微分方程的相关基本知识.优秀PPT.ppt

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1、微分方程基本概念微分方程基本概念 及相关学问及相关学问1第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学在工程技术，力学与物理学等自然科学以及经济学与管理学等各个领域中，常常须要确定变量间的函数关与管理学等各个领域中，常常须要确定变量间的函数关系系.在很多状况下，必需建立不仅包含这些函数本身，在很多状况下，必需建立不仅包含这些函数本身，而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才而且还包含着这些函数的导数或微分的方程或方程组才有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程有可能确定这些函数关系，这样的方程就是微分方程.在本章中将要介绍微分方程

2、的一些基本概念，还要在本章中将要介绍微分方程的一些基本概念，还要学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分学习最重要的几类一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法以及它们的简洁应用方程的解法以及它们的简洁应用.2定义定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数的若干阶导数或微分的函数方程称为的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程微分方程.定义定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数，称为微分方程的微分的阶数，称为微分方程的阶阶.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是一元函

3、数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本在本书中只探讨常微分方程，如下例：书中只探讨常微分方程，如下例：一阶一阶二阶二阶一阶一阶3定义定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的使方程成为恒等式的函数称微分方程的解解.微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)通解通解:微分方程的解中含有随意常数微分方程的解中含有随意常数,且独立且独立随意常数的个数与微分方程的阶数相同随意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)(2)特解特解:不含随意常数的解不含随意常数的解.定解条件定解条件:用来确定随意常数的条件用来确定随意常

4、数的条件.4初始条件初始条件:规定微分方程中的未知函数及其若干阶规定微分方程中的未知函数及其若干阶导数在某一点处的取值导数在某一点处的取值。过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.5解解6其次节其次节 一阶常系数线性微分方程的解法一阶常系数线性微分方程的解法7一、可分别变量的方程一、可分别变量的方程为微分方程的通解为微分方程的通解.两边积分两边积分,为可分别变量的方程为可分别变量的方程.称称则则8解解例例1 19

5、解解例例2 2分别变量，分别变量，两边积分两边积分通解通解为为 所求特解为所求特解为10二、齐次微分方程二、齐次微分方程的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式得代入原式得1.1.定义定义两边积分即得通解两边积分即得通解.留意：须将留意：须将u代回代回.11例例3 3解解此此题题不能分不能分别变别变量量,是齐次方程是齐次方程,12例例4 4解解1314三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性

6、的非线性的.15齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法运用分别运用分别变量法变量法162.2.线性非齐次方程线性非齐次方程常数变易法：常数变易法：作变换作变换积分得积分得所以原方程的通解为所以原方程的通解为:17解解例例5 5通解通解为为 18齐次线性齐次线性方程方程1 1、方程、方程(1)(1)的随意两个解的和仍是的随意两个解的和仍是(1)(1)的解；的解；2 2、方程、方程(1)(1)的随意一个解的常数倍仍是的随意一个解的常数倍仍是(1)(1)的解；的解；3 3、方程、方程(1)(1)的随意一个解加上方程的随意一个解加上方程

7、(2)(2)的随意一个解的随意一个解是是(2)(2)的解；的解；4 4、方程、方程(2)(2)的随意两个解之差是的随意两个解之差是(1)(1)的解的解.线性方程解的性质线性方程解的性质非齐次线性非齐次线性方程方程那么方程那么方程(2)的通解为的通解为19那么方程那么方程(2)的通解为的通解为对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解20的特解的特解,线性方程解的线性方程解的叠加性质叠加性质和和的一个特解的一个特解.21电路中的一阶微分方程应用电路中的一阶微分方程应用22232425第三节第三节 二阶常系数线性微分方程的二阶常系数线性微分方程的解法解法26二阶常系数二阶常系

8、数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质回顾回顾一阶齐次线性一阶齐次线性方程方程1 1、方程、方程(1)(1)的随意两个解的和仍是的随意两个解的和仍是(1)(1)的解；的解；2 2、方程、方程(1)(1)的随意一个解的常数倍仍是的随意一个解的常数倍仍是(1)(1)的解；的解；27一、二阶常系数一、二阶常系数齐次齐次线性方程解的性质线性方程解的性质1 1、方程、方程(2)(2)的随意两个解的和仍是的随意两个解的和仍是(2)(2)的解；的解；2 2、方程、方程(2)(2)的随意一个解的常数倍仍是的随意一个解的常数倍仍是(2)(2)的解；的解；也是也是(2)的解的解.(称称线性无关线性无关),),

9、则上式为则上式为(2)的的通解通解.定理定理1 1(2)28二、二阶常系数二、二阶常系数齐次齐次线性方程的线性方程的解法解法 代数方程代数方程(3)称称为为微分方程微分方程(2)的的特征方程特征方程,它的根称它的根称为为特征根特征根(或或特征值特征值).).(3)(2)29故它故它们线们线性无关性无关,因此因此(2)的通解的通解为为 (3)情形情形1 1 30情形情形2 2 需要求另一个特解需要求另一个特解31情形情形3 3 可以证明可以证明,是是(2)的解，的解，且线性无关，且线性无关，所以方程所以方程(2)的通解的通解为为 32小结小结 特征根的状况特征根的状况通解的表达式通解的表达式 实

10、根实根实根实根复根复根33解解特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例1 1例例2 2解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为特征根为特征根为34解解特征方程为特征方程为故通解为故通解为例例3 3特征根为特征根为35电路中的二阶微分方程应用电路中的二阶微分方程应用363738对应齐次方程对应齐次方程三、二阶常系数三、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(2)1 1、方程、方程(1)(1)的随意一个解加上方程的随意一个解加上方程(2)(2)的随意一个解的随意一个解是是(1)(1)的解；的解；2 2、方程、方程(1)(1)的随意两个解

11、之差是的随意两个解之差是(2)(2)的解的解.定理定理2 2那么方程那么方程(1)(1)的通解为的通解为39问题归结为求方程问题归结为求方程(1)的一个特解的一个特解.只探讨只探讨 f(x)f(x)的两种类型的两种类型.用用待定系数法待定系数法求解求解.对应齐次方程对应齐次方程三、二阶常系数三、二阶常系数非齐次非齐次线性方程解的性质及求解法线性方程解的性质及求解法(1)(2)那么方程那么方程(1)(1)的通解为的通解为定理定理2 240则则41情形情形1 1 若若 r 不是特征根不是特征根,即即情形情形2 2 若若 r 是特征方程的是特征方程的单单根根,即即42情形情形3 3 若若 r 是特征

12、方程的是特征方程的二重二重根根,即即43综上探讨综上探讨设特解为设特解为其中其中44解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例4 4代入原方程代入原方程,得得 45解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程，代入方程，原方程通解为原方程通解为例例5 5得得46解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例6 6代入方程代入方程,得得47解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例6 6留意：留意：现即现即即得即得这样比代入原方程要简便得多。这样比代入原方程要简便得多。48解解例例7 7对应齐次

13、方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根49此此时时原方程的通解原方程的通解为为 50可以证明可以证明,方程方程(1)具有如下形式的特解具有如下形式的特解:51解解例例8 8所求所求通解通解为为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得 52解解例例9 9所求所求通解通解为为 对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程,得得 53定理定理3(3(非齐次线性方程的叠加原理非齐次线性方程的叠加原理)和和的特解的特解,的一个特解的一个特解,54例例1010解解代入得代入得55解解代入得代入得原方程通解为原方程通解为例例101056解解例例1111是是对应齐对应齐次方程的通解次方程的通解,但没有原方程的特解但没有原方程的特解,故故(B)B)也不也不对对；二二阶阶非非齐齐次次线线性微分方程性微分方程 5758解解例例1212求导，求导，原方程改写为原方程改写为再求导，再求导，59对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入得代入得 60初始条件初始条件:61电路中的二阶微分方程应用电路中的二阶微分方程应用6263