微分方程基本理论优秀PPT.ppt

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1、一、一阶线性微分方程的解一、一阶线性微分方程的解一、一阶线性微分方程的解一、一阶线性微分方程的解二、二阶线性微分方程的解二、二阶线性微分方程的解二、二阶线性微分方程的解二、二阶线性微分方程的解微分方程基本理论微分方程基本理论微分方程基本理论微分方程基本理论一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.一、线性方程一、线性方程例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(运用分别变量法运用分别变量法)常数变易法常数变易

2、法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换作变换2.线性非齐次方程线性非齐次方程积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解解解例例1 1二阶线性微分方程解法二阶线性微分方程解法二阶线性微分方程解法二阶线性微分方程解法二阶微分方程形式如下二阶微分方程形式如下y +p(x)y +q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程，简称简称二阶线性方程二阶线性方程.f(x)称为自由项称为自由项，当当 f(x)0 时时，称为二阶线性非齐次微分方程称为

3、二阶线性非齐次微分方程，当当 f(x)恒为恒为 0 时时，称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程，定定理理 1 1假假如如函函数数 y1 y1 与与 y2 y2 是是线线性性齐齐次次方方程程的两个解，的两个解，y=C1 y1+C2 y2仍为该方程的解，其中 C1，C2 是随意常数.则函数定定理理 2 2假假如如函函数数 y1 y1 与与 y2 y2 是是二二阶阶线线性性齐齐次次方方程程 y y +p(x)yp(x)y +q(x)y q(x)y=0 0 的的两两个个线线性性无无关关的的特特解，解，则则y=C1 y1+C2 y2是该方程的通解，是该方程的通解，其中其中 C1,C2为随意常

4、数为随意常数.（1）.一阶常系数线性非齐次方程的解法一阶常系数线性非齐次方程的解法定理定理 3 3假如函数假如函数 y*y*是线性非齐次方程的一是线性非齐次方程的一个特解，个特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解是线性非齐次方程的通解.Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则则二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：是：(1)写出所给方程的特征方程；写出所给方程的特征方程；(2)求出特征根；求出特征根；(3)(3)依据特征根的三种不同状况，写出其通解依据特征根的三种不同状况，写出其通解

5、.1 特征方程具有两个不相等的实根特征方程具有两个不相等的实根 r1 与与 r2，2 特征方程具有两个相等的实根，特征方程具有两个相等的实根，通解为通解为 即即通解为通解为3 特特征征方方程程具具有有一一对对共共轭轭复复根根 r1=+ib b 与与 r2=ib.b.通解为通解为 （2 2）.二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法1 自自由由项项 f(x)为为多多项项式式 Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y +py +qy=Pn(x),其中其中 Pn(x)为为 x 的的 n 次多

6、项次多项式式.当原方程当原方程 中中 y 项的系数项的系数 q 0 时时，k 取取 0；当当 q=0，但但 p 0 时时，k 取取 1；当当 p=0，q=0 时，时，k 取取 2.因为方程中因为方程中 p、q 均为均为常数且多项式的导数仍为多项式，常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设所以可设 式的式的特解为特解为其中其中 Qn(x)与与 Pn(x)是同次多项式，是同次多项式，2 自由项自由项 f(x)为为 Ae x 型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y +py +qy=Ae x，其中其中 ，A 均为常数均为常数.由于由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指为常数

7、，且指数函数的导数仍为指数函数，数函数，其中其中 B 为待定常数，为待定常数，当当 不是不是 式所对应的线性齐式所对应的线性齐次方程的特征方程次方程的特征方程 r2+pr+q=0 的根时的根时，取取 k=0；当当 是其特征方程单根时是其特征方程单根时，取取 k=1；当当 是其特征是其特征方程重根时方程重根时，取取 k=2.因此，我们可以设因此，我们可以设 的特解的特解3 自自由由项项 f(x)为为 e x(Acos w wx+Bsin w wx)型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y +py +qy=e x(Acos w wx+Bsin w wx)，其中其中 ，A，B 均为常数均为常数.由由于于 p，q 为为常常数数，且且指指数数函函数数的的各各阶阶导导数数仍仍为指数函数，为指数函数，正正弦弦函函数数与与余余弦弦函函数数的的导导数数也也总总是是余弦函数与正弦函数，余弦函数与正弦函数，因此因此,我们可以设我们可以设 有特解有特解其中其中 C，D 为待定常数为待定常数.取取 k=0，是根时是根时，取取 k=1，代入代入 式，求得式，求得 C 及及 D.当当 +w wi 不是不是 式所对式所对应的齐次方程的特征方程的根时应的齐次方程的特征方程的根时，