多元函数的极值及求法优秀PPT.ppt

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1、第八节第八节 多元函数的极值及求法多元函数的极值及求法二、条件极值拉格朗日乘数法二、条件极值拉格朗日乘数法一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值 设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx的某邻域的某邻域内有定义，对于该邻域内异于内有定义，对于该邻域内异于 的点的点),(yx若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf 则称函数在则称函数在),(00yx有微小值；有微小值；极大值、微小值统称为极值极大值、微小值统称为

2、极值使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点),(00yx扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部(1)(2)(3)例例1 1例例例例处有微小值处有微小值在在函数函数)0,0(4322yxz+=处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz+-=处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz=扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证 不妨设不妨设定理定理1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx

3、处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：0),(00=yxfx，0),(00=yxfy.),(yxfz=在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则对于则对于),(00yx的某邻域内随意的某邻域内随意都有都有),(yxf),(00yxf,扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部推广推广 假如三元函数假如三元函数),(zyxfu=在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000=zyxfx，0),(000=zyxfy，0),(000=zyxfz.说明一

4、元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx=处有极大值处有极大值,必有必有 0),(00=yxfx;故当故当0yy=，0 xx 时，时，有有 -BAC时具有极值，时具有极值，当当0 A时有微小值；时有微小值；（2 2）02-BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02=-BAC时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作探讨还需另作探讨扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部解解例例4 4求函数求函数的极值的极值先解方程组先解方程组 求得驻点为求得驻点为将上方程组再分别对将上方程组再分别对yx,求偏导数求偏导数,扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境

5、资源职业技术学院基础部在点在点 处，处，又又所以函数在所以函数在处有微小值处有微小值在点在点 处，处，所以所以不是极值；不是极值；在点在点 处，处，所以所以不是极值；不是极值；扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部在点在点处，处，又又所以函数在所以函数在 处有极大值处有极大值扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部求函数求函数),(yxfz=极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.其次步其次步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第

6、三步 定出定出2BAC-的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部求最值的一般方法：求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的全部驻点处的函数值及在内的全部驻点处的函数值及在D D的边界的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环

7、境资源职业技术学院基础部解解设水箱的长为设水箱的长为宽为宽为则其高应为则其高应为则水箱所用材料的面积则水箱所用材料的面积求偏导数得求偏导数得例例5 某工厂要用铁板做成一个体积为某工厂要用铁板做成一个体积为 的有盖长方的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能运用体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能运用料最省。料最省。扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部解这方程组，得解这方程组，得 依据题意可知，水箱所用材料面积得最小值确定存在，依据题意可知，水箱所用材料面积得最小值确定存在，并在开区域并在开区域内取得。又函数在内取得。又函数在内只有唯一的驻点内只有唯

8、一的驻点因此当因此当时，时，取得最小值。取得最小值。即当水箱的长为即当水箱的长为宽为宽为高高为为时，水箱所用的材料最省。时，水箱所用的材料最省。扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部24-xaax例例6 6 有一宽为有一宽为24cm的长方体铁板，把它两边折起来做成一断面的长方体铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽。问怎样折法才能使段面的面积最大。为等腰梯形的水槽。问怎样折法才能使段面的面积最大。24扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部解解 设折起来的边长为设折起来的边长为求偏导数得求偏导数得求偏导数得求偏导数得倾角为倾角为则各边长如图示，

9、所求面积则各边长如图示，所求面积解方程组得解方程组得由题义知这就是极大值点由题义知这就是极大值点扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部实例：小王有实例：小王有200200元钱，他确定用来购买两种急需物元钱，他确定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 磁盘，磁盘，盒盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘设每张磁盘8 8元，每盒磁带元，每盒磁带1010元，问他如何安排这元，问他如何安排这200200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求 在条件在条件 下的极值点下的

10、极值点二、条件极值拉格朗日乘数法扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部条件极值：条件极值：对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz=在条件在条件0),(=yxj j下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxFljlj+=，其中其中l l为某一常数，可由为某一常数，可由 =+=+.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxxj jljljljlj解出解出l l,yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.扬州环境资

11、源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的状况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的状况：要找函数要找函数),(tzyxfu=在条件在条件 0),(=tzyxj j，0),(=tzyxy y下的极值，下的极值，先构造函数先构造函数+=),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyxy yl lj jl l+其中其中21,l ll l均为常数，可由均为常数，可由偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出 tzyx,，即得极值点的坐标即得极值点的坐标.扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部解解设长方体的三棱长为设

12、长方体的三棱长为则问题就是在条件下则问题就是在条件下求函数求函数的最大值。作拉格朗日函数的最大值。作拉格朗日函数求其对求其对 的偏导数，并使之为零，解方程组的偏导数，并使之为零，解方程组例例7 7 求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体的体积。而体积为最大的长方体的体积。扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部得到得到这是唯一可能的极值点。因此表面积为这是唯一可能的极值点。因此表面积为 的长方体中，的长方体中，以棱长为以棱长为 的正方体的体积为最大，最大体积的正方体的体积为最大，最大体积扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部解解例例8 8 在第一卦

13、限内作椭球面在第一卦限内作椭球面1222222=+czbyax的的切平切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积体积最小最小，求切点坐标，求切点坐标.设设),(000zyxP为椭球面上一点为椭球面上一点,过过的切平面方程为的切平面方程为),(000zyxP扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为所围四面体的体积所围四面体的体积 000222661zyxcbaxyzV=,化简为化简为 1202020=+czzbyyaxx,扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础

14、部扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部可得可得即即四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min=.当切点坐标为当切点坐标为(3a，3b，3c)时时,扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部例例9求函数求函数在附加条件在附加条件下的极值。下的极值。解解作拉格朗日函数作拉格朗日函数扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值小结扬州环境资源职业技术学院基础部扬州环境资源职业技术学院基础部