纳什均衡应用举例.doc

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1、 古诺寡头竞争模型 有两个参与人,分别称为企业1和企业2;每个企业的战略是选择产量;支付是利润,它是两个企业产量的函数. 我们用qi0,)代表第i个企业的产量,Ci(qi)代表成本函数,P=P(q1+q2)代表逆需求函数(P是价格;Q(P)是原需求函数).第i个企业的利润函数为: ()是纳什均衡产量意味着 找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令其等于0.上述两个一阶条件分别定义了两个反应函数 反应函数意味着每个企业的最优战略(产量)是另一个企业产量的函数.两个反应函数的交叉点就是纳什均衡. 为了得到更具体的结果,让我们来考虑上述模型的简单情况,假定每个企业具有相同的不变单位

2、成本,即:,需求函数取如下线性形式:P=a-(q1+q2).那么,最优化的一阶条件分别为:就是说,j每增加1个单位的产量,i将减少1/2单位的产量.解两个反应函数,我们得到纳什均衡为: 每个企业的纳什均衡利润分别为: 为了与垄断情况作比较,让我们计算一下垄断企业的最优产量和均衡利润.垄断企业的问题是:容易算出,垄断企业的最优产量为;垄断利润为.寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己最优产产量时,只考虑对本企业利润的影响,而忽视对另一个企业的外部负效应.这是典型的囚徒困境问题. 例1: 设某一市场有1,2两个厂商,它们生产相同的产品.设厂商1的产量为q1,厂商2的产量q2,则市

3、场总产量为Q=q1+q2.设P是市场出清价格(可以将产品全部卖出去的价格),则P是市场总产量的函数P=P(Q)=8-Q.再设生两个厂商的生产都无固定成本,且每增加,且每增加一单位产量的边际生产成本相等 C1=C2=2,即它们分别生产q1和q2产量的成本分别为2q1和2q2.最后设这两个厂商是同时决定各自的产量的,即在决策之前不知道另一方的产量.上述问题构成的博弈中,博弈方为厂商1和厂商2.它们的策略空间都是由不同的产量组成,因为产量受生产能力的限制,因此理论上产量是有一个上限的,但如果假设产量是连续可分得,则它们各自都有无限多种可选策略.该博弈中两博弈方的得益自然是各自的利润,用u老表示,即各

4、自的销售收入减去各自的成本,根据给定情况,分别为 两博弈方的得益(利润)取决于双方的策略(产量). 本博弈中两博弈方都有无限多种可选策略,因而无法得益矩阵表示该博弈,但纳什均衡的概念同样适用,即对于两博弈方的一个策略组合,只要其中和相互是对方策略的最佳对策,就是一个纳什均衡.并且如果可证实它是该博弈中唯一的纳什均衡,则它同样是博弈的解.因此本博弈, ()的纳什均衡的充分必要条件是的最大值问题: 和的解. 因为求最大值的两个式子都是各自自变量的二次式,且二次项的系数都小于0,因此和只要能使它们各自对q1和q2的偏导数为0,就一定能实现它们的最大值. 联立上两式,解得=2,并且这是唯一的一组解.因

5、此(2,2)是本博弈唯一的纳什均衡策略组合,也意味着它是本博弈的解.两个厂商将各生产2单位的产量,双方得益(利润)都为2(8-4)-22=4,市场总产量为2+2=4,价格为8-4=4,两厂商的利润总和为4+4=8.上述是两个独立同时作产量决策,是按它们根据实现自身最大利益的原则行动而得到结果.那么这个结果究竟怎么样?两家厂商有没有真正实现自身的最大利益?从社会总体角度来看效率又如何?如果现在以总体利益目标的.如果现在以总体利益为目标来考虑市场的最佳产量,结果会有怎样的不同呢?首先可以根据市场的条件求出实现最大总得益的总产量.设总产量为Q,则总得益 U=QP(Q)-2Q=6Q-Q2很容易求得使总

6、得益最大的总产量,最大总得益.将此结果与两个厂商独立决策、只追求自身利益时相比，总产量较小，而总利润却较高。换句话说，如果两个厂商可以合作，联合起来决定产量，找出使总利益最大的产量后各自生产时更高的利益的一半（1.5），则各自可分享到比双方不合作，只考虑自己利益而独立决策时更高的利益（4.54）。但是独立决策、缺乏协调机制的企业之间，这种合作并不容易实现，即使双方认识到了合作的好处，达成了一定的协议，这种协议也往往缺乏足够的强制力，最终时很难维持上述对双方都真正最有利的产量，原因主要是因为各生产一半产量实现最大利润的总产量的策略组合(1.5,1.5)不是纳什均衡，也就是说，在这个策略组合（产量

7、组合）下，双方都可以通过独自改变（增加）自己的产量而得到更高的利润，它们都有突破限额1.5的冲动，在缺乏有足够强制力的协议等限制手段的情况下，这种冲动注定了它们不可能维持限额，最终是大家都增产，直至达到纳什均衡水平(2,2) ，实现将遵守限额还是突破限额作为两家厂商面临的选择，则可用古诺模型博弈矩阵表示这个博弈厂商2不突破突破 厂商1 不突破 4.5 4.5 3.75 5突破 5， 3.754 4 伯特兰德模型模型中厂商所选择的是价格而不是产量.产品有一定差异是指两家厂商的产品在品牌、质量和包装等方面有所不同的同类商品。因此伯特兰德中厂商的产品之间有很强的替代性，但不是完全可替代，即价格不同时

8、，价格较高的不会完全销不出去。这种情况可用当厂商1和厂商2价格分别为P1和P2时，它们各自需求函数和来表示，其中d1,d20表示两个厂商产品有一定替代性的替代系数。我们同样假设两家厂商无固定成本，边际生产成本分别为C1和C2。最后，仍强调两厂商是同时决策的。在该博弈中，两博弈方为厂商1和厂商2；它们各自的策略空间为和,其中和是厂商1和厂商2还能卖出产品价格的最高价格；两博弈方的得益是它们各自的利润，即销售收入减去成本，都是双方价格的函数。我们利用反应函数的概念解博弈。利用上述得益函数在偏导数为0时有最大值，很容易解得两厂商对对方策略（价格）的反应函数，分别为纳什均衡（）必是两个反应函数的交点，

9、即解此方程组，得：（）为博弈唯一的纳什均衡，将代入两得益函数则得两厂商的均衡得益如果，则可得，且.本例是有产品的两寡头之间价格决策的伯特兰德模型，且仅仅是伯特兰德中较简单的一种特例。更一般的情况是有n个寡头的价格决策，并且产品也可以是完全无差别的。对产品无差别的情况，则必须考虑消费者对价格的敏感性，如果所有的消费者对价格都非常敏感，则两厂商对其他厂商价格的反应函数，然后解出它们的交点即可。值得一提的是，这种价格模型与古诺模型中的产量决策一样，其纳什均衡也不如各博弈方通过协商、合作得到的结果更佳。豪泰林(Hotelling)价格竞争模型 在古诺模型中,产品是同质的.在这个假设下,如果企业的竞争战

10、略是价格而不是产量, 伯特兰德证明,即使只有两个企业,在均衡情况下,价格等于边际成本,企业的利润为零,与完全竞争市场均衡一样.这便是所谓的伯特兰德悖论. 解开这个悖论的办法之一是引入产品的差异性.如果不同企业生产的产品是有差异的,替代弹性就不会是无限的,此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好,价格不是他们感兴趣的唯一变量.在存在产品差异的情况下,均衡价格不会等于边际成本. 产品差异有多种形式.我们现在考虑一种特殊的差异,即空间上的差异,这就是经典的豪泰林模型.在豪泰林模型中,产品在物质性能上是相同的,但在空间位置上有差异.因为不同位置上的消费者支付不同的运输成本,他们关心的是价格与运输成本之

11、和,而不单是价格.假定有一个长度为1的线性城市,消费者均匀地分布在0,1区间里,分布密度为1.假定有两个商店,分别位于城市的两端,商店1在x=0,商店2在x=1,出售物质性能相同的产品.每个商品提供单位产品的成本为c,消费者购买商品的旅行成本与离商店成比例,单位距离的成本为t.这样,住在x的消费者如果在商店1采购,要花费tx的旅行成本;如果在商店2采购,要花费t(1-x).假定消费者具有单位需求,即或者消费1个单位或者消费0个单位.消费者从消费中得到的消费剩余为s. 我们现在考虑两商店之间价格竞争的纳什均衡. 假定两个商店同时选择自己销售的销售价格.为了简单起见,我们假定s相对于购买总成本(价

12、格加旅行费用)而言足够大从而所有消费者购买一个单位的产品.令pi为商店i的价格,Di(p1,p2)为需求函数,i=1,2.如果住在x的消费者在两个商店之间是无差异的,那么,所有住在x左边的将在商店1购买,而住在x右边的将商店2购买,需求分别为D1=x,D2=1-x.这里x满足: p1+tx=p2+t(1-x) 解上式得需求函数分别为: 利润函数分别为: 商店i选择自己的价格pi最大化利润pi,给定pj,两个一阶条件分别是: 二阶条件是满足的.解上述两个一阶条件,得最优解为(注意对称性): 每个企业的均衡利润为: 我们把消费者的位置差异为产品差异,这个差异进一步解释为消费者购买的旅行成本.旅行成

13、本越高,产品的差异就越大,均衡价格从而均衡利润也就越高.原因在于,随着旅行成本的上升,不同商店出售的产品之间的替代性下降,每个商店对附近的消费者的垄断力加强,商店之间的竞争更接近于垄断价格.另一方面,当旅行成本为0时,不同商店的产品之间具有完全的替代性,没有任何一个商店可以把价格定得高于成本,我们得到伯特兰德均衡结果.在以上的分析中,我们假定两个商店分别位于城市的两个极端.事实上,均衡结果对于商店的位置是敏感的.考虑另一个极端的情况,假定两个商店位于同一位置x.此时,他们出售的是同质的产品,消费者关心的只是价格,那么, 伯特兰德均衡是唯一的均衡:更为一般地,我们可以讨论商店位于位置的情况.假定

14、商店1位于a0,商店2位于1-b(这里b0).为不失一般性,假定1-a-b0(商店1位于商店2的左边).如果旅行成本为二次式,即旅行成本为td2,这里d是消费者到商店的距离,那么,需求函数分别为:需求函数的第一项是商店自己的”地盘”(a是住在商店1左边的消费者,b是住在商店2右边的消费者),第二项是位于两商店之间的消费者中靠近自己的一半,第三项代表需求对价格差异的敏感度.纳什均衡为:当a=b=0时,商店1位于0,商店2位于1,我们回到前面讨论的第一种情况:当a=1-b时,两个商店位于同一位置,我们走到另一个极端: 多人博弈的霍特林模型(1)N=2既有两台冷饮售卖机时，挤在中点（1/2，1/2）

15、 (2)N=3 这个博弈没有稳定的对局，更没有纳什均衡 (3)N=4 两台挤在1/4处 两台挤在3/4处为纳什均衡。(1/4,1/4,3/4,3/4） (4)N=5 六等分 有两台挤在左面1/5 处 ，两台右面1/5处，另外一台在中点处。在这个纳什均衡中，两边四台的市场份额为1/6，中间的市场份额为1/3。可见纳什均衡并不要求市场份额相等。(1/6,1/6,3/6,5/6,5/6)(5)N=6 六等分 三对分别挤在1/6、3/6、5/6点上。(1/6,1/6,3/6,3/6,5/6,5/6)(6)N=7 8等分 在1/8、5/8、7/8分别有两台挤在一起，在3/8处只有一台。 (1/8,1/8

16、,3/8,4/8,5/8,7/8,7/8)(7)N=8 博弈时(1/8,1/8,3/8,3/8,5/8,5/8,7/8,7/8) 当N=2k-1而k为自然数时，我们用2k-1点将一字形旅游点分为2k等分，在1/2k、3/2k、7/2k .(2k-3)/2k、(2k-1)/2k处各有两台，在5/2k处有一台时，就是一个纳什均衡。其实，单独在哪一台的位置在3/2k到2k-3的任意一个分点都可，但两端的点必须是两台挤在一起，这些对局都是博弈的纳什均衡。这时候，两台挤在一起的，市场份额分别是为1/2k，单独一台的市场份额为2/2k。 当N=2k时，我们用2k-1个点将一字形旅游点为2k等分，在1/2k

17、、3/2k、5/2k(2k-3)/2k、(2k-1)/2k处各有两台时的对局，为这个博弈的纳什均衡。这时候每台的市场份额都是1/2k。公共地的悲剧 考虑一个有n个农民共同拥有一片草地,每个农民都有在草地上放牧的自由,每年春天农民决定自己养多少只羊.我们用代表第i个农民饲养的数量.i=1,2,n;,代表n个农民饲养的总数量;v代表每只羊的平均价值.一个重要的假设是v是G的函数,v=v(G).因为每只羊至少要一定数量的草才不至于饿死,有一个最大可存活的数量Gmax;当G0;当GGmax,v(G)=0.当草地上的羊很少时,增加一只也许不会对其他羊的价值有太大的不利影响,但随着饲养量的不断增加,每只羊

18、的价值会急剧下降,因此,我们假定:在这个博弈里,每个农民的问题是选择gi以最大化自己的利润.假定购买一只羊的价格为c,那么,利润函数为:最优化的一阶条件是:上述一阶条件可以作为如下解释:增加一只羊有正负两方面效应,正的效应是这只羊本身的价值v,负的效应是这只羊使所有之前的羊的价值下降().最优解满足边际收益等于边际成本的条件.上述n个一阶条件定义了n个反应函数:因为,所以 就是说,第i个农民的最优饲养量随其他农民的饲养量的增加而递减.n个反应函数的交叉点就是纳什均衡: ,纳什均衡的总饲养量为.仔细观察一阶条件,我们发现,尽管每个农民在决定增加饲养量时考虑了对现有羊的价值地负效应,但他考虑的只是

19、对自己羊的影响,而不是对所有羊的影响.因此,最优点上个人边际成本小于社会边际成本,纳什均衡的总饲养量大于社会最优的饲养量.这一点也可以用下述办法证明.将n个一阶条件相加,我们得到:社会最优的目标是最大化如下定义的社会总剩余价值: 最优化的一阶条件为: 这里,G*是社会最优的饲养量.比较社会最优的一阶条件与个人最优的一阶条件可以看出,G*G*,公有草地被过度使用了.这就是公共地的悲剧.公共物品的私人自愿供给与上述公共地的悲剧的情况正相反,公共物品的私人自愿供给会导致供给不足.设想一个由n个居民组成的社团正在建设一座防洪大堤,每个居民自愿提供沙袋,沙袋的总供给等于所有居民个人供给之和.沙袋的总供给

20、越大,大堤越坚固,所有居民都收益.设第i个居民的贡献为gi,总供给为 .假定居民i效用函数为,这里xi是私人物品的消费量.我们假定,且私人物品和公共物品之间的边际替代率是递减的.令px为私人物品的价格,pG为沙袋的价格,Mi为个人总预算收入.那么,每个居民面临的问题是给定其他居民的选择地情况下,选择自己的最优战略(xi,gi)以最大化下列目标函数:这里,l是拉格朗日乘数. 最优化的一阶条件为: 因此, 这是我们在消费者理论中所熟悉的均衡条件.每个居民选择购买公共物品就如同它是私人物品一样,假定其他人的选择给定. n个均衡条件决定了公共物品自愿供给的纳什均衡:,现在让我们来考虑帕累托最优解.假定

21、社会福利函数采取下列形式: 总预算约束为: 帕累托最优的一阶条件是: 这里l是拉格朗日乘数.使用n 个等式消除掉,我们得到均衡条件: 这就是所谓的存在公共物品情况下帕累托最优的萨缪尔逊条件.尽管个人最优选择导致个人边际替代率等于价格比率,帕累托均衡条件可以重新写为:这意味着帕累托最优公共物品供给大于纳什均衡的公共物品供给.为了对这一点有更为直观的认识,让我们假定个人效用函数取柯布-道格拉斯形式,即,这里0a1,0b1,a+b1.在这个假设下,个人最优的均衡条件为: 将预算约束条件代入并整理,得反应函数为:反应函数意味着,一个人相信其他人提供的公共物品越多,他自己供给就越少.如果n=2,我们可以

22、在几何图形上划出两条反应曲线,两条曲线的交点就是纳什均衡.一般地,如果所有居民有相同的收入水平,均衡情况下所有居民提供相同的公共物品,纳什均衡为:纳什均衡总供给为: 在所有具有相同收入的假设下,帕累托最优的一阶条件为: 将预算约束代入,得到单个人的帕累托最优贡献为: 公共物品的总供给为: 纳什均衡的总供给与帕累托最优的总供给的比率为:就是说,公共物品的纳什均衡供给小于帕累托最优供给,且两者之间的差距随着社区人数的增加而扩大.供给不足的程度与效用函数的特征有关.比如说,如果效用函数为柯布-道格拉斯形式,b相对于a的比率越大,供给,供给不足就越小;当a趋向于零时,纳什均衡供给趋向于帕累托最优水平.

23、此外,供给不足的程度会随着收入分配的差距地扩大而减弱.比如说,假定社区由两个人组成,如果M1=M2=1.5m(即平均收入分配),纳什均衡为:就是说,只有高收入居民提供公共物品,低收入居民只是搭便车.容易验证,收入平均分配下的纳什均衡总供给小于收入分配不均的纳什均衡供给,即: 上述例子表明,当收入分配不平均时,公共物品的自愿供给可能变成一个智猪博弈,这里高收入者是大猪,低收入者是小猪,原因是高收入者提供公共物品的外部效应较小.这种情况下在现实中是观察得到的.当然,在有些情况下,公共物品的提供也可能变成一个斗鸡博弈问题.总结一下,公共物品的供给可能是一个囚徒困境问题,也可能是智猪博弈问题,还可能使

24、一个斗鸡博弈问题,依环境而定.基础设施建设,中央政府和地方政府之间的博弈在80年代,中国经济建设中的一个引人入胜的现象时地方政府热衷于投资加工业二忽视基础设施的投资,这种现象引起许多经济学家的关注,被批评为地方政府投资行为不合理的表现.但进入90年代以后,出乎许多经济学家的预料之外,地方政府又开始大量投资于基础设施.这一现象可以用博弈模型来解释.尽管使用下一章的动态博弈模型也许更为恰当,但下面的静态博弈分析也有相当的解释力,.我们用C和L分别代表中央政府和地方政府,E和I分别代表基础设施投资和加工业投资水平,这样, EC为中央政府投资于基础设施的资金,EL为地方政府投资于基础设施的资金,IC为

25、中央政府投资于加工业的资金,IL为地方投资于加工业的资金.假定中央政府和地方政府投资的收益函数分别取如下柯布-道格拉斯形式:中央政府:地方政府: 这里,0a,b,g1;a+b1;g+b1.因为基础设施投资有外部效应,中央政府考虑这种效应而地方政府不考虑,因此我们假定ag.这是本模型的一个重要假设.在这个博弈里,中央政府和地方政府的战略是选择各自的投资分配,假定对方的投资分配给定.我们用BC和 BL分别代表中央政府和地方政府可用于投资的总预算资金.假定中央政府和地方政府的目标都是在满足预算约束的前提下最大化各自的收益函数.那么,中央政府的问题是 : 假定预算约束条件的等式成立(即全部可投资资金用

26、于投资).解上述最优化问题的一阶条件,我们得到中央政府和地方政府的反应函数分别为: 中央政府: 地方政府 这里,我们使用预算约束条件消掉了 IC和IL.上述反应函数意味着,地方政府在基础设施上投资每增加一个单位,中央政府的最优投资就减少一个单位;地方政府的反应函数可以类似的解释.重要的是,中央政府理想的基础设施的最优投资总规模大于地方政府理想的基础设施的最优投资规模:上述不等式意味着,在均衡点,至少有一方的最优解释角点解. 在图1.4中,我们划出两条反应曲线,其中 CC代表中央政府的反应曲线,LL代表政府的反应曲线;OC=OC=,OL=OL=.首先假定,即中央政府可用于投资的总预算大于中央政府

27、理想的基础设施的最优投资规模.使用重复剔除严格劣战略的方法,我们得到 C是唯一的纳什均衡点.比如点,给定地方政府不会选择,对中央政府来说,0,a)严格劣于a,C.其次,给定地方政府来说,(b,L)严格劣于0,b,因此,第二轮剔除得到(0,b,a,C).如此不断重复剔除,(0,OL)是唯一剩下的战略组合.命题1: 如果,纳什均衡是:,即地方政府将全部资金投资于加工业,中央政府满足所有基础设施投资的需求,然后将剩余资金投资于加工业.现在考虑的情况,即中央政府的预算资金小于中央政府理想的基础设施最优投资规模但大于地方政府理想的基础设施最优投资规模.使用图1.4容易证明命题2;如果纳什均衡为:,即地方

28、政府将全部资金投资于加工业,中央政府将全部资金投资于基础设施.再考虑的情况,即中央政府的总预算资金甚至小于地方政府理想的基础设施最优投资规模.在图1.4中,比如说,假定 BC=a,那么,给定地方政府知道中央政府于基础设施的资金不会大于a,地方政府的最优选择是;给定地方政府选择 EL=b.中央政府有无兴趣选择ECa呢? 没有!因此,我们有:命题3: 如果,纳什均衡为:就是说,中央政府将全部资金投资于基础设施建设,地方政府弥补中央投资的不足直到地方政府的理想状态,然后将剩余资金投资于加工业.而且,地方政府投资于基础设施的资金随中央政府预算资金的减少而增加,比如说,给定地方政府预算资金BL,中央,中

29、央政府的预算资金每减少1元,地方政府投资于基础设施的资金就增加元,给定中央政府和地方政府的总预算就增加1元,地方政府投资于基础设施的预算就增加1元综合上述三种情况,我们看到,在第一种情况下,投资资金的分配格局满足了中央政府的偏好:在第二种情况下,投资资金的分配格局介于中央政府的偏好和地方政府的偏好之间: 在第三者情况下,投资资金的分配格局满足了地方政府的偏好:上述模型尽管非常简单,但大致上可以解释改革开放以来中国基础设施投资格局的变化过程.在改革的早期阶段,中央政府可用于投资的预算资金相对较多,大概处于上述第一、第二种情况，地方政府当然没有兴趣投资于基础设施建设，尽管从中央得角度看，基础设施的

30、投资是不足的。随着中央预算资金的减少，我们进入第三种情况，即使中央投资预算全部用于基础设施建设，也难以满足地方政府的偏好，地方政府就不得不自己动手搞基础建设。进入90年代后，中央政府几乎拿不出什么钱投资于地方政府所关心的基础设施建设，地方政府投资于基础设施建设资金就大幅增加。应该指出的是，上述模型并不能为提高中央预算的比例提供理论依据，因为我们忽略了激励机制这个问题。由于激励机制原因，总预算资金(BC+BL) 并不独立于预算资金的分配格局。比如说，如果全部预算收归中央所有，地方政府就没有发展经济的积极性，总预算资金就会减少，其结果是，即使从中央角度看投资比例合理了，投资于基础设施建设的总资金可

31、能小于现在的水平。我们可以使用上述模型来说明这一点。假定a=0.4，g=0.5，b=0.5；再假定当BC:BL=1:2（即中央预算占总预算的三分之一）时，总预算资金BC+BL=3m(其中BC=M,BL=2m)，中央政府将全部预算投资于基础设置的总资金为E*=m+0.332m=1.332m.等于地方政府偏好的投资水平，但小于中央政府偏好的投资水平1.5m,现在假定当预算的分配提高到 BC:BL=1:1时（即中央预算占总预算的二分之一），总预算资金为BC+BL=2.4m(其中BC=1.2m,BL=1.2m；总预算资金下降了20%，因为地方政府的积极性下降了，但注意，中央预算下降了20%，因为地方政

32、府的积极性下降了，但注意中央政府的预算上升了)。此时，中央政府将全部预算投资于基础设施建设，地方政府将全部预算投资于加工业，投资于基础设施的总资金为。尽管这样的投资分配格局满足了中央政府的偏好（因为是“合理的”）但与前一种情况相比，基础设施投资的总资金由1.332m下降到1.2m，下降了10%，更不说对其他方面的影响了。还应该指出的是，在上述模型中，我们没有考虑基础设施的地方特性。在像中国这样打的国家，许多基础设施的地方性很强，其外部效应很难溢出到其他地区。对于这类基础设施，只要中央部投资，地方就会投资，并且，地方的最优水平也就是全国的最优水平。这可能是近几年来各地大力建设高速公路的重要原因。

33、对于那些地方性大于全国性的基础设施来说，出现“过度”投资的情况是可能的。社会福利博弈 流浪汉 寻找工作 流浪救济3,2 -1, 3不救济-1,1 0, 0 假定政府的混合战略为sG=(q,1-q)(即政府以q的概率选择救济,以(1-q)概率选择不救济),流浪汉的混合战略为sL=(g,1-g)(即流浪汉以g的概率选择救济,以(1-g)概率选择游荡).那么,政府的期望效用函数为:vG(sG, sL)=q3g+(-1)(1-g)+(1-q)-g+0(1-g) =q(4g-1)-(1-q)g=q(5g-1)-g对上述效用函数求微分,得到政府最优化的一阶条件为: g*=0.2就是说,在混合战略均衡下,流

34、浪汉以0.2的概率选择寻找工作,以0.8的概率选择游荡.可以作如下解释.首先假设最优混合战略是存在的,给定流浪汉选择混合战略(g,1-g),政府选择纯战略救济(即q=1)的期望效用为: vG(1,g)=3g+(-1)(1-g)=4g-1选择纯战略(即q=0)的期望效用为:vG(0,g)=-1g+0(1-g)=-g如果一个混合战略(q0,1)是政府的最优选择,那一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的,即vG(1,g)= 4g-1=-g= vG(0,g)上述等式意味着g*=0.2.就是说,如果g0.2,政府将选择救济;只有当g=0.2时,政府才会选择混合战略(q0,1)或者任何纯战略.为了找出

35、政府的均衡混合战略,我们需要求解流浪汉的最优化问题.给定sG=(q,1-q),sL=(g,1-g),流浪汉的期望效用函数为:vL(sG, sL)=g2q+1(1-q)+(1-g)3q+0(1-q)=g(q+1)+3(1-g)q=-g(2q-1)+3q=-g(2q-1)+3q最优化的一阶条件为:q*=0.5可以的q*=0.5作类似的解释.如果q0.5,流浪汉的最优选择是游荡;只有当q*=0.5时,流浪汉才会选择混合战略(g0,1)或任何战略.纳什均衡要求每个参与人的混合战略是给定对方的混合战略下的最优选择.因此,在社会福利博弈中, q*=0.5, g*=0.2是唯一的纳什均衡.就是说,在均衡情况

36、下,政府以0.5的概率选择救济,以0.5概率选择不救济;流浪汉以0.2的概率选择寻找工作,以0.8的概率选择游荡. 找出混合战略纳什均衡可以有两种方法,一种是支付最大化方法,另一种是支付等值法.监督博弈监督博弈是猜谜游戏博弈的变种,它概括了诸如税收检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员等这样一类情况。这里，我们以税收检查为例。这个博弈的参与人包括税收机关和纳税人。税收机关的纯战略选择是检查和不检查，纳税人的纯战略是逃税和不逃税。 纳税人检查a-C+F, -a-F a-C, -a不检查0,0a, aa是应纳税款，C是检查成本，F是罚款。假设Ca+F。用q代表税收机关检查的概率，g代表纳税人逃税的

37、概率。给定g税收机关选择检查(q=1)不检查（q=0）的期望收益分别为：解，得：。即：如果纳税人逃税的概率小于，税收机关的最优选择是不检查；如果纳税人逃税的概率大于，税收机关的最优选择是检查；如果纳税人逃税的概率等于，税收机关随机地检查或不检查。给定q，纳税人选择逃税和不逃税的期望收益分别为：解，得：。即：如果税收机关检查的概率小于，纳税人的最优选择是逃税；如果税收机关检查的概率大于，纳税人的最优选择是不逃税；如果税收机关检查的概率等于，纳税人随机地选择逃税或不逃税。因此，混合战略纳什均衡是：，即税收机关以的概率检查，纳税人以的概率选择逃税。这个均衡的另一个可能（或许更为合理）解释是，经济中有

38、许多个纳税人，其中有比例的纳税人选择逃税，有（1-）比例的纳税不逃税；税收机关随机地检查比例的纳税人的纳税情况。监督博弈的纳什均衡与应纳税款 a、对逃税的惩罚 F以及检查成本C有关。对逃税的惩罚越重，应纳税税款越多，纳税人逃税的概率就越小；检查成本越高，纳税人逃税的概率就越大。为什么应纳税款越多，纳税人逃税的概率反而越小呢？这是因为，应纳税款越多，税收机关检查的概率越高，逃税被抓住的可能性越大，因而纳税人反而不敢逃税了。这一点或许可以解释为什么逃税现象在小企业中比在大企业中更为普遍，在低收入阶层比在高收入阶层更普遍。当然，这个结论与我们关于逃税技术和检查成本的假设有关。我们假定一旦税收机关检查

39、，逃税就会被发现。如果不是这样，比如说，如果高收入者有更好的办法隐蔽收入与应纳税款有关，比如说，应纳税款越多，检查成本越高，那么上述结论也难以成立了。此外，应纳税款较多的人可能更有积极性贿赂税务官员，在这种情况下，上述结论也难以成立，将所有这些情况考虑进去，逃税概率与应纳税税款的关系可能是非单调的，比如说，最遵纪守法的是中上等收入阶层。但有一点可以肯定的是，通过提高对逃税者的惩罚，纳税人逃税的积极性就会下降，税收机关检查的必要性也将降低。子博弈精炼纳什均衡应用举例斯坦克尔伯格寡头竞争模型 如同在古诺模型中一样,在斯坦克尔伯格模型中,企业的行动也是选择产量.不同的是,在斯坦克尔伯格模型中,企业1(称为领头企业)首先选择产量q10,企业2 (称为尾随企业,follower)观测到q1,然后选择自己的产量q20.因此,这是一个完美信息动态博弈.因为企业2在选择q2前观测到q1,它可以根据q1来选择q2,因企业1首先行动,它不可能根据q2来选择q1,因为