十三章函数列与函数项级数.ppt

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1、十三章函数列与函数项级数 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望或 总有例例证明它的收敛证证:(3)它显然是发散的,所以函数列例例2 2 设 证明它的收敛域为极限函数为 =0。证证：由于对任何实数都有 故，对任意给定的，就有定义定义1所以数列的收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。一致收敛于一

2、致收敛于f 的几何意义的几何意义:不一致收敛于不一致收敛于f 的几何意义的几何意义:函数列在函数列在D上不一致收敛的定义：上不一致收敛的定义：定理定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则函数列一致收敛的柯西准则)(4)证证:必要性充分性一点都收敛，记其极限函数为(5)定理定理13.2证证:必要性由上确界的定义有由此证得（6）式成立。充分性有由（7）式得（6）（7）例例3证明证：证：于是，但由于 因此，该函数列在 上不一致收敛。二二.函数项级数及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性称为定义在上的函数项级数，为函数项级数的部分和函数列。级数的和函数：即若收敛，则称为的收敛点。若发散，则称为的收发散点。也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性。当当当当定理定理13.3（一致收敛的柯西准则）或推论：推论：定义定义2.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例例4定理定理13.4由此可知我们来看例4中的级数若仅在-a，a（aN时，对一切有所以 于是由一致收敛性的柯西准则，级数在区间I上一致收敛。例例6 6 函数项级数在0，1上一致收敛。因为记时，由阿贝耳判别法即得结果。例例7 7 若数列单调且收敛于零，则级数在上一致收敛。证：证：因为在上有所以级数的部分和数列在上一致有界，于是令 由狄利克雷判别法知级数在上一致收敛。