人们怎么利用时间.ppt

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1、人们怎么利用时间人们怎么利用时间文化的例子文化的例子0 000000serverline of peopleserver美国的售美国的售 票窗口票窗口许多其他许多其他国家的售国家的售 票窗口票窗口人们怎么利用时间人们怎么利用时间Source:U.S.News&World Report,January 30,1989,p.81.在美国，一份六在美国，一份六千人的调查试图千人的调查试图算出平均一个美算出平均一个美国人一生中参与国人一生中参与各种活动的总时各种活动的总时间，这份调查表间，这份调查表明如下情况：明如下情况：(a)(a)(b)(b)排队安排排队安排单通道单通道多通道多通道排队论中的平衡排

2、队论中的平衡服务成本与等待成本的权衡服务成本与等待成本的权衡排队系统中的因素排队系统中的因素服务机构服务机构服务系统服务系统顾客到达顾客到达离开离开等待队列等待队列队列模型的特征队列模型的特征主要因素主要因素顾客源顾客源顾客到达方式顾客到达方式队列结构队列结构排队规则排队规则 服务特征服务特征顾客离开队列的条件顾客离开队列的条件顾客源顾客源有限的有限的无限的无限的举例：公司里有且举例：公司里有且仅有三台机器需要仅有三台机器需要修理修理举例：队列中等举例：队列中等待加油的人数待加油的人数顾客源顾客源服务模式服务模式不变的不变的可变的可变的举例：自动装配线举例：自动装配线上流动的产品上流动的产品举

3、例：人们花时举例：人们花时间去购物间去购物服务模式服务模式排队系统排队系统排队规划排队规划 队长队长 排队规则排队规则服务时间分布服务时间分布队列数和队列结构队列数和队列结构排队系统排队系统队列结构举例队列结构举例 单通道单通道多通道多通道单阶段单阶段多阶段多阶段只有一个理发师的只有一个理发师的理发店理发店洗车洗车医院的进入医院的进入银行出纳窗口银行出纳窗口 耐心程度耐心程度No Way!望而却步望而却步No Way!中途离队中途离队顾客到达特征顾客到达特征到达方式到达方式可控或不可控可控或不可控到达的规模到达的规模单个到达或是成批到达单个到达或是成批到达分布分布到达率的均匀或统计分布到达率的

4、均匀或统计分布耐心程度耐心程度 顾客是一直等待或是离开顾客是一直等待或是离开望而却步或是中途离队望而却步或是中途离队队列结构队列结构队长队长无限队长无限队长有限队长有限队长队列数队列数单列或多列单列或多列 对排队问题的建议对排队问题的建议1.为顾客确定一个可接受的等待时间为顾客确定一个可接受的等待时间2.在顾客等待过程中尽量分散他们的注意力在顾客等待过程中尽量分散他们的注意力3.及时告诉顾客他们期望了解的情况及时告诉顾客他们期望了解的情况4.决不能让顾客看到雇员并未在工作决不能让顾客看到雇员并未在工作5.对顾客进行分类对顾客进行分类6.对服务人员进行培训对服务人员进行培训7.鼓励顾客在非高峰期

5、到达鼓励顾客在非高峰期到达8.对于消除排队有一个长期的计划对于消除排队有一个长期的计划1 基本概念一、排队系统的特征及排队论一、排队系统的特征及排队论 排队论是研究排队系统的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。日常生活中，我们遇到各种各样的排队问题。这些问题中，餐馆服务员与顾客，公共汽车与乘客，图书馆的工作人员与借阅者，医生和病人，售票员与乘客等均分别构成一个排队系统，或服务系统。顾客顾客要求的服务要求的服务服务机构服务机构1借书的学生借书的学生2打电话打电话3提货者提货者4待降落的飞行待降落的飞行器器5储户储户6河水进入水库河水进入水库7购票旅客购票旅客8十字路口的汽十字路口的汽车车借书

6、借书通话通话提货提货降落降落存款、取款存款、取款放水、调整水位放水、调整水位购票购票通过路口通过路口图书管理员图书管理员交换台交换台仓库管理员仓库管理员指挥塔台指挥塔台储蓄窗口、储蓄窗口、ATMD取款机取款机水库管理员水库管理员售票窗口售票窗口红绿灯或交警红绿灯或交警排队系统的例子排队系统的例子排队问题表现形式是拥挤现象，随着生产与服务的日益社会化，由排队引起的拥挤现象会越来越普遍。排队除了是有形的队列外，还可以是无形的队列。如几个旅客同时打电话到火车站订票，如有一个人正在通话，则其他人只得在各自的电话机前等待，他们分散在不同地方，却形成了一个无形的队列在等待通话。排队的不一定是人，也可以是物

7、，如生产线上的原材料，半成品等待加工；因故障而停止运转的机器在等待修理；码头上的船只等待装货或卸货，降落的飞机因跑道不空而在空中盘旋等，进行服务的也不一定是人，可以是跑道、自动售货机、公共汽车等。为了一致起见，将要求服务的对象统称为“顾顾客客”，将提供服务的服务者统称为“服务员服务员”或或“服务机服务机构构”，是广义的。实际上排队系统千差万别，但都可以一般地描可以一般地描述如下：述如下：顾客为了得到某种服务而到达系统，若不能立即获得服务而又允许排队等候，则加入等待队伍，待获得服务后离开系统。顾客到达服务台服务完成后离去顾客到达服务台2服务完成后离去服务台1服务台n顾客到达服务台2服务完成后离去

8、服务台1服务台n00.000.000.0顾客到达服务台1服务台n服务完后离去尽管各种排队系统的具体形式不同，但可用下图加以一般性的描述：顾客顾客到达排队结构服务规则服务机构离去排队规则排队系统排队系统二、排队系统的描述二、排队系统的描述 实际中的排队系统各不同，但概括起来都由三个基本部分组成三个基本部分组成：输入过程、排队规则、服务机构。1.输入过程输入过程 输入过程是说明顾客按怎样的规律到达系统。完全刻划一个输入过程需以下几个方面:(1)顾客总体数：有限的或无限的。流入水库的水量是无限的，车间内等待维修的机器是有限的。(2)到达方式：是单个到达还是成批到达(3)顾客相继到达的时间间隔的分布：

9、记Xn是第n个顾客与第n-1个顾客到达的时间间隔，关于Xn的分布。常见的有常见的有：定长分布定长分布(D)：顾客有规则地等距到达，如自动生产线上的装配件。负指数分布负指数分布(M)k阶爱尔朗分布阶爱尔朗分布(Ek)GI：一般相互独立(General Independent)的时间间隔的分布 G：一般(General)服务时间的分布。(4)顾客到达可以是相互独立的，即以前到达情况对以后顾客的到达没有影响。(5)输入过程可以是平稳的。即相继到达的间隔时间分布和所含参数（如期望值、方差等）都是与时间无关的。2.排队规则排队规则 排队：排队：有限排队和无限排队。有限排队：有限排队：指排队系统中的顾客数

10、是有限的，即系统的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾客将不能进入系统了。无限排队：无限排队：指系统中顾客数可以是无限的，队列可以排到无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务，又称等待制排队系统。有限排队又可分为：损失制排队系统和混合制排队系统。损失制排队系统：指排队空间为0的系统，实实际上是不允许排队际上是不允许排队。当顾客到达系统时，如所有服务台均被占用则自动离去，并不再回来，称这部分顾客被损失掉了。混合制排队系统：指等待制与损失制系统的混合，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。具体包括三种：队长有限队长有限：即系统的等待空间是有限的，例如最多只能容纳k个顾客在系统中

11、，当新顾客到达时，若系统中的顾客数小于k，则可进入系统排队或接受服务；否则，便 离开系统，并不再回来，如水库的库容是有限的、旅馆的床位是有限的。等待时间有限等待时间有限：即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T时，顾客将自动离去，并不再回来。如易损坏的电子元器件的库存问题，超过一定存储时间的元器件被自动认为失效。逗留时间逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限：例如用高射炮射击敌机，当敌机飞越高射炮有效区域的时间t时，若在这个时间内未被击落，也就不可能再被击落了。排队规则排队规则：当顾客到达时，若所有服务台都被占用且又允许排队，则该顾客将进入队列等。服务台对顾客进行服务所

12、遵循的规则通常有：先来先服务先来先服务(FCFS)：即按顾客到达的先后对顾客进行服务，这是最普通的情形。后来先服务后来先服务(LCFS)：以许多库存系统中就会出现这种情形，如钢板存入仓库后，需要时总是从最上面的取出；又如在情报系统中，后来到达的信息系统更加重要，首先加以分析和利用。具有优先权的服务具有优先权的服务(PS)：服务台根据顾客的优先权不同进行服务，优先权高的先接受服务，如病危的患者应优先治疗，重要的信息优先处理，出价高的顾客应优先考虑等。3.服务机制服务机制 排队系统的服务机制主要包括：服务员的数量及其连接形式(串联或并联)；顾客是单个还是成批接受服务；服务时间的分布。在这些因素中，

13、服务时间的分布更为重要一些。记服务台的服务时间为v。三、排队系统的符号表示：三、排队系统的符号表示：根据输入过程、排队规则和服务机制的变化对排队模型时行描述或分类，可给出很多的排队模型。为了方便对众多的模型的描述，D.G.kendall提出了一种目前在排队论中被广泛采用的“kendall”记号，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；表示服务时间的分布；表示服务台的个数；A 排队系统的最大容量，即可容纳的最多顾客数。可取正整数或；B 顾客源的最大容量，可取正整数或；C 排队规则，可取FCFS、LCFS等。例如：M/M/1/表示一个顾客的到达时间间隔服从相同的

14、负指数分布，服务时间为负指数分布，单个服务台，系统容量为无限（等待制）的排队模型。M/M/s/k：表示一个顾客相继到达时间间隔服从相同的负指数分布，服务时间为负指数分布，s个服务台，系统容量为k的排队模型。M/M/1/FCFS：表示顾客到达的时间间隔是负指数分布，服务时间是负指数分布，一个服务台，排队系统和顾客源的容量都是无限，实行先到先服务的一个服务系统。四、排队系统的主要数量指标四、排队系统的主要数量指标 我们解一个排队问题的目的是：研究排队系统运行的效率，估计其服务质量，确定系统参数的最优值，以确定系统的结构是否合理并研究改进措施等。所以必须确定用以判断排队系统运行优劣的基本数量指标，这

15、些指标通常有：1.队长：指在排队系统中的顾客(包括正在接受服务和在排队等候服务的所有顾客)的平均数(即其期望值)。用Ls表示2.排队长(队列长)：指在系统中排队等待服务的顾客数(亦为平均数，即期望值)。用Lq表示，一般说来，Lq越大，说明服务率越低，排队成龙。3.逗留时间：指一个顾客在系统中停留的平均时间(包括排队等待时间和接受服务的时间)。用Ws(是期望值)表示。4.等待时间：指一个顾客在排队系统中排队等待的平均时间，用Wq表示。5.忙期：指服务机构连续繁忙的时间长度(从顾客到达空闲的服务机构起到服务机构再次空闲止这段时间的长度)，用Wb表示。6.服务强度：表示在相同的时间间隔内到达顾客的平

16、均数，与完成服务的顾客平均数之比。它反映了服务效率和服务机构的利用强度。用表示 (=/)：单位时间内平均到达的顾客数(平均到达率)1/：平均到达间隔时间：单位时间内平均能被服务完的顾客数(平均服务率)1/：一个顾客的平均服务时间c：服务台个数：每个服务台的服务强度Pn：在稳态时，系统中有n个顾客的概率Ls：队长(系统中的顾客数)的期望值；Lq：排队长(系统中等待服务的顾客数)的期望值，又称队列长。Ws：逗留时间的期望值；Wq：等待时间的期望值。常见的分布有常见的分布有：(1)定长分布(D)：每一顾客的服务时间都是一个确定的常数，此时服务时间v的分布函数为：1 t Fv(t)=0 t为对每一顾客

17、的服务时间2 到达间隔的分布和服务时间的分布(2)负指数分布(M)：每个顾客接受服务的时间相互独立，具有相同的负指数分布：e t t0 fT(t)=(概率密度)0 t0，为一常数，表示单位时间能被服务完的顾客数。即分布函数是：FT(t)=PTt=1et t0 0 t0)爱尔朗分布比负指数分布具有更多的适应性。当k1时，爱尔朗分布即为负指数分布；当k增加时，爱尔朗分布逐渐变为对称的。(4)泊松(Poisson)流泊松流又叫做最简单的。a.某排队系统通过调查又了解到顾客到达系统的时间是随机的.b.有一个顾客到达的概率与某一时刻t无关，但与时间的间隔长度有关，即在较长的时间间隔里有一个顾客到达的概率

18、越大。P1(t,t+t)=t+o(t)当时间间隔t充分小时，有一个顾客到达的概率与t的长度成正比例。c.在充分小的时间间隔里有两个顾客同时到的概率极小，可以忽略不计。这些特征正好满足了泊松分布的三个条件，也就是说此排队系统的顾客到达过程形成了泊松流。运用泊松概率分布函数，知道在单位时间里有n个顾客到达的概率.n=0,1,2,.。n为单位时间内到达的顾客数。为单位时间平均到达的顾客数。3 单服务台负指数分布排队系统的分析M/M/1表示相继到达的间隔时间为负指数分布，服务时间为负指数分布，单服台的排队模型。分为三种情况：分为三种情况：(1)标准M/M/1/(2)系统容量有限制M/M/1/N/(3)

19、顾客源有限M/M/1/N一、标准的一、标准的M/M/1/模型模型 标准的M/M/1/模型是指适合下列条件的排队系统。(1)输入过程顾客源是无限的，顾客单个到来，相互独立，一定时间到达的顾客数服从普阿松分布，到达过程是平稳的。(2)排队规划单队、队长没有限制、先到先服务(3)服务机构单服务台，各顾客的服务时间是相互独立的，服从相同的负指数分布。分析标准的M/M/1/模型时，首先要求出系统在任意时刻t的状态n(系统中有n个顾客)的概率Pn(t)。已知顾客到达的规律服从以为参数的普阿松过程，服务时间服从参数为的负指数分布，在t,t+t)时间区间内 有1个顾客到达的概率为 t；没有顾客到达的概率就是1

20、 t；1个顾客被服务完了离去的概率为 t；没有顾客离去的概率是1 t；由于t充分小，故多于一个顾客到达和离去的概率极小，可以忽略不计。在时刻t+t，系统中有n个顾客的状态，可分为四种情况。根据概率公式和微分差方程，得：系统状态为系统状态为n的概率的概率:=/(1)Pn=1 n=0,1,2,3.P0=1 Pn=(1)n (n1 k)=1(1)(1)+2(1)+k(1)=k+1 如：k=3 P(n3)=4=0.754=0.31647.顾客逗留时间超过给定时间t的概率PTt:PTt=1PTt=e()t如给定t=6分钟(0.1小时)，则 PT0.1e()te1.2如t=Ws，则 PTWse()Wse1

21、0.368 8.顾客到达系统时，得不到及时服务，必须排队等待服务的概率：9.在系统中正好有n个顾客的概率：用 可求出储蓄所里有n个顾客的概率，见下表。储蓄所这个排队系统并不尽人意，到达储蓄所有75的概率要排队等待，排队的长度平均为2.25个人，排队的平均时间为3.75分钟是平均服务时间1.25分钟的3倍，而且在储蓄所里有7个或更多的顾客的概率为13.35，这个概率太高了。市场竞争日趋激烈，该储蓄所因此必须提高服务水平，必须改进这个排队系统。要提高服务水平，减少顾客在系统里的平均逗留时间减少顾客在系统里的平均逗留时间，即减少顾客的平均排队时间和平均服务时间，一般可采用两种措施：第一第一，减少服务

22、时间，提高服务率；第二第二，增加服务台即增加服务窗口。储蓄所认为这两种方法都可以考虑，储蓄所对这两种方法作了如下的分析。如采取第一种方法，不增加服务窗口，而增加新型点钞机，建立储户管理信息系统。可以缩短储蓄所每笔业务的服务时间，使每小时平均服务的顾客数目从原来的48人提高到60人，即每分钟平均服务的顾客数从0.8人提高到1人，这时入仍然为0.6，为1。可以看到由于把服务率从0.8提高到1，其排队系统有了很大的改进，顾客平均排队时间为3.75分钟减少到1.5分钟，顾客平均逗留时间从5分钟减少到2.5分钟，在系统里有7或超过7个人的概率有大幅度的下降，从13.35下降到2.79。如果采用第二个方法

23、，再开设一个服务窗口，排队的规则为每个窗口排一个队，先到先服务，并假设顾客一旦排了一个队，就不能再换到另一个队上去 (譬如，当把这个服务台设在另一个地点，上述的假设就成立了)。这种处理方法就是把顾客分流，把一个排队系统分成两个排队系统，每个系统中有一个服务台，每个系统的服务率仍然为08，但到达率由于分流，只有原来的一半了，=0.6/2=0.3，可得：可得：第二个方法的服务水平使得原来的服务水平有了很大的提高，采用第二种方法顾客平均排队时间减少到了0.75(分钟)，顾客平均逗留时间减少到了2分钟。M/M/C/单位时间顾客平均到达数单位时间顾客平均到达数 ，单位平均服务顾客数，单位平均服务顾客数

24、。1.系统中无顾客的概率系统中无顾客的概率2.平均排队的顾客数平均排队的顾客数3.系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls=Lq+/,4.顾客花在排队上的平均等待时间顾客花在排队上的平均等待时间 Wq=Lq/,4多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型5.顾客在系统中的平均逗留时间顾客在系统中的平均逗留时间 Ws=Wq+1/,6.系统中顾客必须排队等待的概率系统中顾客必须排队等待的概率7.系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率当当nc时时当当nc时时4多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模

25、型 例例 在前例的储蓄所里多设一个服务窗口，即储蓄所开设两个服务窗在前例的储蓄所里多设一个服务窗口，即储蓄所开设两个服务窗口。顾客的到达过程仍服从泊松分布，平均每小时到达顾客仍是口。顾客的到达过程仍服从泊松分布，平均每小时到达顾客仍是36人；储人；储蓄所的服务时间仍服从负指数分布，平均每小时仍能处理蓄所的服务时间仍服从负指数分布，平均每小时仍能处理48位顾客的业务，位顾客的业务，其排队规则为只排一个队，先到先服务。试求这个排队系统的数量指标。其排队规则为只排一个队，先到先服务。试求这个排队系统的数量指标。解解 C=2，平均到达率平均到达率 =36/60=0.6，平均服务率平均服务率 =48/6

26、0=0.8。P0=0.4545,Lq=0.1227 (个个顾客顾客),Ls=Lq+/=0.8727 (个个顾客顾客),Wq=Lq/=0.2045（分钟）（分钟）,Ws=Wq+1/=1.4545（分钟）（分钟）,Pw=0.2045,P1=0.3409,P2=0.1278,P3=0.0479,P4=0.0180,P5=0.0067。系统里有系统里有6个人的概率或多于个人的概率或多于6个人的概率为个人的概率为0.0040。4多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 在储蓄所里使用在储蓄所里使用M/M/2模型与使用两个模型与使用两个M/M/1模型，它们的服务

27、台数模型，它们的服务台数都是都是2，服务率和顾客到达率都一样，只是在，服务率和顾客到达率都一样，只是在M/M/2中只排一队，在中只排一队，在2个个M/M/1中排两个队，结果却不一中排两个队，结果却不一 样。样。M/M/2使得服务水平有了很大的提高，使得服务水平有了很大的提高，每个顾客的平均排队时间从每个顾客的平均排队时间从0.75分钟减少到分钟减少到0.2045分钟，每个顾客在系统里逗分钟，每个顾客在系统里逗留时间从留时间从2分钟减少到分钟减少到1.4545分钟，平均排队的人数也从分钟，平均排队的人数也从0.2250人减少到人减少到0.1227人，系统里平均顾客数也从人，系统里平均顾客数也从0

28、.6*2=1.2人减少到人减少到0.8727人。如果把人。如果把M/M/2与原与原先一个先一个M/M/1比较，那么服务水平之间的差别就更大了。比较，那么服务水平之间的差别就更大了。4多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型多服务台泊松到达、负指数服务时间的排队模型 我们把一个排队系统的单位时间的总费用我们把一个排队系统的单位时间的总费用TC定义为服务机构的单位时间定义为服务机构的单位时间的费用和顾客在排队系统中逗留单位时间的费用之和。即的费用和顾客在排队系统中逗留单位时间的费用之和。即TC=cw Ls+cs c其中其中 cw为一个顾客在排队系统中逗留单位时间付出的费用；为一个顾客在排队系统中

29、逗留单位时间付出的费用；Ls为在排队系统中为在排队系统中的平均顾客数；的平均顾客数；cs为每个服务台单位时间的费用；为每个服务台单位时间的费用；c为服务台的数目。为服务台的数目。例例 在前两例中，设在前两例中，设储蓄所的每个储蓄所的每个服务台的费用服务台的费用cs=18，顾客在，顾客在储蓄所储蓄所中中逗留一小时的成本逗留一小时的成本cw=10。这样，对。这样，对储蓄所储蓄所M/M/1 模型可知模型可知 Ls=3，c=1，得，得TC=cw Ls+cs c=48 元元/每小时。每小时。对对储蓄所储蓄所 M/M/2 模型可知模型可知 Ls=0.8727，c=2，得，得TC=cw Ls+cs c=44

30、.73 元元/每小时。每小时。5排队系统的经济分析排队系统的经济分析 M/G/1/单位时间顾客平均到达数单位时间顾客平均到达数 ，单位平均服务顾客数，单位平均服务顾客数 ，一个顾客的平均服务时间一个顾客的平均服务时间 1/，服务时间的均方差，服务时间的均方差。数量指标公式数量指标公式:1.系统中无顾客的概率系统中无顾客的概率 P0=1 /2.平均排队的顾客数平均排队的顾客数 3.系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls=Lq+/4.顾客花在排队上的平均等待时间顾客花在排队上的平均等待时间 Wq=Lq/5.在系统中顾客的平均逗留时间在系统中顾客的平均逗留时间 Ws=Wq+1/6.系统中顾客必须

31、排队等待的概率系统中顾客必须排队等待的概率 Pw=/7.系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率 Pn6单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型 例例1 某杂货店只有一名售货员，已知顾客的到达过程服从泊松分布，某杂货店只有一名售货员，已知顾客的到达过程服从泊松分布，平均到达率为每小时平均到达率为每小时20人；不清楚这个系统的服务时间服从什么分布，但人；不清楚这个系统的服务时间服从什么分布，但从统计分析知道售货员平均服务一名顾客的时间为从统计分析知道售货员平均服务一名顾客的时间为2分钟，服务时间的均分钟，服务时间的均方差为方差为1.5分钟。试

32、求这个排队系统的数量指标。分钟。试求这个排队系统的数量指标。解：解：这是一个这是一个 M/G/1 的排队系统，其中的排队系统，其中 =20/60=0.3333 人人/分钟，分钟，1/=2分钟分钟，=0.5 人人/分钟，分钟，=1.5。P0=1 /=0.33334,Lq=1.0412 (人人),Ls=Lq+/=1.7078(人人),Wq=Lq/=2.25/0.6=3.1241（分钟）（分钟）,Ws=Wq+1/=5.1241（分钟）（分钟）,Pw=/=0.6666。6单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型单服务台泊松到达、任意服务时间的排队模型6单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型单服务台泊

33、松到达、定长服务时间的排队模型 M/D/1/注：它是注：它是 M/G/1/的特殊情况的特殊情况 =0。1.系统中无顾客的概率系统中无顾客的概率 P0=1 /2.平均排队的顾客数平均排队的顾客数 3.系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls=Lq+/4.顾客花在排队上的平均等待时间顾客花在排队上的平均等待时间 Wq=Lq/5.在系统中顾客的平均逗留时间在系统中顾客的平均逗留时间 Ws=Wq+1/6.系统中顾客必须排队等待的概率系统中顾客必须排队等待的概率 Pw=/7.系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率 Pn 例例2 某汽车冲洗服务营业部，有一套自动冲洗设备，冲洗每辆车需某汽

34、车冲洗服务营业部，有一套自动冲洗设备，冲洗每辆车需要要6分钟，到此营业部来冲洗的汽车到达过程服从泊松分布，每小时平分钟，到此营业部来冲洗的汽车到达过程服从泊松分布，每小时平均到达均到达6辆，试求这个排队系统的数量指标。辆，试求这个排队系统的数量指标。解：解：这是一个这是一个 M/D/1 排队模型，其中排队模型，其中 =6辆辆/小时，小时，=60/6=10辆辆/小时小时，得，得P0=1 /=0.4,Lq=0.45,Ls=Lq+/=1.05,Wq=Lq/=0.0750，Ws=Wq+1/=0.1750,Pw=/=0.6。6单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模型单服务台泊松到达、定长服务时间的排队模

35、型 M/G/C/C/注：不存在平均排队的顾客数注：不存在平均排队的顾客数 Lq 和顾客平均的排队等待时间和顾客平均的排队等待时间 Wq。数数量指标公式量指标公式:系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls=/(1 Pc)其中其中Pc 是系统中恰好有是系统中恰好有 c 个顾客的概率，也就是系统里个顾客的概率，也就是系统里c 个服务台都个服务台都被顾客占满的概率。被顾客占满的概率。系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率 7多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型例例3.某电视商场专营店开展了电话订货业务，到达过程服从泊松分布，

36、平某电视商场专营店开展了电话订货业务，到达过程服从泊松分布，平均到达率为每小时均到达率为每小时16个，而一个接话员处理订货事宜的时间是随着订货的个，而一个接话员处理订货事宜的时间是随着订货的产品、规格、数量及顾客的不同而变化的，但平均每个人每小时可以处理产品、规格、数量及顾客的不同而变化的，但平均每个人每小时可以处理8个订货电话，在此电视商场专营店里安装了一台电话自动交换台，它接个订货电话，在此电视商场专营店里安装了一台电话自动交换台，它接到电话后可以接到任一个空闲的接话员的电话上，试问该公司应安装多少到电话后可以接到任一个空闲的接话员的电话上，试问该公司应安装多少台接话员的电话，使得订货电话

37、因电话占线而损失的概率不超过台接话员的电话，使得订货电话因电话占线而损失的概率不超过10%。解：这是一个解：这是一个 M/G/C/C/模型。当模型。当c=3时，即正好有时，即正好有3位顾客的位顾客的情况，情况，7多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型0.21050.1,所以不符合要求。所以不符合要求。当当c=4时，时，因此，设置四个电话很合适。因此，设置四个电话很合适。7多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型多服务台泊松到达、任意的服务时间、损失制排队模型 M/M/1/m条件：单位时间顾客平均到达数条件：单位时间顾客平均到达数

38、 单位平均服务顾客数单位平均服务顾客数 关心的项目关心的项目:1.系统中无顾客的概率系统中无顾客的概率 P0 2.系统中平均排队的顾客数系统中平均排队的顾客数 Lq 3.系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls 4.系统中顾客平均的排队等待时间系统中顾客平均的排队等待时间 Wq 5.系统中顾客的平均逗留时间系统中顾客的平均逗留时间 Ws 6.系统中顾客必须排队等待的概率系统中顾客必须排队等待的概率 Pw 7.系统中恰好有系统中恰好有 n 个顾客的概率个顾客的概率 Pn8顾客来源有限制的排队模型顾客来源有限制的排队模型 M/M/1/m数量指标公式数量指标公式:1.系统中无顾客的概率系统中无顾客

39、的概率 2.平均排队的顾客数平均排队的顾客数 3.系统中的平均顾客数系统中的平均顾客数 Ls=Lq+(1-p0)4.顾客在排队上的平均花费等待时间顾客在排队上的平均花费等待时间 Wq=Lq/（m-Ls)5.在系统中顾客的平均逗留时间在系统中顾客的平均逗留时间 Ws=Wq+1/6.系统中有系统中有 n 个顾客的概率个顾客的概率,n=0,1,2,m8顾客来源有限制的排队模型顾客来源有限制的排队模型例例4.某车间有某车间有5台机器，每台机器连续运转时间服从负指数分布，平均连台机器，每台机器连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间为续运转时间为15分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平

40、分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次均每次12分钟，求该排队系统的数量指标分钟，求该排队系统的数量指标P0,Lq,Ls,Wq,Ws,以及以及P5。解：这是一个解：这是一个M/M/1/5系统。其中，系统。其中，m=5,=1/15,=1/12,/=0.8。Lq=2.766 ;Ls=3.759Wq=33.43 ;Ws=45.43P5=0.2870=0.00738顾客来源有限制的排队模型顾客来源有限制的排队模型9单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型限制的排队模型 这种模型我们记为这种模型我们记为M/M/1/K/，这个

41、记法中的第四位字母，这个记法中的第四位字母K表示这个表示这个系统的最大容量为系统的最大容量为N，因为这是一个单服务台的情况，所以排队的顾客服，因为这是一个单服务台的情况，所以排队的顾客服务最多为务最多为K-1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统。顾客就被拒绝进入系统。这个模型可简写为这个模型可简写为M/M/1/K。由于所考虑的排队子系统中最多只能容纳由于所考虑的排队子系统中最多只能容纳K个顾客（等待位置只有个顾客（等待位置只有K-1个），因而有个），因而有:令令 ，有：有：1.1.系统里没有顾客的概率系统

42、里没有顾客的概率2.2.在系统里的平均顾客数在系统里的平均顾客数3.3.平均的排队顾客数平均的排队顾客数9单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型限制的排队模型 4.4.有效顾客到达率有效顾客到达率5.5.一位顾客花在排队上的平均时间一位顾客花在排队上的平均时间6.6.一位顾客在系统中的平均逗留时间一位顾客在系统中的平均逗留时间7.7.在系统里正好有在系统里正好有n n个顾客的概率个顾客的概率9单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型限制的排队模型 例例5 5 某理发店只

43、有一个理发师，且店里最多可容纳某理发店只有一个理发师，且店里最多可容纳4 4名顾客，名顾客，设顾客按泊松流到达，平均每小时设顾客按泊松流到达，平均每小时5 5人，理发时间服从负指数人，理发时间服从负指数分布，平均每分布，平均每1515分钟可为分钟可为1 1名顾客理发，试求该系统的有关指名顾客理发，试求该系统的有关指标。标。解：该系统可以看成一个解：该系统可以看成一个M/M/1/4M/M/1/4排队系统，其中排队系统，其中9单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有单服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型限制的排队模型 系统里平均顾客数系统里平均顾客数=平均的排队顾客数平均的

44、排队顾客数平均逗留时间平均逗留时间平均排队时间平均排队时间1010多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型量有限制的排队模型 这种排队模型我们记为这种排队模型我们记为M/M/C/K/M/M/C/K/，这与第九节单服务台模型的，这与第九节单服务台模型的区别，就在于服务台的数量为区别，就在于服务台的数量为C C，我们可以把这个模型简记为，我们可以把这个模型简记为M/M/C/KM/M/C/K。在此系统中到达率与服务率分别为在此系统中到达率与服务率分别为:1.1.系统里没有顾客的概率系统里没有顾客的概率 2.2.系统里正好有系统里正好有n n个顾客的概率个顾客的概率1010多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容多服务台泊松到达、负指数服务时间、系统容量有限制的排队模型量有限制的排队模型3.3.平均排队顾客数平均排队顾客数4.4.系统里的平均排队顾客数系统里的平均排队顾客数5.5.有效到达率有效到达率6.6.顾客花在排队上的平均时间顾客花在排队上的平均时间7.7.顾客在系统里的平均逗留时间顾客在系统里的平均逗留时间 特别地，当特别地，当k=ck=c时即为第七节的时即为第七节的M/M/C/C/M/M/C/C/的模型。的模型。作业343页第1题，第2题，第3题