导数在高中数学教学中的应用(理论).doc

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1、导数在中学数学中的应用高中数学中导数的引入为我们研究函数及其对应的曲线带来很大的方便, 尤其是可以利用导数来解决函数的单调性问题和最值问题, 更可以用导数来解决部分结合问题.另外导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数、甚至数列知识更加紧密的联系在一起.近年来, 导数的相关知识在高考中的地位日益突出, 本文就简单谈谈导数在函数、不等式、数列、解析几何中的应用.1 导数的定义的相关定义很多人知道,对于很多问题,采用用高等数学的方法和初等数学的方法都可以解答, 但是高等数学的方法相对于初等数学的方法可以使一些概念更准确, 对某些问题的理解会更深刻, 使一些证明更严谨或更简单,

2、 并为许多问题提供的解题途径. 我们高中对导数的学习只是出略的, 更多相关的知识要高等数学中才会学习, 但我们应该明白高中出现的函数几乎都是可导函数.但我们还是要注重有关概念的辨析, 避免应用导数解决相关问题是出现错误.为了更清楚地了解导数的定义我们应用高等数学中导数的定义方式.1.1 函数连续的定义定义1 若函数在的附近包括点本身有定义, 并且. 则称在连续, 或称点是 f (x)的连续点.1.2 导数的定义定义2 设函数y=在点的某个邻域内有定义, 若极限 存在, 则称函数在处可导, 并称该极限为函数 y =在点 处的导数, 记作. 注：(1) 函数应在点x0x的附近有定义, 否则导数不存

3、在.(2) 在定义导数的极限式中, 趋近于0可正、可负、但不为0, 可能为0.(3) 是函数y=f (x) 对自变量x在Dx范围内的平均变化率, 它的几何意义是过曲线上点(x0, 及点(+, 的割线斜率.(4) 导数是函数在点的处瞬时变化率, 它反映的函数在点处变化的快慢程度, 它的几何意义是曲线上点(, )处的切线的斜率.(5) 若极限不存在, 则称函数y=f (x)在点处不可导.(6) 如果函数y=f (x)在开区间(a, b)内每一点都有导数, 则称函数在开区间内可导；此时对于每一个, 都对应着一个确定的导数, 从而构成了一个新的函数, 称这个函数.2 导数在函数问题中的应用2.1 利用

4、导数作函数的图像中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图像就相当的简便.作函数图像的一般步骤：（1） 求出函数的定义域；（2）考察函数的奇偶性、周期性；（3）求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表)；（4）确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表)；（5）考察渐进线；（6）画图.例1 作函数的图像.解：(1) 函数的定义域(2) 曲线与x, y轴交点分别为.(3) 令 解得令 解得(4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点：-5-21+00+0+凹80 极大

5、凸26 拐点凹-28极小凹(5) 无渐进线(6) 作图：(-5，80)（-2,26）（-1，0）0（1，-28）XY图12.2 利用导数求参数的值 在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而更快速的求出参数.例 2 已知函数在区间-1, 1上是增函数, 求实数的取值所组成的集合A.解 又在-1, 1上是增函数 对恒成立, 即对恒成立. 设, 那么问题就等价于 即 故所以 A=.2.3 判断函数的单调性函数的单调性是函数最基本的性质之一, 是研究函数所要掌握的最基本的知识.通常用定义来判断, 但当函数表达式较复杂时判断正负较困难.运用导数知识来讨论函数单调性时, 只需

6、求出, 再考虑的正负即可.此方法简单快捷而且适用面广.例 3 已知是定义在R上的函数, 其图像交轴于三点, 点的坐标为(2,0),且在-1,0和0,2有相反的单调性. (1)求的值. (2)若函数)在0,2和4,5也有相反的单调性, 的图像上是否存在一点, 使得在点的切线斜率为? 若存在, 求出点的坐标. 若不存在, 说明理由.解 分析:（1）, 在-1,0和0,2有相反的单调性. =0是的一个极值点, 故. =0（2）得,因为在0,2和4,5 有相反的单调性, 在0,2和4,5 有相反的符号.故,. 假设存在点使得在点的切线斜率为,则. 即.,而.0.故不存在点使得在点的切线斜率为.2.4

7、研究方程的根 我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题.例4 若, 则方程在上有多少根？解 设, 则当且时, , 故在上单调递减, 而在与处都连续, 且, 故 在上只有一个根.导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次函数, 从而达到化简的目的.2.5 求函数极值或最值最值问题是高中数学的一个重点, 也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面, 要解决这类问题往往需要各种技能, 并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类

8、问题可以使解题过程简化, 步骤清晰, 学生也好掌握.应注意函数的极值与最值的区别与联系, 极值是一个局部性概念, 最值是某个区间的整体性概念.利用导数求函数极(最)值解答这类问题的方法是:（1）根据求导法则对函数求出导数.（2）令导数等于0,解出导函数的零点.（3）分区间讨论,得数的单调区间.（4）判断极值点,求出极值.（5）求出区间端点值与极值进行比较,求出最值.出函例 5 设是函数的两个极值点.(1)若=-1,=2,求函数的解析式; (2)若+=22,求)的最大值;解 分析: (1) ,依题意有, , 解得 ,. (2), 依题意, 是方程的两个根,且+=22, . ,. . 设),则.由

9、得,由得. 即:函数 在区间(0,4上是增函数,在区间4,6上是减函数, 当=4时, 有极大值为96,)在(0,6上的最大值是96, 的最大值为46.从以上例题的分析可以看出导数定义在求极限导数导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,发挥着重要作用,因此我们应予高度重视,充分理解导数定义概念的实质,把握导数.应用的场合及关键点,只有这样在各类考试中方能得心应手.例6 (2005年山东卷)已知函数是函数的一个极值点, 其中, .(1)求与的关系表达式；(2)求的单调区间；(3)当时, 函数的图像上任意一点的切线斜率恒大于, 求的取值范围.分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识

10、, 第1小题根据极值点处导数为零, 可确定与的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论.解 (1) 由是的一个极值点, 知, 即, (2) 由(1), 得 由知, , 当变化时, 与的变化如下：100递减极小值递增极大值递减由上可知, 在区间和上递减,在区间上递增.(3) 由已知得,即,即当时,有. 设,其函数开口向上,由题意式恒成立,所以即解之得, ,又,所以.即的取值范围为.3 导数在证明等式和不等式问题中的应用3.1导数在不等式证明中的应用利用导数证明不等式, 就是利用不等式与函数之间的联系,

11、 将不等式的部分或者全部投射到函数上.直接或等价变形后, 结合不等式的结构特征, 构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值, 将不等式的证明转化为函数问题.即转化为比较函数值的大小, 或者函数值在给定的区间上恒成立等.例 7 求证：分析:本题通过导数与函数单调性的关系, 自然地将导数与不等式结合在一起, 灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数；再对进行求导, 得到；然后观察得到当时, , 即在时是增函数；最后可得当时, , 即.解：令 则在上是增函数.当时, 即.3.2 在恒等式证明方面的应用此类问题证明的关键是把恒等式问题转化为函数问题, 然后利

12、用函数的导数达到解决问题的目的.例 8 求证: 证明：设 则 从而 令 得, 于是4 导数在数列问题中的应用数列是高中数学中一个重要的部分, 也是个难点.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 运用导数来解决数列的有关问题.例 9 已知数列的通项, 求数列的最大项.解 作辅助函数, 则. 令 得； 令 得或.在区间上是增函数, 在区间是减函数.因此, 当时函数取到最大值.对, , 所以数列的最大项为.5 导数在解析几何问题中的应用导数进入中学数学, 丰富了中学数学知识和解法, 给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法, 也给许多常规问题的解法提供了新的视角

13、.利用导数解决解析几何中的切线、中点弦问题, 正是其中一个方面.5.1 利用导数求解切线方程利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作：y是x的函数, 利用复合函数求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆, 两边对求导, 则有, 所以在切点处的切线斜率.从而求出切线方程是.类似地可轻松求出过椭圆、双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程.如果以圆、椭圆等图形的中心为中心, 按比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、椭圆等与弦中点M相切(如图1).此时缩小的曲线方程如, , 两边对求导, 可发现并不改变原程求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是在中点处的值.AMB图25.2 求中点弦方程例

14、10 已知双曲线方程, (1)求以为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点, 能否作直线, 使与所给双曲线交于两点, 且点是弦的中点？这样的直线如果存在, 求出它的方程；如果不存在, 说明理由.解 对两边求导, 得(1) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程为(2) 以为中点的弦的斜率, 所以所求中点弦所在直线方程为, 即,但与双曲线方程联立消去得, 无实根.因此直线与双曲线无交点, 所以满足条件的直线不存在.点评：(1)求出的方程只是满足了必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与双曲线确实有两个交点.5.3 证明与中点弦有关的不等式例11 已知椭圆, 、是椭圆上两点, 线

15、段的垂直平分线与轴交于点, 求证：.证明： 设的中点是, 则中点在椭圆内, 所以 (1)对椭圆两边求导有, 得故中点弦的斜率, 所以线段的垂直平分线斜率满足：, 得.代入(1)式得.5.4 求与中点弦有关的轨迹问题例 12 已知定点(0, 2), 椭圆, 过任意引直线与椭圆交于两点, 求线段中点的轨迹方程.解 设线段的中点为.对椭圆两边求导, 得=0所以PQ的斜率为.又, 所以.化简即得(在椭圆内的部分).综上所述, 在中学数学中解决函数、解析几何时我们可以充分考虑导数这一个有力工具, 有些题通过导数的使用可以达到简化题目、降低难度的作用, 但在应用导数时不能盲目使用.相信有了导数这一工具会使大家解决中学数学题时多以选择.