模块9-1《计数原理》.doc

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1、第一节 分类和分步计数原理【归纳知识整合】1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事，共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法探究1选用分类加法计数原理的条件是什么？提示：当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理 探究2选用分类乘法计数原理的条件是什么

2、？提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理【自测牛刀小试】1一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()A182B14C48 D912某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A3种 B6种C7种 D9种3从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A30 B20C10 D64如图，从AC有_种不同的走法5设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立AB的映射的个数为_考点

3、一分类加法计数原理【例1】(1)(2012北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24B18C12 D6(2)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为()A80 B120C140 D50本例(1)条件不变，求有多少个能被5整除的数？ 使用分类加法计数原理计数的两个条件一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；二是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理1若自然数n

4、使得作竖式加法n(n1)(n2)均不产生进位现象，则称n为“良数”例如：32是“良数”，因为323334不产生进位现象；23不是“良数”，因为232425产生进位现象那么小于1 000的“良数”的个数为()A27 B36C39 D48考点二分步乘法计数原理【例2】学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有_种(用数字作答)使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 (1)要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.2将数字1,2,3,4,5,6按

5、第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1N2N3的所有排列的个数是_(用数字作答)考点三两个计数原理的综合应用【例3】用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_种应用两个原理解决实际问题的注意点在解决实际问题中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”

6、间互相联系3如图所示，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A288种B264种C240种 D168种2个区别两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的，并列的，独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏3个注意点利用两个计数原理解题时的三个注意点(1

7、)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；(3)混合问题一般是先分类再分步数学思想计数原理中的分类讨论从近几年的高考试题来看，两个计数原理的问题重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想的应用解决此类问题时，需要分清两个原理的区别，一般情形是考虑问题有几种情况，即分类；考虑每种情况有几个步骤，即分步要求既要会合理分类，又要能合理分步【典例】(2012浙江高考)若从1,2,3，9这9个整数

8、中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种B63种C65种 D66种【变式训练】1已知a，b0,1,2，9，若满足|ab|1，则称a，b“心有灵犀”则a，b“心有灵犀”的情形共有()A9种B16种C20种 D28种第二节 排列与组合【归纳知识整合】1排列与排列数公式(1)排列与排列数(2)排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(m，nN*，mn)(3)排列数的性质An！；A1；0！1.2组合与组合数公式(1)组合与组合数(2)组合数公式C(m，nN*，mn)(3)组合数性质C1；CC；CCC.探究1排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体

9、的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数 探究2如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题 【自测牛刀小试】112名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是()A123B312CA D1211102异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()A20 B9CC DCCCC3将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()A252种 B112种C20种 D56种4从4名男

10、生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种5如图M，N，P，Q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有_种考点一排列问题【例1】3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少中排法？ 解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素

11、(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列1一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法()A450B460C480 D5002排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单(1)任何两个舞蹈节目

12、不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？考点二组合问题【例2】要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解通常用直接

13、法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理3某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A30种B35种C42种 D48种考点三排列、组合的综合应用【例3】有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表求解排列、组合综合题的一般思路排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或

14、分好的组进行排列其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准44个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？1个识别排列问题与组合问题的识别方法识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关3点注意求解排列、组合问题的三个注意点(1)解排列、组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理(2

15、)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决分类标准应统一，避免出现重复或遗漏(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都是犯有重复或遗漏. 创新交汇几何图形中的排列组合问题1排列、组合问题的应用一直是高考的热点内容之一，高考中除了以实际生活为背景命题外，还经常与其他知识结合交汇命题2解答此类问题应注意以下问题：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；(2)对限制条件较为复杂的排列组合问题，可分解为若干个简单的基本问题后再用两个原理来解决；(3)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，可采用多种不

16、同的方法求解，看结果是否相同来检验【典例】 (2011湖北高考)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种(结果用数值表示)【变式训练】(2012安徽高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()A1或3B1或4C2或3 D2或4第三节 二项式定理【归纳知识整合】1二项式定理二项式定理(ab)nC

17、anCan1bCankbkCbn(nN*)二项式系数二项展开式中各项系数C(r0,1，n)二项式通项Tr1Canrbr，它表示第r1项2二项式系数的性质探究 1. 二项式(xy)n的展开式的第k1项与(yx)n的展开式的第k1项一样吗？提示：尽管(xy)n与(yx)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换探究 2. 二项式(xy)n展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示：不一定最大，当二项式中x，y的系数均为1时，或x，y的系数均为1，n为偶数时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定【自测牛刀小试】1(xy)n的二项展开式中，第r项的系

18、数是()ACBCCC D(1)r1C2(2012四川高考)(1x)7的展开式中x2的系数是()A42 B35C28 D213已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是()A28 B38C1或38 D1或284若(12x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是_5若C3C32C3n2C3n185，则n的值为_考点一求二项展开式中特定项或特定项系数【例1】(1)(2012上海高考)在6的二项展开式中，常数项等于_(2)(2012广东高考)6的展开式中x3的系数为_(用数字作答)(3)(2012福建高考)(ax)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a

19、_.求特定项的步骤(1)根据所给出的条件(特定项)和通项公式建立方程来确定指定项(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n为正整数，r为非负整数，且rn)；(2)根据所求项的指数特征求所要求解的项1(2012泰安模拟)若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为()A6B10C12 D152(1xx2)6的展开式中的常数项为_考点二二项式系数和或各项的系数和【例2】设(2x)100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1a2a100；(3)a1a3a5a99；(4)(a0a2a100)2(a1a3a99)2.赋值法在求解二项式各项系数和有关问

20、题中的应用“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和时常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可3若(12x)2 013a0a1xa2 013x2 013(xR)，则的值为()A2B0C1 D24若(2x3)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a12a23a34a45a5等于_考点三二项展开式系数最大项的问题【例3】求二项式8的展开式中：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项和系数最小的项运用二项式定理时的两个注意点在运用二项式

21、定理时不能忽视展开式中系数的正负当然还需考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：(1)二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关；(2)项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关5如果n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是()A0B256C64 D.1个公式二项展开式的通项公式通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：(1)Canrbr是第r1项，而不是第r项；(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒；(3)通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”3点注意二项式系

22、数的三个注意点(1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法；(3)展开式中第r1项的二项式系数与第r1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错. 易误警示对二项展开式的考虑不全面致错【典例】(2012天津高考)在5的二项展开式中，x的系数为()A10B10C40 D40【变式训练】1(2012安徽高考)(x22)5的展开式的常数项是()A3B2C2 D32设(5x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，MN240，则展开式中的x3项的系数为()A500 B500C150 D1503a4(x1)4a3(x1)3a2(x1)2a1(x1)a0x4，则a3a2a1_.