信号与线性系统分析第2章.ppt

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1、信号与线性系统分析信号与线性系统分析第第2章章第2-2页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院LTILTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程建立并求解线性微分方程连续系统的时域分析连续系统的时域分析特点：特点：由激励和描述系统的时域模型（微分方程），由激励和描述系统的时域模型（微分方程），不经变换，直接在时域内求出系统的响应。不经变换，直接在时域内求出系统的响应。由于在其分析过程涉及的函数变量均为由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间时间t t，即，即分分析是在时域内进行析是在时域内进行的，故

2、称为的，故称为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。域分析法的基础。10/30/2022第2-3页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解1 1、描述、描述LTILTI系统其激励系统其激励f(t)f(t)与响应与响应y(t)y(t)的关系可用的关系可用下述下述n n阶常系数线性微分方程来表示：阶常系数线性微分方程来表示：y(n)(t)+an-1y(n-

3、1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)微分方程的经典解：微分方程的经典解：y(t)(完全解完全解)=yh(t)(齐次解齐次解)+yp(t)(特解特解）2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-4页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院单实根单实根r r重实根重实根齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分

4、方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。的解。yh(t)的函数形式的函数形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根确定。确定。P41表表2-1给出了不同特征根所对应的齐次解。给出了不同特征根所对应的齐次解。2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-5页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院2.特解激励激励f(t)响应响应y(t)的特解的特解yp(t)特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。的函数形式与激励函数的形式有关。P41表表2-2给出了不同激励

5、所对应的特解。给出了不同激励所对应的特解。52.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-6页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院例例2-1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求：求：（1）当）当f(t)=2e-t，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的时的全解；全解；（2）当）当f(t)=10cost，t0；y(0)=2，y(0)=0时时的全解。的全解。2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-7页信号

6、与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院解解:(1)特征方程为特征方程为2+5+6=0 其特征根其特征根1=2，2=3。齐次解为。齐次解为 yh(t)=C1e 2t+C2e 3t由表由表2-2可知，当可知，当f(t)=2e t时，其特解可设为时，其特解可设为 yp(t)=Pe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Pe t+5(Pe t)+6Pe t=2e t 解得解得 P=1于是特解为于是特解为 yp(t)=e t全解为：全解为：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e 2t+C2e 3t+e t其中其中 待定常数待定常数C1,C2由初始

7、条件确定。由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C1 3C2 1=1 解得解得 C1=3，C2=2 最后得全解最后得全解 y(t)=3e 2t 2e 3t+e t ,t0 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-8页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的的函数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；特解特解的函数形式由激励确定，称

8、为的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。y(t)=3e 2t 2e 3t+e t ,t0齐次解齐次解特解特解自由响应自由响应强迫响应强迫响应小结小结:2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-9页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院（2）齐齐次次解解同同（1）。因因激激励励f(t)=10cost，由由表表2-2知知：其特解为其特解为 yp(t)=Pcost+Qsint 其一、二阶导数分别为其一、二阶导数分别为 yp(t)=-Psint+Qcost yp(t)=-Pcost-Qsint代入微

9、分方程可得代入微分方程可得 (-P+5Q+6P)cost+(-Q-5P+6Q)sint=10cost因上式对所有的因上式对所有的t0成立，故成立，故 5P+5Q=10 -5P+5Q=0可解得可解得 P=Q=1，得特解为，得特解为 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-10页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院方程的全解为方程的全解为 其一阶导数为其一阶导数为 令令t=0，并代入初始条件得，并代入初始条件得 y(0)=C1+C2+1=2 y(0)=-2C1-3C2+1=0可解得可解得C1=2，

10、C2=-1。系统的全响应为系统的全响应为2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-11页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院当输入信号是阶跃函数或有始的周期函数时，稳定系统当输入信号是阶跃函数或有始的周期函数时，稳定系统的全响应也可分解为的全响应也可分解为瞬态（暂态）响应瞬态（暂态）响应和和稳态响应稳态响应。瞬态响应瞬态响应是指激励接入以后，全响应中暂时出现的分量，是指激励接入以后，全响应中暂时出现的分量，随着时间的增长，它将消失。随着时间的增长，它将消失。如果系统微分方程的特征根如果系统微分方

11、程的特征根i的实部均为负，那么，由的实部均为负，那么，由全响应中除去瞬态响应就是全响应中除去瞬态响应就是稳态响应稳态响应，它通常也是由阶，它通常也是由阶跃函数或周期函数组成。跃函数或周期函数组成。自由响应自由响应强迫响应强迫响应瞬态响应瞬态响应稳态响应稳态响应小结小结:2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-12页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统，则确定待定系数时接入系统，则确定待定系数Cj时用时用t=0

12、+时刻的时刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+)(j=0,1,2，n-1)。而而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。的历史信息。在在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了反映了系统的历史情况系统的历史情况而与激励无关。称这些值为而与激励无关。称这些值为初始状态初始状态或或起始值起始值。通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得设法

13、求得y(j)(0+)。下列举例说明。下列举例说明。122.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-13页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院例例2-22-2：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。解解：将输入将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6(t)（1）利用冲激函数匹配法

14、利用冲激函数匹配法：在：在t=0时等号两端的时等号两端的(t)及其各及其各阶导数的系数应相等。阶导数的系数应相等。由于等号右端为由于等号右端为2(t)，故，故y”(t)应包含冲激函数，应包含冲激函数，但但y(t)不含冲激函数，否则不含冲激函数，否则y”(t)将含有将含有(t)项。项。2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-14页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院 因此：因此：y(0+)y(0-)=2 y(0+)=y(0-)+2 =2利用冲激函数匹配法分析：利用冲激函数匹配法分析：令令y”(t

15、)=a(t)+r1(t)，（，（r1(t)不含不含(t)及其导数）及其导数）y(t)=a(t)+r2(t)y(t)=r3(t)在在t=0连续连续由等式两端奇异函数平衡，得：由等式两端奇异函数平衡，得：a(t)=2(t)故故 a=2 *当微分方程右端含有冲激函数时，响应当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其及其各阶导数中，有些在各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。处将发生跃变。但如果右端不但如果右端不含时，含时，响应响应y(t)在在t=0处连续不会跃变。处连续不会跃变。y(t)在在t=0处连续。处连续。故故 y(0+)=y(0-)=2 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统

16、的响应10/30/2022第2-15页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院零输入响应零输入响应是激励为零时，由系统的初始状态是激励为零时，由系统的初始状态x(0)所引起的响应，用所引起的响应，用yzi(t)表示。表示。此此时时，初始状，初始状态态零状态响应零状态响应是系统的初始状态为零时，仅由输入信号是系统的初始状态为零时，仅由输入信号f(t)引起的响应，用引起的响应，用yzs(t)表示。表示。三、零输入、零状态响应和全响应三、零输入、零状态响应和全响应对于对于零输入响应零输入响应，由于输入为零，故初始值由于输入为零，故初始值2.1

17、LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-16页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院例例2-3：描述某系统的微分方程为：描述某系统的微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入。求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。响应、零状态响应和全响应。解解：（：（1）零输入响应零输入响应yzi(t)激励为激励为0，故，故yzi(t)满足满足 yzi”(t)+3yzi(t)+2yzi(t)=0 yzi(0+)=y

18、zi(0-)=y(0-)=2 yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=0该齐次方程的该齐次方程的特征根特征根为为1，2，故，故 yzi(t)=Czi1e t+Czi2e 2t 代入初始值并解得系数为代入初始值并解得系数为Czi1=4,Czi2=2，代入得，代入得 yzi(t)=4e t 2e 2t ,t 0 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-17页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院上式等号右端含有上式等号右端含有(t)，利用冲激函数匹配法利用冲激函数匹配法分析：分析：故故yzs(0

19、+)=2+yzs(0-)=2 yzs(0+)-yzs(0-)=2令令yzs”(t)=a(t)+r1(t)，yzs(t)=a(t)+r2(t)，yzs(t)=r3(t)在在t=0连续连续由等式两端奇异函数平衡，得：由等式两端奇异函数平衡，得：a(t)=2(t)故故 a=2 （2）零状态响应零状态响应yzs(t)满足满足 yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)并有并有 yzs(0-)=yzs(0-)=0 第一步：第一步：yzs(0+)、yzs(0+)2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-18页信号与线性系统分析信号与线性系统分

20、析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院 第二步：特解第二步：特解 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)，当，当f(t)=(t)时时 yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2(t)+6(t)对对t0时，时，有有 yzs”(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6其特解为常数其特解为常数3，于是于是 yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3第三步：求第三步：求yzs(t)yzs(t)=Czs1e-t+Czs2e-2t+3代入初始值求得代入初始值求得 yzs(t)=4e-t+e-2t+3，t0其齐次解形式为其齐次解形式为Czs1e-t

21、+Czs2e-2t，2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-19页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院（3）全响应全响应y(t)y(t)=yzi(t)+yzs(t)=4e t 2e 2t 4e-t+e-2t +3，t0=e-2t +3，t0 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应10/30/2022第2-20页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性

22、系统分析南昌航空大学信息工程学院2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲单位冲激响应激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，记为，记为h(t)。h(t)=T0,(t)1 1定义定义2 2系统冲激响应的求解系统冲激响应的求解2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应10/30/2022第2-21页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院 例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6

23、y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解解 根据根据h(t)的定义有的定义有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)h(0-)=h(0-)=0 先求先求h(0+)和和h(0+)。因方程右端有因方程右端有(t)，利用系数平衡法。，利用系数平衡法。令令h”(t)=a(t)+r1(t)r1(t)为不含为不含(t)的某函数的某函数 h(t)=a(t)+r2(t)h(t)=r3(t)在在t=0连续，连续，即即h(0+)=h(0-)。可见：可见：a=1，h(0+)-h(0-)=1，h(0+)=h(0-)=0 ,2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应10/30/2022第2-

24、22页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院对对t0时，有时，有 h”(t)+5h(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应故系统的冲激响应为齐次方程的解为齐次方程的解。特征根为特征根为-2，-3。故。故 h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以所以 h(t)=(e-2t-e-3t)(t)2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应10/30/2022第2-23页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院3.3.一般

25、而言，若描述一般而言，若描述LTILTI系统的微分方程为系统的微分方程为求解系统的冲激响应可分为两步进行：求解系统的冲激响应可分为两步进行：选新变量选新变量y y1 1(t)(t)，使它满足使它满足并求出其冲激响应并求出其冲激响应h h1 1(t)(t)。根据根据LTILTI系统零状态响应的系统零状态响应的线性线性性质和性质和微分特性微分特性，可得其冲激响应为，可得其冲激响应为2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应10/30/2022第2-24页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院 例例2 描述某系统的微分方程为描述某系

26、统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。设其冲激响应为设其冲激响应为h1(t)，由例，由例1：h1(t)=(e-2t-e-3t)(t)解解 选新变量选新变量y1(t)，它满足方程，它满足方程 y1”(t)+5y1(t)+6y1(t)=f(t)则则 h(t)=(t)+(3e2t 6e3t)(t)系统的冲激响应系统的冲激响应 h(t)=h1”(t)+2h1(t)+3h1(t)h1(t)=(-2e-2t+3e-3t)(t)h1(t)=(t)+(4e-2t-9e-3t)(t)2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃

27、响应10/30/2022第2-25页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院二、阶跃响应二、阶跃响应1.1.一个一个LTILTI系统，当其系统，当其初始状态为零初始状态为零时，输入单位时，输入单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用跃响应，用g(t)g(t)表示，表示，g(t)=T 0，(t)2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应10/30/2022第2-26页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院例例3：

28、描述某系统的微分方程为：描述某系统的微分方程为 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)，求系统的阶跃响应。求系统的阶跃响应。其特解为常数其特解为常数3，于是于是 g(t)=C1e-t+C2e-2t+3其齐次解形式为其齐次解形式为C1e-t+C2e-2t，解：解：g”(t)+3g(t)+2g(t)=2(t)+6(t)g(0-)=g(0-)=0求求g(0+)、g(0+)：令令 g”(t)=a(t)+r1(t)，g(t)=a(t)+r2(t)，g(t)=r3(t)在在t=0连续连续2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应10/30/2022第2-27页信号与线性系统分

29、析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院 故故g(0+)=2 g(0+)-g(0-)=2得：得：a(t)=2(t)故故 a=2 g(0+)=g(0-)=0代入代入g(t)=C1e-t+C2e-2t+3求得求得 g(t)=4e-t+e-2t+3，t02.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应10/30/2022第2-28页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院2 2阶跃响应与冲激响应的微积分关系阶跃响应与冲激响应的微积分关系根据根据LTILTI系统微分特性系统微分特性,则则故求系统的阶跃响

30、应可以转化为求系统的冲激响应！故求系统的阶跃响应可以转化为求系统的冲激响应！g(t)求解方法：求解方法：通过通过求解。求解。2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应10/30/2022第2-29页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院作业题P80:2.7(2);P83:2.282.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应10/30/2022第2-30页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、卷积积分一、卷积积分1.信号的时域分

31、解信号的时域分解(1)(1)预备知识预备知识问问 f1(t)=?p(t)直观看出直观看出2.3 2.3 卷积积分卷积积分10/30/2022第2-31页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院(2)(2)任意信号分解任意信号分解“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0),宽度为宽度为，用，用p(t)表示为表示为：f(0)p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f(),宽度为宽度为，用，用p(t-)表示为：表示为：f()p(t-)“-1”号脉冲高度号脉冲高度f(-)、宽度为、宽度为，用，用p(t+)表示为表示为：f(-)p(t+)2.3 2.3 卷积积分

32、卷积积分10/30/2022第2-32页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院2.任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应yzs(t)f(t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t)h(t)由时不变性：由时不变性：(t-)h(t-)f()(t-)由齐次性：由齐次性：f()h(t-)由叠加性：由叠加性：f(t)yzs(t)卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分10/30/2022第2-33页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院3.卷积积分的定义卷积积分的定义已

33、知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分 为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)=f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。2.3 2.3 卷积积分卷积积分10/30/2022第2-34页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院例例1：信信号号f1(t)=e-3(t-1)(t-1)与与 f2(t

34、)=e-5(t-2)(t-2)，试计算两信号的卷积，试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。解解:2.3 2.3 卷积积分卷积积分10/30/2022第2-35页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院 例例2 2：输入激励：输入激励f(t)f(t)为为3 3(t)，系，系统的冲激响应为统的冲激响应为h(t)=2eh(t)=2e-3t-3t(t)，试，试求系统的零状态响应。求系统的零状态响应。2.3 2.3 卷积积分卷积积分10/30/2022第2-36页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大

35、学信息工程学院解解：例例3：f(t)=e t,（-t)，h(t)=(6e-2t 1)(t)，求求yzs(t)。2.3 2.3 卷积积分卷积积分10/30/2022第2-37页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院二、卷积的图示二、卷积的图示卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元：t换为换为得得 f1()，f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()平移平移t f2(t-)（3）乘积乘积：f1()f2(t-)（4）积分积分：从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举

36、例说明。下面举例说明。一般选比较简单函数进行反转和平移。一般选比较简单函数进行反转和平移。2.3 2.3 卷积积分卷积积分10/30/2022第2-38页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院例:f(t),h(t)如图所示，求yzs(t)=h(t)*f(t)。解 采用图形卷积:f(t-)f()反折反折f(-)平移平移t t 0时时,f(t-)向左移向左移f(t-)h()=0，故故 yzs(t)=0 0t 1 时时,f(t-)向右移向右移 1t 2时时 3t 时时f(t-)h()=0，故故 yzs(t)=0h(t)函数形式复杂函数形式复杂

37、 换元为换元为h()。f(t)换元换元 f()2t 3 时时02.3 2.3 卷积积分卷积积分10/30/2022第2-39页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下限是关键。例例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求，求f(2)=？f1(-)f1(2-)解解：（1）换元）换元（2）f1()得得f1()（3）f1()右移右移2得得f1

38、(2)（4）f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2)=0（面积为（面积为0）2.3 2.3 卷积积分卷积积分10/30/2022第2-40页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院作业题作业题P81:2.18(3)P83:2.292.3 2.3 卷积积分卷积积分10/30/2022第2-41页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规

39、则），灵活地运用它们能简化卷积运算。（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。一、卷积的代数运算一、卷积的代数运算满足乘法的三律：满足乘法的三律：1.交换律交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.分配律分配律：f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.结合律结合律：f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-42页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院卷积结果与交换两函数的次序

40、无关。卷积结果与交换两函数的次序无关。1 1交换律交换律推导：推导：2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-43页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院2 2分配律分配律推导：推导：2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-44页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院u分配律的应用分配律的应用 :系统并联运算系统并联运算2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-45页信号与线性系统分析信号与线性

41、系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院3 3结合律结合律推导：推导：2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-46页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院结论结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。冲激响应的卷积。u结合律应用结合律应用:系统级联运算系统级联运算2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-47页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工

42、程学院例例1：已已知知某某LTI系系统统如如图图所所示示。已已知知h1(t)=(t)，h2(t)=(t-1)，h3(t)=e-3(t-2)(t-2)，试试求求该该系系统统的的冲冲激激响响应应h(t)。解：解：h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)=(t)*(t-1)+e-3(t-2)(t-2)=(t-1)+e-3(t-2)(t-2)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-48页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院二、函数与冲激函数的卷积特性二、函数与冲激函数的卷积特性1.f(t)*(t)=(t)*f

43、(t)=f(t)证：证：2.f(t)*(t t1)=f(t t1)（延时特性、重现特性）延时特性、重现特性）证明：证明：2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-49页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院结论结论：位于：位于t=t1处的冲激函数与函数处的冲激函数与函数f(t)的卷积，的卷积，相当相当于将信号于将信号f(t)“搬移搬移”到到t=t1处处。即只是使。即只是使f(t)在时间上在时间上延迟了延迟了t1，而波形不变。称为延时特性或重现特性，而波形不变。称为延时特性或重现特性2.4 2.4 卷积积分的性

44、质卷积积分的性质10/30/2022第2-50页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院推广：推广：f(t t1)*(t t2)=f(t t1t2)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-51页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院例：如图例：如图(a)为周期为为周期为T的周期性单位冲激序列，的周期性单位冲激序列，用用T(t)表示，它可写为表示，它可写为 ，函数函数f0(t)如图如图(b)所示，试求所示，试求 f(t)=f0(t)*T(t)。2.4 2

45、.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-52页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院3.f(t)*(t)=f(t)证：证：4.特例：特例：(t)*(t)=(-1)(t)=t(t)证：证：推广：推广：f(t)*(n)(t)=f(n)(t)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-53页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院5.卷积的时移特性卷积的时移特性若若 f(t)=f1(t)*f2(t)，则则 f1(t)*f2(t t1)=f1(

46、t t1)*f2(t)=f(t t1)若若 f(t)=f1(t)*f2(t)，则则 f1(t t1)*f2(t t2)=f(t t1 t2)推导：推导：2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-54页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院推导：推导：2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-55页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院解：解：f1(t)=(t)(t 2)f1(t)*f2(t)=(t)*f2(t)(t 2)*f

47、2(t)(t)*f2(t)=f2(-1)(t)例例：f1(t)如图如图,f2(t)=et(t)，求，求f1(t)*f2(t)利用时移特性，有利用时移特性，有(t 2)*f2(t)=f2(-1)(t 2)f1(t)*f2(t)=(1-et)(t)1-e(t-2)(t-2)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-56页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院例例：f1(t),f2(t)如图，求如图，求f1(t)*f2(t)解：解：f1(t)=2(t)2(t 1)f2(t)=(t+1)(t 1)f1(t)*f2(t

48、)=2 (t)*(t+1)2 (t)*(t 1)2(t 1)*(t+1)+2(t 1)*(t 1)由于由于(t)*(t)=t(t)据时移特性，有据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)(t+1)-2(t 1)(t 1)2 t(t)+2(t 2)(t 2)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-57页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.微分微分证：上式证：上式=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=f1(n)(t)*

49、f2(t)2.积分积分证：上式证：上式=(t)*f1(t)*f2(t)=(t)*f1(t)*f2(t)=f1(1)(t)*f2(t)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-58页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院3.微积分微积分 (等效特性等效特性)但注意上式是在但注意上式是在f1()=f2()=0的前提下的前提下2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-59页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院*推广：推广：卷积的

50、高阶导数和多重积分的运算规则：卷积的高阶导数和多重积分的运算规则：2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质10/30/2022第2-60页信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析信号与线性系统分析南昌航空大学信息工程学院例例1：f1(t)=1，f2(t)=et(t)，求求f1(t)*f2(t)解解：f2(t)*f1(t)=注意：套用注意：套用 f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2(1)(t)=0 显然是错误的显然是错误的。例例2：f1(t)如图如图,f2(t)=et(t)，求，求f1(t)*f2(t)解法一解法一：f1(t)*f2(t)=f1(t)*