第6章抽样与抽样分布.pptx

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1、返回返回第一节第一节 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第二节第二节 抽样分布定理抽样分布定理本章要求本章要求1.1.掌握随机样本的概念掌握随机样本的概念; ;2 2. .熟悉一些常用的统计量及其分布熟悉一些常用的统计量及其分布; ;重点重点抽样分布定理抽样分布定理学时数学时数3-4一、总体、个体与样本一、总体、个体与样本 定义定义1 1 在统计学中，我们把所要研究的对象的在统计学中，我们把所要研究的对象的全体称为总体全体称为总体( (母体母体), ),记为记为X; X; 组成总体的每个元素组成总体的每个元素称为个体称为个体. .定义定义2 2 从总体中抽出的一部分个体叫样本（子从总体中抽出

2、的一部分个体叫样本（子样）样）. .样本中所含个体的数目叫做样本容量样本中所含个体的数目叫做样本容量. .样本所样本所取的值叫做样本值取的值叫做样本值. . nXXX,21 由于抽样具有随机性，所以样本是一组随机变量由于抽样具有随机性，所以样本是一组随机变量( (或随机向量或随机向量). ).一个容量为一个容量为n n的样本记为的样本记为样本值记为样本值记为），（nxxx21抽样方法满足的条件抽样方法满足的条件:(1) 随机性随机性(2) 独立性独立性随机样本).简单)为独立同分布样本(X,X,(X则称与总体X分布相同,且每个分量x)相互独立,X,X,设样本(X定义3n21in21 二、样本分

3、布函数二、样本分布函数12*124,ninXXXXXx xx定义设()是来自总体 的样本 将各的值按从小到大的次序重新排列 记为则函数*1*1*0( )1nkknxxkF xxxxnxx称为样本分布函数或经验分布函数称为样本分布函数或经验分布函数.证明略）（的分布函数依概率收敛于的样本分布函数总体时当可以证明133)()(,PxFXxFXnn三、统计量三、统计量 定义定义5 5 设设(X(X1 1,X,X2 2, , ,X Xn n) )为总体为总体X X的一个样本的一个样本, , f(X f(X1 1,X,X2 2,X Xn n) )为样本的连续函数为样本的连续函数. . 如果如果f f中不

4、包含任何未知参数中不包含任何未知参数, , 则称则称f(Xf(X1 1,X,X2 2,X Xn n) )为一个统计量为一个统计量. . 112111()()nkkiinkkiiniikAXnkBXXnXX样本 阶原点矩样本 阶中心矩样本离差平方和2211()1niiSXXn样本方差211()1niiSXXn样本标准差11niiXXn样本均值常用统计量常用统计量.),(,就称该分布具有可加性我们参数有所不同服从同一种分布也的和服从某种分布，若它们均设相互独立的随机变量性随机变量的分布的可加YXYX)(),(),(,. 4),(),(),(,. 3)()(),(,. 2),(),(),(,. 12

5、222221212222112121nmxYXnxYmxXYXNYXNYNXYXPYXPYPXYXpnmBYXpnBYpmBXYX则且独立设则且独立设（前已证明）则，且独立设则且独立设一、几个常用分布一、几个常用分布1.2分布niinXXXX12222212)(22n(0,1) (1,2),iXNin设且相互独立 称2为自由度是n的分布,记为2分布的密度函数为/2 1/2/2102( /2)( )0nxnxexnf x其他2分布的性质222( ),( ),()Xm YnXYXYmn(1).可加性:若且 与 独立 则222( ),()()2mEnDn2(2).若则有2211( ),(1,2),(

6、)iikkiiiiXnikXn推广:若且相互独立 则:证明(2)(0,1)iXN22()()()1iiiE XD XEX24421()2xiE Xxedx22211()()()nniiiiEEXE Xn2420122xxedx232204454 3 1( ).322 2xttt e dt令2422()()()2iiiD XE XEX22211()()()2nniiiiDDXD Xn2( )nx xy yo o2( )fx查表可得20.05(30)43.7732(30)43.773)0.05)P表示2分布的分位点:22( )( )Pnn2( )( ).nn2则称为分布的上 分位点(01),n对于

7、给定的 与若有2. t分布/XTY n2(0,1),( ),XNYn设且X与Y相互独立,则称, ( ).nttt n为服从自由度是 的 分布 记为2(1)/2(1)( /2)ntttRnnn分布的密度函数为(n+1)/2h(t)=o ox xy y( )tf x查表可得( )tn0.05(20)t1.7247( (20)1.7247)0.05)P t表示t分布的分位点：( ( )( )P t ntn( )( ).nn则称t为t分布的上 分位点对给定的0 1,称满足条件121 (10),Xtx x例设确定使12(1) ()0.95;(2) ()0.99P XxP Xx:解1(1) ()0.05P

8、 Xx:查表得10.05(10)1.8125xt2(2)()0.01P Xx显然查表得:20.005(10)3.1693xt2:()0.005P Xx由对称性得t分布的性质(1);(2)n其密度函数f(x)为偶函数当 较大时,其分布很接近正态分布.1(3)( )( )45,( )tntnntnu 在时3. F分布22112(),(),XnYnXY设且 与 相互独立 则称12/X nFY n1212,( ,)nnFFF n n为服从第一自由度是第二自由度是 的 分布 记为:F分布的性质2(1) ( ),(1, );t nFn若t则t12211(2)( ,),(,);XF n nF n nX若则1

9、2211(3)01,( ,)(,)n nF n n1-对有F12( ,)P FF n nF分布的分位点:12( ,).F n nF则称为 分布的上 分位点o ox xy y( )Ffx12( ,)F n n:查表可得0.1(10,15)F2.06( (10,15)2.06)0.1)P F表示12, ,n n对给定的若(3):证明12211( ,),(,)XF n nYYF n nX设令则12( ,)P XF n n1211()( ,)PXF n n即1211()1( ,)PXF n n 121()1( ,)P YF n n 即121121(,)( ,)Fn nF n n122(9,10),FF

10、x x例已知确定使12(1) ()0.01;(2) ()0.99P FxP Fx:解10.01(1)(9,10)xF4.9420.99(2)(9,10)xF0.011(10,9)F10.19015.2622222(1)( ,)(0,1)/(2)(1)(1)XXNUNnnXSnSn，；与相互独立,且:,),(,2221有及样本方差则对样本均值简单随机样本中抽取的一个是从正态总体设SXNXXXn定理定理1二、抽样分布定理二、抽样分布定理证明证明(1)：222211niinDXnnn2( ,),1,2,.iXNin 由题设，且相互独立11,niiXXn仍服从正态分布 且111niiEXnnn2( ,

11、)XNn11()niiEXEXn11()niiEXn11()niiDXDXn211()niiDXn(2):证明,(0,1),iiXYNi12n令Y则且Y ,YY 相互独立22221()(1)niiXXnS21()niiXX2111()nniiiiXXn2111()nniiiiYYn21()niiYY221( )niiYn Y作正交矩阵111111002 12 111203 23 23 2111(1)(1)(1)(1)(1)nnnnAnn nn nn nn n 1122,nnYZYZYZYZ记ZAY作正交变换21() ()nTTiiZZ ZAYAY()TTTYA A YY Y21niiY1121

12、()0,nEZEYYYn1121()1nDZDYYYn21211()0,2 12 1EZEYY21211()12 12 1DZDYY111niiZYnYn注意到221( )Zn Y22221(1)( )niinSYn Y从而222112nniiiiZZZ22(1)(1)nSn即22(1)(1),nSn说明是个相互独立的标准正态变量的平方和11()/niiXnXnn而11niiXn111niiYZn22122(1)niinSZZ与独立,则与X独立.有本标准差及样则对样本均值本抽取的一个简单随机样中是从正态总体设定理,),(,2221SXNXXXn() (1)Xt nSn (1)Xnt nS即22

13、2221( ,),(0,1)(1)(1),XXNNnnnSnXS由定理 ，则又且 与相互独立.t由分布的定义22(1) (1)(1)XnSt nnn证明：12122211221212()() (2)(1)(1)11()2XYt nnnSnSnnnn12212121222212,(,),(,),.nnXXXNY YYNX YSS 定理3 设是来自是来自的两个独立样本,分别表示样本均值表示样本方差则统计量122212()()(0,1)XYNnn标准化以后证明：221212(,),(,),XNYNXYnn且 与 相互独立221212(,)XYNnn221212122211221222()() (2)

14、(1)(1)() (2)XYnnt nnnSnSnn12122211221212()() (2)(1)(1)11()2XYt nnnSnSnnnn即222211221222(1)(1)(1),(1)nSnSnn而22211221222(1)(1)(2)nSnSnn则t由 分布的定义211222(1,1)SF nnS12212121222212,(,),(,),.nnXXXNY YYNX YSS 定理4 设是来自是来自的两个独立样本,分别表示样本均值表示样本方差则统计量211121222222(1)(1)(1,1)(1)(1)nSnF nnnSn证明：222211221222(1)(1)(1),

15、(1)nSnSnnF则由 分布的定义1212.(20,3)1015,?NXXXX例3设总体的两个容量分别为和 的独立样本的均值为问服从什么分布12(0,0.5)XXN则:解121233(20,),(20,)1015,XNXNXX且与相互独立212101021.(0,0.3 ),(,),(1.44)iiXNXXXXPX例4设总体为取自 的一个样本 求0.1:解101022221111.44(1.44)()0.30.3iiiiPXPX221.44(10)0.3P2(10)16)P21222121.(,)( ,),?(1)()(2)()nniiniiXXXXNXSXXX 例5设是取自总体的样本与分别是样本均值与样本方差 问以下随机变量各服从什么分布221() ( )niiXn则2(1)n(1):解2( ,)iXN (0,1)iXN222111(2)()()nniiiiXXXX221(1)nS