解答题专项突破立体几何(共16页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上解答题专项突破立体几何题型一平行、垂直关系的论证1(2020届山西长治高三9月联考)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC.(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离2(2020届河北唐山市区县高三上学期第一次段考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PA，ABCD，ABAD，ADDC1，AB2，E为侧棱PA上一点. (1)若PEPA，求证：PC平面EBD.(2)求证：平面EBC平面PAC.(3)在侧棱PD上是否存在点F，使得AF平面PCD？若存在，求出线段PF的长；

2、若不存在，请说明理由题型二平面图形的翻折问题3如图1，在菱形ABCD中，AB4，BAD60，对角线AC，BD相交于点O.以对角线BD为折痕把ABD折起，使点A到达如图2所示点E的位置，使EOC60.(1)求证：BDEC.(2)求三棱锥BOEC的体积图1 图24(2020届云南名校高考适应性月考统一考试)如图，在ABC中，B90，ABBC2，P为AB边上一动点，PDBC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA1，E是A1C的中点(1)若P为AB的中点，求证：DE平面PBA1.(2)若平面PDA1平面PDA，且DE平面CBA1，求四棱锥A1PBCD的体积题型三利用空间向量求空间角5(2020届贵

3、州贵阳高三8月月考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAPD，DAB60.(1)求证：ADPB.(2)若PB，ABPA2，求直线PB与平面PDC所成角的正弦值6(2020届广东梅州高三上学期第一次质量检测)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E是PC的中点(1)求证：PA平面BDE.(2)若直线BD与平面PBC所成角为30，求二面角CPBD的大小题型四利用空间向量解决探索性问题7如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD.四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且ADBC，ABD是边长为1的等边三角形，M为线段BD

4、的中点，BC3.(1)求证：AFBD.(2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值(3)线段BD上是否存在点N，使得直线CE平面AFN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由8已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60的二面角，点M在线段AB上(1)若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OD平面EMC.(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60？若存在，求此时二面角MECF的余弦值；若不存在，说明理由解答题专项突破立体几何1(1)证明：设BD交AC于点O，连接EO.因为四

5、边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解：(方法一)VPAABADAB，由V，可得AB.作AHPB交PB于H.由题设易知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC.又AH，所以A到平面PBC的距离为.(方法二)等体积法VPAABADAB.由V，可得AB.由题设易知BC平面PAB，所以BCPB，假设A到平面PBC的距离为d.又因为PB，所以VAPBCdd.又因为VPABC1，VAPBCVPABC，所以d.2(1)证明：如图1，设ACBDG，连接EG，图1由已知ABCD，DC1，AB2，得2.由PEPA

6、，得2.在PAC中，由，得EGPC.因为EG平面EBD，PC平面EBD，所以PC平面EBD.(2)证明：因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCPA.在直角梯形ABCD中，因为ADDC1，ADDC，所以AC，BC.又AB2，所以AC2BC2AB2.所以BCAC.又PAACA，所以BC平面PAC.因为BC平面EBC，所以平面EBC平面PAC.(3)解：存在，在平面PAD内作AFPD于点F，则F即为所求的点，如图2.图2由DCPA，DCAD，PAADA，得DC平面PAD.因为AF平面PAD，所以CDAF.又PDCDD，所以AF平面PCD.由PA，AD1，PAAD，得PF.3(1)证明：由四

7、边形ABCD为菱形，可知BDAC，所以BDOA，BDOC.由题图2可知BDOE，BDOC.又OEOCO，所以BD平面EOC.因为EC平面EOC，所以BDEC.(2)解：因为四边形ABCD为菱形且BAD60，AB4，所以ABD为等边三角形，所以OAOC2，所以OEOC2.因为BD4，所以OB2.因为在OEC中，EOC60，所以OEC为等边三角形，所以SOEC223.因为BD平面EOC，所以BO平面EOC，所以B到平面EOC的距离为OB的长，所以VBOECOBSOEC232.4(1)证明：如图，令A1B的中点为F，连接EF，PF.因为P为AB的中点且PDBC，所以PD是ABC的中位线，所以PDBC

8、，PDBC.因为E是A1C的中点，且F为A1B的中点，所以EF是A1BC的中位线，所以EFBC，且EFBC，所以PDEF，PDEF，所以四边形PDEF为平行四边形，所以DEPF.又DE平面PBA1，PF平面PBA1，所以DE平面PBA1.(2)解：因为DE平面CBA1，所以DEA1C.又因为E是A1C的中点，所以A1DDCDA，即D是AC的中点由PDBC可得，P是AB的中点因为在ABC中，ABC90，PDBC，PDA沿PD翻折至PDA1，且平面PDA1平面PDA，利用面面垂直的性质可得PA1平面PBCD，所以V四棱锥A1PBCDS四边形PBCDA1P1.5(1)证明：如图1，取AD的中点E，连

9、接PE，BE，BD.图1 四边形ABCD为菱形，ADAB.又DAB60，ABD为等边三角形又E为AD的中点，ADBE.PAAD，E为AD的中点，ADPE.BE，PE平面PBE，BEPEE，AD平面PBE.又PB平面PBE，ADPB.(2)解：以E为原点，可建立如图2所示的空间直角坐标系图2由题意知ADAB2，AE1，PE，BE，则P(0，0，)，B(0，0)，D(1，0，0)，C(2，0)(0，)，(1，0，)，(1，0)设平面PDC的法向量n(x，y，z)，令x，则y1，z1，n(，1，1)设直线PB与平面PDC所成角为，sin ，即直线PB与平面PDC所成角的正弦值为.6(1)证明：如图，

10、连接AC交BD于O，连接OE，由题意可知，PEEC，AOOC，所以PAEO.又PA平面BED，EO平面BED，所以PA平面BED.(2)解：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设PDCD1，ADa，则A(a，0，0)，B(a，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，(a，1，0)，(a，1，1)，(0，1，1)设平面PBC的法向量n(x，y，z)，由得取n(0，1, 1)，又由直线BD与平面PBC所成的角为30，得|cos，n|，解得a1.同理可得平面PBD的法向量m(1，1，0)由向量的夹角公式，可得cosn，m.又因为

11、二面角CPBD为锐二面角，所以二面角CPBD的大小为60.7(1)证明：因为四边形ADEF为正方形，所以AFAD.又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以AF平面ABCD.所以AFBD.(2)解：取AD的中点O，EF的中点K，连接OB，OK.在ABD中，OBOD，在正方形ADEF中，OKOD，又平面ADEF平面ABCD，故OB平面ADEF，所以OBOK，即OB，OD，OK两两垂直分别以OB，OD，OK所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图)则B，D，C，E，M，F，所以 ，(0，0，1)，设平面CDE的法向量为n(x，y，z)，则即令x5，则y，则n

12、(5，0)设直线MF与平面CDE所成角为，sin |cos，n|.(3)解：存在要使直线CE平面AFN，只需ANCD，设N(xN，yN，zN)，0，1，则，所以xN，yN，zN0，所以N点坐标为，所以.又，所以由得，解得0，1，所以线段BD上存在点N，使得直线CE平面AFN，且.8(1)证明：因为直线MF平面ABFE，故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上(如图所示)因为AOBF，M为AB的中点，所以OAMFBM，所以OMMF，AOBF，所以点O在EA的延长线上，且AO2.连接DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点，连接MN，所

13、以MN为DOF的中位线，所以MNOD，又因为MN平面EMC，所以直线OD平面EMC.(2)解：存在由已知可得，EFAE，EFDE，所以EF平面ADE，所以平面ABFE平面ADE，取AE的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以E(1，0，0)，D(0，0，)，C(0，4，)，F(1，4，0)，所以(1，0，)，(1，4，)设M(1，t，0)(0t4)，则(2，t，0)，设平面EMC的法向量m(x，y，z)，则所以取y2，则xt，z，所以m.因为DE与平面EMC所成的角为60，所以，所以，所以t24t30，解得t1或t3，所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60，取ED的中点Q，则为平面CEF的法向量因为点Q的坐标为，所以，m .设二面角MECF的大小为，所以|cos |，因为当t2时，cos 0，此时平面EMC平面CDEF，所以当t1时，为钝角，所以cos .当t3时，为锐角，所以cos .专心-专注-专业