专题十二 一元二次方程实根的分布讨论.doc
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1、专题十一 一元二次方程实根的分布讨论本文将在前面方法的基础上,结合二次函数图象的性质,分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。一一元二次方程实根的基本分布零分布一元二次方程实根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。对于这类问题,用一元二次方程根的判别式和根与系数关系(韦达定理)即可判别。 一元二次方程()的两个实数根为、,则 、均为正0,0,0; 、均为负0,0,0;、一正一负0。例1关于的一元二次方程有两个负数根,求实数取值范围。解:设两个实数根为、,依题意有
2、由得:,恒成立。 由得:0,解之,。 由得:0,解之,7。 综上,的取值范围是7。 例2若0,关于的方程有两个相等的正实数根,求的值。 解:设两个实数根为、,依题意有 由得:,或。 若,则0,不符合,舍去。 故,此时均符合、, 。二一元二次方程实根的非零分布分布设一元二次方程()的两实根为、,且,为常数。则一元二次方程实根的分布指、相对于的关系,例如、均比大,或者、均比小,或者、一个比大,一个比小等等。、均比常数大0,()()0,()()0;、均比常数小0,()()0,()()0;、一个比大,一个比小0,()()0。例3若方程的两根均大于1,求实数的取值范围。解:设两个实数根为、,由韦达定理得
3、:,。依题意有由得:,解之,或。由得:2,解之,1。由得:,解之,1。综上,的取值范围是。当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时,比如两个实数根都介于2与4之间(不包括2和4),或者两根中一根介于0与1之间,另一个根介于3与4之间,这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂。那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根,但是这一方法有两个弊端:第一,带有参数的方程求根是个较复杂的过程,且涉及较深的不等式解法:第二,抽象数量运算较多,缺乏直观性。这时借助于二次函数图像,就比较直观且容易理解。我们知道,如果二次函数的图像与轴有交点,那么交点的横坐标即为二次方程的实数根。反之亦然。利用这一点来看问题1:
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