作业一传热与流体流动的数值方法.doc

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1、流动与传热的数值方法作业（一）姓名：徐世杰 学号：题目1： 用Galerkin 方法求以下方程在内部节点的离散化方程。取线性插值函数，其中节点间距是均匀的。题目2：考虑 用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程； 写出代数方程组的迭代求解程序； 研究空间步长对数值精度和收敛性的影响。题目一解：Galerkin 方法就是将对应某个点上的插值函数作为权函数。Galerkin 方法是有限元方法。可知有：， i=2，.,n-1按照习惯，上述积分写成：可以推得：由弱解变换可以得可以得，i=2，,n-1上式继续推导有：其中，化简可以得： i=2，.,n-1题目二用控制容积有限差分方法做出内

2、部节点和边界节点的离散化方程：首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。将0-1划分为N段，共N+1个节点，N个控制容积，其中。对原方程建立差分方程，内部节点： 边界节点 边界节点 组成代数方程组： 写成矩阵方程组：写出代数方程组的迭代求解程序:用Matlab编写如下求解程序；function x,n=gauseidel(A,b,x0,eps,M)%高斯迭代格式%线性方程组的系数：A%线性方程组中常数向量：b%迭代初始向量：x0%解的精度控制：eps%迭代步数控制：M%线性方程组的解：x%求出所需精度的解实际迭代步数：nif nargin=3 eps=0.; M=10000;elseif n

3、argin=4 M=10000;endD=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);G=(D-L)U;f=(D-L)b;x=x0;n=0;tol=1;while tol=eps x=G*x0+f; n=n+1; tol=norm(x-x0); x0=x; if (n=M) disp (Warning：迭代次数过多，可能不收敛.) return; endendN=input(请输入N值n)Tp=input(请输入Tp值n)x1=zeros(N,1)A0=zeros(N);A0(1,1)=N+1/(2*N);A0(1,2)=-N;A0(N,N-1)=-N;A0

4、(N,N)=2*N+1/N;for i=2:N-1 A0(i,i-1)=-N; A0(i,i)=2*N+1/N; A0(i,i+1)=-N;endb0=zeros(N,1);b0(1,1)=(1/N)*Tp;b0(N,1)=(2/N)*Tp+N;for i=2:N-1 b0(i,1)=(2/N)*Tp;endA=A0;b=b0;x0=x1;x,n=gauseidel(A,b,x0)x=x;1t=(0:1/N:1)title(一维稳态导热问题空间温度分布图)xlabel(空间分布X)ylabel(温度分布T)hold onplot(t,x) 研究空间步长对数值精度和收敛性的影响。由以上程序计算当取=1。 当N=4时; 迭代次数n=62； N=6;迭代次数n=132；N=9; 迭代次数n=282由上图可见随着步长的缩短，计算结果更加精确，数值精度越高，收敛速度越慢。