 与 可知，当n1时， 当n=1时， 也满足式. 所以数列的通项公式为. 由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。点评：（1）引领学生总结出已知前n项和，求通项公式的方法；（2）用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的. （3） 【深入探究】结合此例思考课本45页“探究”：一般地，如果一个数列的前

10、n项和为其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引导分析得出：观察等差数列两个前n项和公式，和，公式本身就不含常数项。所以得到：（1）如果一个数列前n项和 的常数项r不为0，则这个数列一定不是等差数列.（2）如果一个数列前n项和中常数项r为0，则这个数列一定是等差数列. 最后结论：数列是等差数列等价于 例3、已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？分析：最直接的思路是利用方程思想：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与的二元一次方程，由此可以求得与，从而

11、得到所求前n项和的公式.解：由题意知 ， 将它们代入公式 得到 解这个关于与d的方程组，得到=4，d=6，所以引领学生探讨其他解法总结出解决数列基本问题的几种常用的思想方法：另法一：由 得 由 得 -，得，所以 代入得： 所以有 另法二：由例2的探索知等差数列的前n项和可表示为 利用待定系数法可求出结果（在这里，也可看成是运用了函数思想）再通过下列的变式探究出解决数列问题常用的整体思想变式1已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.求前30项的和分析：除了引领学生用学过的方程思想与函数思想来解决外，再引导学生合作探究用整体思想来解决 解：由等差数列的性质，不难推得： 、 、

12、 成等差数列 所以有 解得：前30项的和为2730 。点评：上述方法没有列出方程求出具体的个别量，而是恰当地运用了数学中的整体思想来快速求出的，要注意体会这种思想在数学中的运用。变式2、在一个等差数列中，已知 ，求 引领学生合作探究出： 从而进一步体会一下整体思想所反映的数学本质。四、课堂练习：（一）、选择题：1、已知数列的通项公式为，则的前项和等于（ ）A B C D2、已知等差数列，则等于（ ）A B C D3、在等差数列中，若，是数列的前项和，则的值为（ ）ABCD4、设是等差数列的前项和，若，则（ ）ABCD（二）、填空题：5数列的前项和，则它的通项公式是 。6若一个等差数列前项的和为，最后项的和为，且所有项的和为，则这个数列有_项五、课堂小结：基础知识： （1）等差数列前 项和的定义； （2）等差数列前 项和公式；（3）相关的等差数列的性质。思想方法：（1）待定系数法； （2）方程思想；（3）整体思想；（4）函数思想。六、作业布置：习题 2.3 A组 2、3 选做题 A组 5七、板书设计：