最新大学课程近世代数-阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲义PPT课件.ppt

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1、大学课程近世代数大学课程近世代数-阿贝尔群和阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲义同态同构学习讲义定理定理1设设是一个群，是一个群，是是阿贝尔群阿贝尔群的充要条件是的充要条件是对任意的对任意的a,bG，有有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明证明 1）充分性）充分性 设对任意的设对任意的a,bG，有有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)因为因为 a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b 所以所以 a-1*(a*(a*b)*b)*b-1=a-1*(a*(b*a)*b)*b-1 即即

2、(a-1*a)*(a*b)*(b*b-1)=(a-1*a)*(b*a)*(b*b-1)即得即得a*b=b*a，因此因此是阿贝尔群。是阿贝尔群。三三.拉格朗日定理拉格朗日定理设设是群是群 的一个子群，那么的一个子群，那么1)R=|aG,bG且且a-1*bH是是G中的一个中的一个等价关系等价关系。对于对于aG，若记若记 aR=x|xG且且R 则则 aR=aH2)如果如果G是有限集，是有限集，|G|=n，|H|=m，则则m|n.（即即整除整除）证明证明 1)：对于任一：对于任一aG，必有必有a-1 G，使使a-1*a=e H，所以所以 R，即是即是自反的自反的。II：对于任意对于任意a,G，若若 R

3、，则，则a-1*bH，因为因为H是是G的子群，故的子群，故(a-1*b)-1=b-1*aH，所以所以 R，即是即是对称的对称的。III：对于任意对于任意a,cG，若若 R，R，则则a-1*b H，b-1*c H，所以所以a-1*b*b-1*c=a-1*c H，故故 R，即是即是传递的传递的。对于对于aG，我们有：，我们有：b aR R a-1*b H baH。因此因此 aR =aH2)由于由于R是是G中的一个等价关系，所以必定将中的一个等价关系，所以必定将G划分成不划分成不同的等价类同的等价类a1R，a2R，akR，使得，使得又因为，又因为，H中任意两个中任意两个不同不同的元素的元素h1，h2，必有必有a*h1a*h2(aG)，所以所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,k。因此因此 n=|G|=mk推论推论1任何质数阶的群不可能有非平凡子群。任何质数阶的群不可能有非平凡子群。推论推论2 设设是是n阶有限群，那末对于任意的阶有限群，那末对于任意的aG，a的的 阶必是阶必是n的因子且必有的因子且必有an=e，这里这里e是群是群中的中的 幺元。如果幺元。如果n为质数，则为质数，则必是循环群。必是循环群。证明见书证明见书210 例：例：见书见书210 例题例题 作业作业P211(P211()()()结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！17