小学三年级奥数上学期找简单数列的规律教案.doc
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1、日常生活中,我们经常接触到许多按一定顺序排列的数,如:自然数:1,2,3,4,5,6,7, (1)年份:1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996 (2)某年级各班的学生人数(按班级顺序一、二、三、四、五班排列)45,45,44,46,45 (3)像上面的这些例子,按一定次序排列的一列数就叫做数列.数列中的每一个数都叫做这个数列的项,其中第1个数称为这个数列的第1项,第2个数称为第2项,第n个数就称为第n项.如数列(3)中,第1项是45,第2项也是45,第3项是44,第4项是46,第5项45。根据数列中项的个数分类,我们把项数有限的数列(即有有穷多个项的数列)称为有穷
2、数列,把项数无限的数列(即有无穷多个项的数列)称为无穷数列,上面的几个例子中,(2)(3)是有穷数列,(1)是无穷数列。研究数列的目的是为了发现其中的内在规律性,以作为解决问题的依据,本讲将从简单数列出发,来找出数列的规律。例1 观察下面的数列,找出其中的规律,并根据规律,在括号中填上合适的数.2,5,8,11,(),17,20。19,17,15,13,(),9,7。1,3,9,27,(),243。64,32,16,8,(),2。1,1,2,3,5,8,(),21,341,3,4,7,11,18,(),471,3,6,10,(),21,28,36,().1,2,6,24,120,(),5040
3、。1,1,3,7,13,(),31。1,3,7,15,31,(),127,255。(11)1,4,9,16,25,(),49,64。(12)0,3,8,15,24,(),48,63。(13)1,2,2,4,3,8,4,16,5,().(14)2,1,4,3,6,9,8,27,10,().分析与解答不难发现,从第2项开始,每一项减去它前面一项所得的差都等于3.因此,括号中应填的数是14,即:113=14。 同考虑,可以看出,每相邻两项的差是一定值2.所以,括号中应填11,即:132=11。不妨把与联系起来继续观察,容易看出:数列中,随项数的增大,每一项的数值也相应增大,即数列是递增的;数列中,随
4、项数的增大,每一项的值却依次减小,即数列是递减的.但是除了上述的不同点之外,这两个数列却有一个共同的性质:即相邻两项的差都是一个定值.我们把类似这样的数列,称为等差数列.1,3,9,27,(),243。此数列中,从相邻两项的差是看不出规律的,但是,从第2项开始,每一项都是其前面一项的3倍.即:3=13,9= 33, 27=93.因此,括号中应填 81,即 81= 273,代入后, 243也符合规律,即 243813。64,32,16,8,(),2与类似,本题中,从第1项开始,每一项是其后面一项的2倍,即:因此,括号中填4,代入后符合规律。综合考虑,数列是递增的数列,数列是递减的数列,但它们却有
5、一个共同的特点:每列数中,相邻两项的商都相等.像这样的数列,我们把它称为等比数列。 1, 1, 2, 3, 5, 8,( ), 21, 34首先可以看出,这个数列既不是等差数列,也不是等比数列.现在我们不妨看看相邻项之间是否还有别的关系,可以发现,从第3项开始,每一项等于它前面两项的和.即2=1+1,3=2+1,5=2+3,8=35.因此,括号中应填的数是 13,即 13=5+8, 21=8+13, 34=13+21。这个以1,1分别为第1、第2项,以后各项都等于其前两项之和的无穷数列,就是数学上有名的斐波那契数列,它来源于一个有趣的问题:如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔,小兔一个月后就长
6、成了大兔子,于是,下一个月也能生一对小兔子,这样下去,假定一切情况均理想的话,每一对兔子都是一公一母,兔子的数目将按一定的规律迅速增长,按顺序记录每个月中所有兔子的数目(以对为单位,一月记一次),就得到了一个数列,这个数列就是数列的原型,因此,数列又称为兔子数列,这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。1, 3, 4, 7, 11, 18,( ),47在学习了数列的前提下,数列的规律就显而易见了,从第3项开始,每一项都等于其前两项的和.因此,括号中应填的是29,即 29=1118。数列不同于数列的原因是:数列的第2项为3,而数列为1,数列称为鲁卡斯数列。1,3,6,10,( ), 21, 2
7、8, 36,( )。方法1:继续考察相邻项之间的关系,可以发现:因此,可以猜想,这个数列的规律为:每一项等于它的项数与其前一项的和,那么,第5项为15,即15=10+5,最后一项即第 9项为 45,即 45369.代入验算,正确。方法2:其实,这一列数有如下的规律:第1项:1=1第2项:3=12第3项:6=1+2+3第4项:10=1+2+3+4第5项:( )第6项:21=1+2+3+4+5+6第7项:28=1+2+3+4+5+6+7第8项;36=1+2+3+4+5+6+7+8第9项:( )即这个数列的规律是:每一项都等于从1开始,以其项数为最大数的n个连续自然数的和.因此,第五项为15,即:1
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