小学数学教师要了解的知识拓展.doc

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1、小学数学教师要了解的知识拓展 大家知道经验和模仿也能教小学数学，但只能是“摸着石头过河”。“不认识路怎么走路，不知道如何修道”，不了解小学数学怎么教好小学数学？要想成为一名优秀的小学数学教师，必须在小学数学理论上有一定的水平。 下面我选择了8个典型的问题，与大家一起来解读。希望对我们以后的教学会有所启示，有所帮助。 1、最小的一位数是0还是1？这个问题在很长一段时间存在争论。 先来看专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字

2、为有效数字），这个数就叫几位数。 再有记数法里有个规定：一个数的最高位不能是0。为什么要这样规定呢？因为若没有这样的规定，0就是一位数，由此可以得出最小的两位数是00，最小的三位数是000，这样的结论显然是不对的。不仅这样，若没有这样的规定，对一个数也就无法确定它是几位数了。例如，15是两位数，“ 015”就变成了三位数，“0015”就变成了四位数。这样，同一个数我们可以随意称它为几位数，“位数”这一概念的存在也就没有必要了。 至于日常生活中、生产工作中遇到的数，如、043等，它是在特定条件下用来表示特定意义的。例如，电话号码，它表示当地的电话容量不足一千万，最大号码是七个数字组成的，但不能说

3、是一个七位数。 因此，一个数的最高位不能“0”。所以一位数共有九个，即：、。也就是说，最小的一位数是1，而不是0。 2、0为什么是自然数？ 中央教科所教材编写组主编陈昌铸说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。1993年颁布的中华人民共和国国家标准中规定：自然数包含0。2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。 大家都知道自然数有三个基本功能：一是基数功能，用来刻画某一类事物的多少，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集的基数，而什么也没有

4、是用0来描述的；二是序数功能，用来刻画某一类事物的顺序，用现代集合论的语言来说，就是描述有限集中元素的顺序性质，这些性质通常是用关系运算“、=、”来描述的。我们说“0”作为自然数，是不会影响其“序数功能”的；第三个是运算功能，自然数可以做加法和乘法，这些运算用来描述自然界中事物之间的数量关系。“0”加入传统的自然数集合，任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。 更重要的是书写的需要，十的位置记数写法是10。没有0，就写不出10，20，30， 100。 所以，“0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅

5、是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考“规定”背后的数学涵义。 3、运算中有乘法和加、减法，为什么要先算乘除法 或许老师们会说，这就是一种规定，纯粹的人为规定，无需证明。是的，把运算顺序看成数学上的一种“规定”，这是不争的事实，是一种共识。无论从以前的教材里，还是从现在教师（包括课程专家）的认识中，都可以充分印证。然而，现在的问题是：为什么要这样规定？“乘法是第二级运算，按规定计算时要先算第二级运算。”或许在高年级的时候，我们也会这样去告知学生，利用一个新的规定（先算第二级运算）来解读原来的规定（先算乘

6、除法），其实已经走入“循环规定”的误区。因为如若对新的规定作进一步追问为什么要先算第二级运算，则很显然又回到“为什么先算乘除”（它们实质上是同一个问题）。 凭借生活中的实际问题能够达到体会“先算乘法”合理性的目的，但是似乎还不足以回答“为什么，”。知其然，还要知其所以然。作为教师，应该而且必须弄清“先算乘法”的真正道理，因为这“道理”将直接左右教学设计的走向，特别是教学的深度和效度。 下面我们不妨来假设一个数学情境来感悟其中的道理。 李老师去超市买学习用品，买钢笔花了20元，又买了3本笔记本，每本5元，李老师一共用去多少钱？ 很显然，列出综合算式是20+35，应该先算35，理由是要求“一共用去

7、多少钱”，必须先算出“3本笔记本多少钱”。这时我们已经体验到“先算乘法”的合理性了，如果是课堂教学，也往往随之结束了。但是，如果我们“钻一钻牛角尖”，将思维再向前推进一步，或许就有新的发现。 这个问题我们是不是也能这样来解决：20+5+5+5，用钢笔的钱先加一本笔记本的钱，再加第二个笔记本的钱，最后加第三本笔记本的钱，不是也可以吗？可是为什么我们不选择它，而都选择20+35？因为这样比较简便。是啊，先算乘法再算加法，比起连加要简便，特别是当相同加数更多的时候，先算乘法就越显得简便了。 事实上，我们还可以从数学发展的角度去考察“为什么先算乘法”。我们知道，加法是数量变化的低级形式，是四则运算中最

8、基本的算法，减法是加法的逆运算。后来人们在实践中摸索到更为高级的运算乘法，用乘法计算相同加数的和可以大大提高计算效率，使计算简便。因此，遇到型如“+a+a+a（b个a ）”的计算问题，自然就想到先用乘法算b个a的和（ba），然后再加。由此可见，人们之所以规定“先算乘法”，归根结底是缘于计算的简便。 综上所述，混合运算的运算顺序是一种人为的规定，但是这种规定并非依据某个生活情境或同类实际问题数量的多少，更不是数学家们的主观意向，而是根据数学运算本身的特点而确定的，它产生于人们解决问题时的一种“求简”本能，是人们追求简便、快捷的本能在计算活动中的具体反映。也就是说，基于计算的简便，人们才规定“算式

9、中有乘法和加、减法时，应该先算乘法”。 、加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？ “加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的口头禅，这其实是一种误解。例如： 加法“”，其逆算为“”，“”。故此，加法的逆运算只有减法； 减法“”，其逆算有 “”， “”。故此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。 综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。 同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。 5、“时”和“小时”有什么不同？怎样使用“时”和“小时”？ 以前我们单位是用小时，但是为了和国际接轨，我们的新课程把时间单位改为了时，这样一改，我们

10、更分不清了。实际上国际上是分清楚这两个概念的，如9个小时是nine hours，9时是nine oclock。从上面释义的举例中也已清楚地看出：表示经过的时段一般用“小时”表示，表示某一瞬间则用“时”来表示。 那为什么有的教材在计算经过的时段时也用“时”来表示呢？例如，苏教版义务教育大纲教材（修订本）第七册第49页例2是求一个商店每天营业多少时间，就是这样解答的： 19 - 8 = 11（时） 答：每天营业11小时。 这是根据国务院在1984年2月27日颁布的关于在我国统一实行法定计量单位的命令所规定的。在这个命令附件1的表4是国家选定的非国际单位制单位，其中对时间这个量的单位名称规定为：分，

11、小时，天（日）。在附件1后面的“注”中有这样两条说明： 内的字，是在不被混淆的情况下，可以省略的字；（ ）内的字为前者的同义语。这就是说，“小时”是计量时间长短的一个单位名称，但如果在不至于与表示时间的某一瞬间的“时”发生混淆时，这个“小”字可以省略。因为只有表示经过多少时间的量才能参加运算或换算，所以在算式中可以将“小时”省略为“时”。如，19 - 8 = 11（时）。而在文字叙述中，这个“小”字一般不省略。如“答：每天营业11小时。”当然，如果在文字叙述中不会使人混淆的情况下，这个“小”字也是可以省略的。如周老师设计的练习中就有“一天要工作13时”，“每晚要花1时30分左右时间读书看报”。

12、这里肯定不会有人把“13时”“1时30分”当作时间段中的某一瞬间来理解的。不过，一般在口头语言中还是用“小时”来表示。 由此，“时”既可以表示时间，又可以表示时刻。由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念容易产生混淆，在实际应用时间单位“时”时，现行教材作了如下处理： 当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位“时”。例如：超市营业时间：21-9=12（时）。（此处可省略“小”字） 在用语言表述时间的长短时，为避免“时间”和“时刻”这两个概念产生混淆，则在“时”的前面加上一个“小”字。例如：超市营业时间12小时。 在用语言表示时刻时，一律不得出现“小时”字样。例如：公园每天早上7时3

13、0分开园（而非7小时30分）。 6、为什么不写“倍”？ “倍”和“倍数”的区别 在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时，很多学生会自然提出这样的疑问，如：“饲养小组养了12只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？”为什么“1234”的后面不写“倍”呢？ 我们首先应该肯定学生的质疑（学生有较强的解题规范意识）。但同时又该对学生说明：在解答应用题时，得数后面一般要写上的是数的单位名称。如：12只的“只”；8克的“克”。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。但是，“倍”不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。例如，上面的计算结果“4”，表示12里面有

14、4个3，就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。所以，在算式里不写“倍”，以免“倍”与单位名称发生混淆。 在第一学段我们学习了“倍的初步认识”，认识了概念“倍”，而在第二学段,我们又学习到“倍数”这个概念。那么，“倍”和“倍数”这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？ “倍”指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男生有10人，女生有30人，因为“103=30”或者“3010=3”，我们就说，女生人数（30）是男生人数（10）的3倍，也可以说，男生人数（10）的3倍等于女生人数（30）。勿宁说，“倍”其实表示的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式）。 “倍数

15、”指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。例如，30能被6整除，30就是6的倍数。可见，“倍数”是不能独立存在的（具有特定的指向性），而且对数的形式有特别的要求（必须为整数）。 同时我们又看到，30也是6的5倍，因为6530，“65”表示6的5倍。所以从这个角度来说，“倍”的涵义应宽泛于“倍数”，后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。 7、“路程”就是“距离”吗？ 这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。 “路程”和“距离”的含义是有区别的。“路程”是指两地之间,从一个地点到达另一个地点所经过的路线的长度，而“距离”是指连接两个地点而成的直线段的长度。课本中,“天津到

16、济南的铁路长357公里”是指路程,“两个机场之间的航线长度是指两个飞机场的距离可以看到，“路程”所经过的路线可以是曲形线，也可以是直形线，还可能是折形线。一般情况下，两个地点之间的“路程”要大于它们之间的“距离”，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相等。 由此可见，“路程”与“距离”在这里是两个不同的概念。我们在学习新课程标准时，一定要吃透新课标准的精神，正确理解新课程标准的内涵。这对教师提出了更高的要求，教师如果不及时补充知识、更新观念，在教学中就不会实现预期的目标，甚至会产生错误。 8、大于180度小于360度的是什么角？ 如教学角的认识时，当明确锐角、直角、钝角概念以后，突然有学生提问“；大于180，小于360的角是什么角？”教师先是一愣，然后说“：这个我也不知道，书上也没说，大家知道吗？”结果没有人知道，大于180小于360的角在这节课就成了没有揭开的谜。事实上，以90为分界点，180以内的角可以分为锐角、直角和钝角；如以180为分界点的话，那么360以内的角可分为劣角和优角。 优角大于180，小于360。 劣角：小于平角的角叫做劣角。锐角、直角、钝角都是劣角。 优角和劣角是指在一个圆周中占据的比例。若占优则称优角;若处于劣势,则叫劣角。 这内容虽然不是小学阶段掌握的，但教师应该对这些知识有所掌握，因此在以后备课时一定要在备学生上面下功夫。