物理解题中的数学方法.ppt

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1、物理解题中的数学方物理解题中的数学方法法高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题.可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程.物理高考考试大纲明确要求考生必须具备“应用数学处理物理问题的能力,能够根据具体问题列出物理量之间的关系式,进行推导和求解,并根据结果得出物理结论,能运用几何、图形、函数图像进行表达、分析”.对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷,如2009年高考北京理综卷第20题、宁夏理综卷第18题(考查学生的立体几何知识)、江苏物理卷第15题(考查学生运用微元法解决问题的

2、能力);2010年高考新课标全国卷第25题(运用参数方程解决问题)、第20题(运用对数知识)、北京理综卷第24题(运用归纳法);2011年高考海南物理卷第15题(运用圆及直角三角形知识)、安徽理综卷第23题(几何知识)等等.预计2012年的高考中对于数学知识运用的考查力度不会削弱,复习中不能忽视基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等的应用,对于图象的运用也要加以重视.所谓数学方法,就是要把客观事物的状态、关系和变化过程用数学语言表达出来,并进行推导、演算和分析,进而预测、解释和判断物理问题.可以说,任何物理问题的分析和处理过程,都

3、是数学方法的运用过程.本专题中所指的数学方法,都是一些特殊的、典型的数学方法.处理中学物理问题常用的数学方法有极值法、极限思维法、几何法、分类讨论法、图象法、归纳法、微元法、三角函数法、等差(比)数列求和法、比例法等.一。极值法物理中用的极值法有:三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等.1.利用三角函数求极值(1)y=asin+bcos=(sin+cos)令cos=,sin=则有:y=(sincos+cossin)=sin(+)所以当+=时,y有最大值ymax,且ymax=.(2)y=Asincos=sin2,在=45时,y有最大值ymax,且ymax=.2.利用二次函数求极

4、值二次函数:y=ax2+bx+c=a(x2+x+)+c-=a(x+)2+(其中a、b、c为实数).当x=-时,有极值ym=(若二次项系数a0,y有极小值;若a、v=、v0)、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动,圆心为O.球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为(00),而且电荷均匀分布.两圆环的圆心O1和O2相距为2a,连线的中点为O,轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r(ra).试分析判断下列关于A点处电场强度大小E的表达式(式中k为静电力常量)正确的是()A.E=B.E=C.E=D.E=【解析】令R1=R2=0,A点场强应该不为0,排除A、B.或令r=a,E的结果应该只与R

5、1有关,与R2无关,排除A、B;当r=a时,A点位于圆心O2处,带电圆环O2由于对称性在A点的电场为0,根据微元法可以求得此时的总场强为E=E1=,将r=a代入C、D选项可以排除C选项.【答案】D往往采用特殊值法.将一些特定点的值代入,采用排除法,将错误的排除,直到找出正确的结果.点评解决此类问题不能直接求出结果,例5(图象法、数学归纳法)某物体从静止开始运动,其加速度方向保持不变,大小变化如图甲所示,则(1)在nT末时刻物体的速度为多少?(2)nT时间内的位移多大?甲【解析】可以先将题目中的a-t图象转化为v-t图象,如图乙所示.乙(1)由1T,2T,3T末的速度来归纳物体在nT末的速度的通

6、项公式,由v-t图象知v1T=v2T=+a0=a0Tv3T=+a0=所以在nT末物体的速度vnT=.(2)先求出物体在第1T内,第2T内,第3T内的位移,再来求出物体在nT内的位移.由v-t图象中的面积很容易求出第1T内,第2T内,第3T内的位移,即图象中S1、S2、S3的面积:S1=(+T)v1T=a0T2S2=S1+T=a0T2S3=S2+T=a0T2显然S1、S2、S3Sn是以S1=a0T2为首项,以d=a0T2为公差的等差数列,则在nT时间内的位移为数列的前n项和,即SnT=nS1+=n(2n+1)a0T2.【答案】(1)(2)n(2n+1)a0T2点评对于复杂的并且有规律的物理计算,

7、可借助数学上的等差、等比数列的知识进行计算.(2011年高考安徽理综卷)如图甲所示,在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内,有相互垂直的匀强电场和匀强磁场,磁感应强度为B,磁场方向垂直于xOy平面向里.一带正电的粒子(不计重力)从O点沿y轴正方向以某一速度射入该半圆形区域,带电粒子恰好做匀速直线运动,经t0时间从P点射出.(1)求电场强度的大小和方向.(2)若仅撤去磁场,带电粒子仍从O点以相同的速度射入,经时间恰从半圆形区域的边界射出.求粒子运动加速度的大小.(3)若仅撤去电场,带电粒子仍从O点射入,但速度为原来的4倍,求粒子在磁场中运动的时间.例6(几何法)【解析】(1)设带电粒子的质

8、量为m,电荷量为q,初速度为v,电场强度为E.可判断出粒子受到的洛伦兹力沿x轴负方向,于是可知电场强度沿x轴正方向且有qE=qvB 又R=vt0 则E=.(2)仅有电场时,带电粒子在匀强电场中做类平抛运动在y方向位移为y=v解得y=设在水平方向位移为x,因射出位置在半圆形区域边界上,于是x=R又由x=a()2得a=qvB=m又qE=ma解得r=由几何知识有sin=即sin=,=(3)仅有磁场时,入射速度v=4v,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,如图乙所示,设轨道半径为r,由牛顿第二定律有:带电粒子在磁场中运动周期T=则带电粒子在磁场中运动时间tB=T 所以tB=t0.点评本题着重考查学生建

9、立物理模型、应用数学知识解决物理问题的能力.学生解答本题的障碍主要有:审题能力不强,第(2)问和第(3)问物理模型建不起来;粒子轨迹和圆心难以确定;即使学生画出粒子在磁场中运动的轨迹和圆心后,确定各个量的几何关系仍有一定难度.例7(比例法)2008年12月,天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系.研究发现,有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动,其轨道半长轴为9.50102天文单位(地球公转轨道的半径为一个天文单位),人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上.观测得到S2星的运行周期为15.2年.若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50102天文单位的圆轨

10、道,试估算人马座A*的质量MA是太阳质量MS的多少倍(结果保留一位有效数字).【解析】S2星绕人马座A*做圆周运动的向心力由人马座A*对S2星的万有引力提供.设S2星的质量为mS,角速度为,周期为T,则G=mS2r，=设地球质量为mE,公转轨道半径为rE,周期为TE,则G=mE()2rE综合上述三式得=()3()2式中TE=1年,rE=1天文单位代入数据可得=4106.点评本题采用比例的方法,将一些无关的量消去,简化了计算过程,这是此类问题的基本思想方法.例8(图象法)如图甲所示,一质量m=1kg的木板静止在光滑水平地面上.开始时,木板右端与墙相距L=0.08m,一质量m=1kg的小物块以初速

11、度v0=2m/s滑上木板左端.木板的长度可保证物块在运动过程中不与墙接触.物块与木板之间的动摩擦因数=0.1,木板与墙碰撞后以与碰撞前瞬时等大的速度反弹.取g=10m/s2,求:(1)从物块滑上木板到两者达到共同速度时,木板与墙碰撞的次数及所用的时间.(2)达到共同速度时木板右端与墙之间的距离.【解析】(1)物块滑上木板后,在摩擦力的作用下,木板做匀加速运动的加速度a1=g=1m/s2,方向向右。物块做减速运动的加速度a2=g=1m/s2,方向向左。可作出物块、木板的v-t图象如图乙所示由图可知,木板在0.4s、1.2s时刻两次与墙碰撞,在t=1.8s时刻物块与木板达到共同速度.(2)由图乙可

12、知,在t=1.8s时刻木板的位移为:s=0.22=0.02m木板右端距墙壁的距离s=L-s=0.06m.【答案】(1)两次1.8s(2)0.06m点评本题采用图象法,过程比较清晰,一目了然.但要注意作图的准确性.例9(参数方程法)如图甲所示,ABCD是边长为a的正方形.质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场.不计电子的重力,求:(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小.(2)此匀强磁场区域的最小面积.【解析】(1)设匀强磁场的磁感应强度的大小为B.令圆弧是自C点垂直于B

13、C边入射的电子在磁场中的运行轨道.电子所受到的磁场的作用力f=ev0B，f应指向圆弧的圆心,因而磁场的方向应垂直于纸面向外.圆弧的圆心在CB边或其延长线上.依题意,圆心在A、C连线的中垂线上,故B点即为圆心,圆半径为a,根据牛顿第二定律有f=m解得:B=.(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小,可知自C点垂直于BC边入射的电子在A点沿DA方向射出,且自BC边上其他点垂直入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中.因而,圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界.为了决定该磁场区域的另一边界,我们来考查射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为(不妨设0)的情形.该电子的运动轨迹QPA如图乙所示.

14、图乙中,圆弧的圆心为O,PQ垂直于BC边,由上式知,圆弧的半径仍为a,在D为原点、DC为x轴、DA为y轴的坐标系中,P点的坐标(x,y)为x=asiny=-a-(a-acos)=-acos这意味着,在范围0内,P点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边界.因此,所求的最小匀强磁场区域是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周和所围成的,其面积为:S=2(a2-a2)=a2【答案】(1)垂直纸面向外(2)a2点评物理题中求轨迹方程的题目较少见.遇到这样的问题一般不是直接求解,而是找到一个相应的参数来解决问题.本题中粒子射入的速度方向相同,坐标(x,y)都与电子的速度方向与BA的延长线交角有关,可以以为参数来解决问题.