第二十一章 重积分作业答案.doc

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1、第二十次作业 第二十一章 重积分 1 二重积分的概念 班级： 姓名：1. 比较二重积分的大小，其中积分区域为：（1）顶点是的三角形区域； （2）矩形闭区域解：（1），所以（2），所以2. 根据二重积分的几何意义 ，确定二重积分的值，其中解：根据二重积分的几何意义 ，二重积分表示以区域为底、以第一卦限内球面为顶的曲顶柱体的体积，即所以3、利用二重积分定义，计算二重积分，其中解：将区域等分成个小正方形区域，取，则4、证明函数在任意有界闭区域都不可积。证法一：对任意有界闭区域做任意分割，小区域上的振幅，所以振幅和所以 ，即任意有界闭区域都不可积。证法二：对分割，取。对分割，取，所以 任意有界闭区域都

2、不可积。5、设，定义函数证明：函数在可积，且 证明：因为是有界闭区域，的不连续点分布在直线上，由定理21.7可知函数在可积。 对区域的任意分割，取，所以。6、应用中值定理估计积分的值解：由二重积分中值定理，至少存在一点，使得所以 7、设为连续函数，求解：由二重积分中值定理，至少存在一点，使得第二十一次作业 第二十一章 重积分 2直角坐标系下二重积分的计算 班级： 姓名：1、 在下列积分中改变累次积分的顺序： 、 2、 计算下列二重积分（1），其中解：（2），其中解： （由对称性）（3），其中为所围成的区域，是连续函数。 解：引补助线，记则关于轴对称，关于轴对称，而被积函数关于都是奇函数，由对称

3、性得 3、 求由坐标平面及所围成的角柱体的体积。解：角柱体在面的投影区域，其中由二重积分的几何意义，得角柱体的体积第二十二次作业 第二十一章 重积分 3 格林公式曲线积分与路线的无关性 班级： 姓名：1、 应用格林公式计算下列曲线积分：（1），其中是与轴围成的区域边界，方向取正向；解：由格林公式（2），其中为常数，为由到经过圆上半部的路线。解：连接有向线段，则构成正向闭曲线，围成区域，由格林公式得 而,所以2、 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积：（1） 星形线：；解法一：星形线围成的区域关于对称，面积为，分别用表示位于第一象限部分区域和星形线，面积为，正向边界为 由格林公式得 解法二：

4、（2）双纽线：（提示：双纽线的参数方程：）解法一：由对称性解法二：对称性及利用二重积分的极坐标变换，双纽线的极坐标方程：。于是 3. 验证下列积分与路线无关，并求它们的值：（1）解：设，所以积分与路线无关。（2），其中是摆线上从到的一段弧；解；设，所以积分与路线无关，取上半圆周曲线：，于是注：不能取有向线段 ，因为该有向线段过点。或 利用格林公式计算，取反向闭合曲线，围成半径为的半圆域。于是得而，所以（3），沿在右半平面的路线； 解：设，所以在右半平面内积分与路线无关。（4），沿不通过原点的路线；解：因为，所以积分与路线无关。 或 设，取折线（5），其中为连续函数。（提示：分别是的原函数）解法

5、一：因为，所以积分与路线无关。取折线解法二：设，则（6），其中为过三点的折线由点到点。解：因为，所以积分与路径无关，取折线0C,CB,其中C(1,0). 有 4. 求下列全微分的原函数：（1） 解：设，所以存在函数，使得，取折线，则（2）解：设，所以存在函数，使得，所以或 第二十三次作业 第二十一章 重积分 4二重积分的变量变换1 班级： 姓名1、 在下列积分中引入新变量后，将它化为累次积分：（1），若；解：设, 所以 （2），其中解：设，则 所以 2、作适当的变换，计算下列积分：（1） 解：设，所以 （2） 解：设所以 （3） 解：设所以 （4）解：设所以 3、证明，其中。解：设第二十四次作

6、业 第二十一章 重积分 4二重积分的变量变换2 班级： 姓名1、将二重积分化为极坐标系下的二次积分，其中积分区域为： 解：（1）或 （2）2、利用极坐标计算二重积分： （1），其中解：设，则（2）,其中解：的边界：，故令或 令，则。（3），其中解：3、求下列曲面所围立体的体积：（1）由曲面与围成的立体；解：消去，得到过两个曲面的交线的投影柱面：。投影曲线是故立体在面的投影区域是曲面所围立体的体积(2)由曲面与围成的立体；解：使，解得，过两个曲面交线的投影柱面：。立体在面的投影区域是，记两个曲面方程分别为与，则对任意，有故曲面所围立体的体积4. 求由下列曲线所围的平面图形的面积：（1）；解：令，

7、则，曲线所围的平面区域曲线所围的平面图形的面积（2）解：记为第一卦限内的区域，利用广义极坐标变换：，则曲线的广义极坐标方程是，曲线所围的平面图形的面积是注：方程两边关于求导： 当时，当时，。第二十五次作业 第二十一章 三重积分 5三重积分1 班级： 姓名1、计算下列积分：（1）解：（2）是由与三个坐标面所围成的区域；解：(3) ，是由所围成的区域；解：（4）解：或利用球面坐标变换：或利用柱坐标变换或 2、改变下列累次积分的顺序： （1）；解：（2）解：，在面上的投影区域为故同理第二十六 次作业 第二十一章 三重积分 5三重积分2 班级： 姓名1、计算下列积分：（1），其中是由旋转抛物面与平面所

8、围成的立体；解：在面上的投影为，利用柱面坐标得（2），其中是由和所确定；解法一： 解法二： ，利用球面坐标，（3）设，其中是可微函数，求。其中。解：利用球面坐标，得 所以，（4）解：，使，即在面上的投影区域为 解法一：利用柱坐标解法二：利用球坐标 （5），其中是由球面与及平面所围成；解：利用球坐标 2、利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的立体的体积：（1）解：令则 （2）；解：底，侧为柱面：，上、下曲面分别是，则立体的体积为 3、 设球体上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求球体的质量解：利用球面坐标，令 于是球体的质量 4、 求函数在椭球体内的平均值。解：利用广义球坐标变换，函数在椭

9、球体内的平均值为5、计算三重积分解：利用球面坐标，得 第二十七次作业 第二十一章 三重积分 6重积分的应用 班级： 姓名1、求曲面包含在圆柱内那部分的面积；解：曲面，所求面积为 2、求锥面被柱面所截部分的曲面面积解：曲面，过两曲面的交线的投影柱面是，所以锥面被柱面所截部分在的投影区域是或，故所求面积为3、 求均匀密度的物体的重心：（1） 半椭圆形薄板； 解：由对称性知，利用广义极坐标计算，得，半椭圆形薄板的重心是（2）； 解：由对称性知，利用柱坐标计算，得或，物体的重心是（3）由坐标面及平面所围的四面体。解：所求四面体的重心是4、求下列均匀密度的平面薄板的转动惯量：（1） 半径为的圆关于其切线的转动惯量；解：取圆的方程为，所在区域记为，则轴与该圆相切，关于其切线的转动惯量即为关于轴的转动惯量。（2） 边长为，夹角为的平行四边形，关于底边的转动惯量。解：以边长所在的边为轴，平行四边形在该边上的顶点为坐标原点，建立直角坐标系。则关于底边的转动惯量即为关于轴的转动惯量。5、 求均匀柱体对于点处的单位质点的引力。解：由对称性知，利用柱坐标计算，得均匀柱体对于点处的单位质点的引力为