大学数学(高数微积分)第六章线性空间第六节(课堂讲义).ppt

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1、大学数学大学数学(高数微积分高数微积分)第六章线性空间第六第六章线性空间第六节节(课堂讲义课堂讲义)一、子空间的交1.定义定义15 设设 V V1 1,V V2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间间,称称 V V1 1 V V2 2=|V V1 1 且且 V V2 2 为为 V V1 1,V V2 2 的的交.2.性质定理 6 如果如果V V1 1,V V2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间间,那么它们的交那么它们的交V V1 1 V V2 2 也是也是 V V 的子空间的子空间.证明首先，由 0 V1，0 V2，可知 0 V1 V2 ，因而 V1

2、 V2 是非空的.其次，如果,V1 V2,即 ,V1，而且,V2，+V1，+V2，对数量乘积可以同样地证明.所以V1 V2 是 V 的子空间.证毕那么因此 +V1 V2.3.子空间的交的运算规律1)1)交换律交换律 V1 V2 =V2 V1；2)2)结合律结合律 (V1V2)V3 =V1(V2 V3).由结合律，我们可以定义多个子空间的交：它也是子空间.二、子空间的和1.定义定义 16 设设 V V1 1,V V2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间间,所谓所谓 V V1 1 与与 V V2 2 的的和，是指由所有能表示成，是指由所有能表示成 1 1+2 2，而而 1 1

3、 V V1 1 ，2 2 V V2 2 的向量组成的子集合，记的向量组成的子集合，记作作 V V1 1+V V2 2 ，即，即V V1 1+V V2 2=|=1 1+2 2,1 1 V V1 1,2 2 V V2 2 2.性质定理 7 如果如果V V1 1,V V2 2 是线性空间是线性空间 V V 的两个子空的两个子空间，那么它们的和间，那么它们的和 V V1 1+V V2 2 也是也是 V V 的子空间的子空间.证明首先，V1+V2 显然是非空的.其次如果 ,V1+V2,即=1+2,1 V1,2 V2,=1+2,1 V1,2 V2,那么+=(1+1)+(2+2).又因为 V1,V2 是子空

4、间，故有1+1 V1，2+2 V2.因此 +V1+V2.同样，k=k1+k2 V1+V2.所以，V1+V2 是 V 的子空间.证毕3.子空间的和的运算规律1)1)交换律交换律 V1+V2 =V2+V1；2)2)结合律结合律 (V1+V2)+V3 =V1+(V2+V3).由结合律，我们可以定义多个子空间的和：的向量组的子空间.它是由所有表示成1+2+s ,i Vi(i=1,2,s)三、子空间的交与和的性质性质 1 设设 V V1 1,V V2 2,WW 都都是子空间，那么由是子空间，那么由WW V V1 1 与与 WW V V2 2 可推出可推出WW V V1 1 V V2 2 ；而由而由W W

5、 V V1 1 与与 WW V V2 2可推出可推出 W W V V1 1+V V2 2.性质 2 对于子空间对于子空间 V V1 1,V V2 2,以下三个论断是以下三个论断是等价的：等价的：1)1)V V1 1 V V2 2 ；2)2)V V1 1 V V2 2=V V1 1 ；3)3)V V1 1+V V2 2=V V2 2.四、例题例 1 设 V1=L(1,2),V2=L(1,3)是 R3两个不同的 2 维子空间，求 V1 V2 和 V1+V2，并指它们的几何意义.解因为 V1 和 V2 是两个不同的子空间，所以1,2,3 线性无关，从而 V1=V2 与题设矛盾.于是由子空间的交与和的

6、定义可得V1 V2=L(1)，V1+V2=L(1,2,3)=R3.否则 3 可由 1,2 线性表示其几何意义是：V1=L(1,2)是向量 1,2 所确定的平面，的平面，是整个 3 维空间.如图 6-6 所示.V2=L(1,3)是向量 1,3 所确定V1 V2 是这两个平面的交线，V1+V2例 2 设 V1,V2 分别是 R3 过原点的直线和平面(直线不在平面上)上的全体向量构成的子空间，求 V1 V2 和 V1+V2，并指它们的几何意义.解由定义容易求得V1 V2=0，V1+V2=L(1,2,3)=R3.其几何意义如图 6-7 所示例 3 设 V1,V2 分别是 P 3 中齐次方程组的解空间，

7、那么 V1 V2 就是齐次方程组的解空间.例 4 在一个线性空间 V 中，有L(1,2,s)+L(1,2,t)=L(1,s,1,t)五、子空间的交与和的维数关于子空间的交与和的维数，有以下定理.定理 8 (维数公式)如果如果 V V1 1,V V2 2 是线性空是线性空间间 V V 的两个子空间，那么的两个子空间，那么维维(V V1 1)+)+维维(V V2 2)=)=维维(V V1 1+V V2 2)+)+维维(V V1 1 V V2 2).).证明设 V1,V2 的维数分别是 s,t,V1V2 的维数是 m.取 V1V2 的一组基1,2,m .如果 m=0，这个基是空集，下面的讨论中1,2

8、,m 不出现，但讨论同样能进行.由它可以扩充成 V1 的一组基1,2,m ,1,s-m ,也可以扩充成 V2 的一组基1,2,m ,1,t-m .我们来证明，向量组1,2,m ,1,s-m ,1,t-m 是 V1+V2 的一组基.这样，V1+V2 的维数就等于s+t-m,因而维数公式成立.因为V1=L(1,2,m ,1,s-m),V2=L(1,2,m ,1,t-m).所以V1+V2=L(1,m ,1,s-m ,1,t-m).现在来证明向量组1,2,m ,1,s-m ,1,t-m 是线性无关的.假设有等式k11+k22+kmm+p11+p22+ps-m s-m+q11+q22+qt-m t-m

9、=0.令=k11+kmm+p11+ps-m s-m=-q11-q22-qt-m t-m .=k11+kmm+p11+ps-m s-m由 =-q11-q22-qt-m t-m 由可知，V1；可知，V2.于是 V1V2，即 可以被 1,2,m 线性表示.令 =l11+lmm ,则l11+lmm+q11+qt-m t-m =0.由于 1,m ,1,t-m 线性无关，所以l1=lm=q1=qt-m=0,因而 =0.从而有k11+kmm+p11+ps-m s-m =0.由于 1,m ,1,s-m 线性无关，又得k1=km=p1=ps-m=0.这就证明了1,2,m ,1,s-m ,1,t-m 线性无关，式

10、成立.证毕因而它是 V1+V2 的一组基，故维数公从维数公式可以看到，和的维数往往要比维数的和来得小.例如，在三维几何空间中，两张通过原点的不同的平面之和是整个三维空间，而其维数之和却等于 4.由此说明这两张平面的交是一维的直线.推论 如果如果 n n 维线性空间维线性空间 V V 中两个子空间中两个子空间 V V1 1,V V2 2 的维数之和大于的维数之和大于 n n,那么那么 V V1 1,V V2 2 必含有非零的公必含有非零的公共向量共向量.证明由假设维(V1+V2)+维(V1V2)=维(V1)+维(V2)n.但因 V1+V2 是 V 的子空间而有维(V1+V2)n,所以维(V1V2

11、)0.这就是说，V1V2 中含有非零向量.证毕例 5 设 V=P 4，V1=L(1,2,3)，V2=L(1,2)，其中求V1,V2,V1V2,V1+V2 的维数与基.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本

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