信号分析第九章 线性连续系统的状态变量分析.ppt

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1、信号分析第九章信号分析第九章 线性线性连续系统的状态变量连续系统的状态变量分析分析9.19.1 状态、状态变量和状态方程状态、状态变量和状态方程1.1.引言（问题的提出）引言（问题的提出）l前述用系统函数描述的线性系统模型前述用系统函数描述的线性系统模型,解决了解决了单输入单输入 单输出的系统单输出的系统问题问题.l经典的线性系统理论（时域和变换域法）应用的局限性经典的线性系统理论（时域和变换域法）应用的局限性1)1)无法了解系统的内部特性无法了解系统的内部特性;只能了解只能了解外部特征外部特征;2)2)无法处理多输入多输出系统的问题无法处理多输入多输出系统的问题.l卡尔曼于卡尔曼于5050至

2、至6060年代引入状态空间分析法年代引入状态空间分析法,其特点是其特点是:1)1)利用状态变量描述系统的利用状态变量描述系统的内部特性内部特性；2)2)运用于运用于多输入多输出系统多输入多输出系统；3)3)可用于描述非线性系统或时变系统可用于描述非线性系统或时变系统,并易于计算机求解并易于计算机求解.l用用n个状态变量的个状态变量的一阶微分或差分方程组来描述系统一阶微分或差分方程组来描述系统 。l通过对系统内部变量的通过对系统内部变量的观测和控制观测和控制达到控制系统的目的。达到控制系统的目的。2 2系统状态变量与状态方程系统状态变量与状态方程以一个简单的串联谐振电路为例以一个简单的串联谐振电

3、路为例,用两种方法研究系统用两种方法研究系统:方法一方法一:单输入单输出法单输入单输出法 通过系统函数建立输入输出关系通过系统函数建立输入输出关系,由高阶微分方程描述系统模型由高阶微分方程描述系统模型写为写为方法二方法二:多输入多输出法多输入多输出法(状态空间分析法状态空间分析法)通过状态方程建立系统的输入输出关系通过状态方程建立系统的输入输出关系,由一由一阶微分方程组描述系统模型阶微分方程组描述系统模型.写为矩阵形式：写为矩阵形式：只要知道只要知道 的初始状态及输入的初始状态及输入 即可完全确定电即可完全确定电路的全部行为。路的全部行为。输出方程输出方程此方法称为状态变量或状态空间分析法；此

4、方法称为状态变量或状态空间分析法；为状态变量。为状态变量。例题：二阶电路例题：二阶电路3 3状态方程的矢量表示状态方程的矢量表示输出方程的矢量表示输出方程的矢量表示状状态态：表表示示动动态态系系统统的的一一组组最最少少变变量量（被被称称为为状状态态变变量量），只只要要知知道道 时时这这组组变变量量和和 时时的的输输入入，那那么么就就能能完完全全确确定定系系统统在在 任任何何时时间间 的的行为。行为。状状态态变变量量：能能够够表表示示系系统统状状态态的的那那些些变变量量成成为为状态变量。例如上例中的状态变量。例如上例中的 。状状态态矢矢量量：能能够够完完全全描描述述一一个个系系统统行行为为的的k

5、 k个个状状态变量，可以表示为矩阵。态变量，可以表示为矩阵。状态方程状态方程:用状态变量和激励表示的一组微分方程组用状态变量和激励表示的一组微分方程组输出方程输出方程:用状态变量和激励表示的一组代数方程组用状态变量和激励表示的一组代数方程组系统方程系统方程:状态方程和输出方程的总称状态方程和输出方程的总称.说明说明:2.若若A,B,C,DA,B,C,D矩阵中的各元素都为常数矩阵中的各元素都为常数,不随时间变不随时间变化化,表明系统是线性时不变的表明系统是线性时不变的;若若A,B,C,DA,B,C,D矩阵是矩阵是时间的函数时间的函数,表明系统是线性时变的表明系统是线性时变的.1.1.对于线性系统

6、对于线性系统,状态方程和输出方程是状态变量和状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合输入信号的线性组合;3.状态变量的选择不是唯一的状态变量的选择不是唯一的,对同一个系统对同一个系统,选择不选择不同的状态变量可得出不同的状态方程同的状态变量可得出不同的状态方程.(1)(1)便于研究系统内部的一些物理量在信号转便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化；换过程中的变化；(2)(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算；数值计算；(4)(4)便于分析多输入多输出系统；便于分析多输入多输出系统；(5)5)容易推广应用于时变系统或非线性

7、系统；容易推广应用于时变系统或非线性系统；(6)(6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。引出了可观测性和可控制性两个重要概念。(3)(3)系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关关,都表示一些状态变量的线性组合都表示一些状态变量的线性组合,高阶系统只高阶系统只是矩阵的维数增加而已；是矩阵的维数增加而已；4 4用状态变量分析系统的优点用状态变量分析系统的优点9.29.2 连续时间系统状态方程的建立连续时间系统状态方程的建立1 1状态变量的选取状态变量的选取对于一个电路对于一个电路,选择状态变量最常用的方法时选择状态变量最常用的方法时取全部取全部独立独立的

8、电感电流和的电感电流和独立独立的电容电压的电容电压.说明：状态变量是互相独立的，不可互求。说明：状态变量是互相独立的，不可互求。状态变量的个数状态变量的个数,等于系统的阶数等于系统的阶数.几种注意情况：几种注意情况：状态变量的选取原则：独立的电容电压和电感电流状态变量的选取原则：独立的电容电压和电感电流2.状态方程建立的方法状态方程建立的方法l由电路图直接建立状态方程由电路图直接建立状态方程l由系统微分方程或系统函数建立状态方程由系统微分方程或系统函数建立状态方程l由系统微分方程或信号流图建立状态方程由系统微分方程或信号流图建立状态方程l计算机辅助设计方法计算机辅助设计方法写出下图所示电路的状

9、态方程和输出方程。写出下图所示电路的状态方程和输出方程。选电感电流选电感电流 和电容两端电压和电容两端电压 作为状态变量作为状态变量1）电路图）电路图 建立状态方程（重点）建立状态方程（重点）对连接电容的节点对连接电容的节点A列节点电流方程列节点电流方程对包含电容的回路对包含电容的回路 列回路电压方程列回路电压方程整理整理写成矩阵形式写成矩阵形式输出方程为输出方程为三个步骤：三个步骤：(1)取取所有独立的电感电流和电容电压为状态变量所有独立的电感电流和电容电压为状态变量.(2)对每个独立电感电流对每个独立电感电流 列写列写回路电压方程回路电压方程;对每个独立电容电压对每个独立电容电压 列出列出

10、节点电流方程节点电流方程.(3)在上述方程中若含除激励源以外的非状态变量，在上述方程中若含除激励源以外的非状态变量，则应用适当的节点和回路方程将其则应用适当的节点和回路方程将其消去，消去，整理成标整理成标准形式的状态方程准形式的状态方程.例题：例题：2）由微分方程或系统函数）由微分方程或系统函数 建立状态方程（了解）建立状态方程（了解）微分方程或系统函数：描述系统的输入输出关系微分方程或系统函数：描述系统的输入输出关系状态方程：描述系统内部特性，多输入多输出的模型状态方程：描述系统内部特性，多输入多输出的模型两种模型是对同一系统工作情况的不同描述。两种模型是对同一系统工作情况的不同描述。两者之

11、间存在一定的互换关系两者之间存在一定的互换关系注意：状态变量选择不同，转换得到的状态方程不同。注意：状态变量选择不同，转换得到的状态方程不同。并非任意的微分方程或系统函数都可实现转换，并非任意的微分方程或系统函数都可实现转换，其条件是系统函数的其条件是系统函数的mn9.39.3 连续时间系统状态方程的求解（了解）连续时间系统状态方程的求解（了解）1 1连续时间系统状态方程的连续时间系统状态方程的S S域解法域解法状态方程状态方程输出方程输出方程伴随矩阵伴随矩阵行列式行列式特征多项式特征多项式?系统特征矩阵系统特征矩阵已知系统的状态方程和起始条件为已知系统的状态方程和起始条件为试求系统的状态变量。试求系统的状态变量。(1)求特征矩阵求特征矩阵其行列式和伴随矩阵分别为其行列式和伴随矩阵分别为所以预解矩阵为所以预解矩阵为则状态变量矩阵为则状态变量矩阵为已建立状态方程和输出方程为已建立状态方程和输出方程为起始状态为起始状态为输入矩阵为输入矩阵为用拉氏变换法求响应用拉氏变换法求响应 和转移函数矩阵和转移函数矩阵 。所以预解矩阵所以预解矩阵 为为(1)(1)求特征矩阵求特征矩阵其行列式和伴随矩阵分别为其行列式和伴随矩阵分别为（2 2）求转移函数矩阵）求转移函数矩阵（3 3）求输出矩阵）求输出矩阵