第十八章计数原理.docx

《第十八章计数原理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十八章计数原理.docx（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第十八章 计数原理 学大深圳分公司 特级教师祝有韬 编写制版一、知识梳理【要点一：基本计算原理】分类计数原理 完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法分步计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法.问题：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。不同点：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可

2、以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成 分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系 【要点二：排列组合】定义1：一般地,从个不同元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出个元素的一个排列.两个排列相同的条件：（1）元素完全相同 （2）元素的排列顺序也相同定义2：从 个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数.

3、 记作：思考：相当于从 个不同元素中取出2个元素的排列数.第1位 第2位根据分步计数原理，可得讨论：,；第1位 第2位 第3位 第m位排列数公式： 定义3（组合）: 一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别 如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何，都是相同的组合定义4（组合数）：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数记作：注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来 组合数公式推导（从4

4、个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数是多少呢？） 组 合 排列 排列是先组合再排列 组合数公式的推导：一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数第2步，求每一个组合中个元素的全排列数 根据分步乘法计数原理，得到： 因此： 这里，且，这个公式叫做组合数公式 ，规定: 组合数的性质：1.；2. 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n - m个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元

5、素的组合数. 解排列、组合的应用题时一定要仔细审题，分清到底是排列问题，还是组合问题，或者是排列组合的综合应用问题，然后结合加乘原理选用相应的排列组合的计算公式正确求解.1.求解排列与组合的综合应用题的三条途径 (1)以元素为分析对象 ，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素，即优元法.(2)以位置为分析对象 ，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，即优位法.这两种方法都是直接法.(3)先不考虑附加条件，计算出所有排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数，即间接法.2.解排列、组合题的“十六字方针，十二个技巧”(1)“十六字方针”是解排列、组合题的基本规律，即 分类相加、分步相乘、有序

6、排列、无序组合(2)“十二个技巧”是解排列、组合题的捷径,即:相邻问题捆绑法； 不相邻问题插空法；多排问题单排法； 定序问题倍缩法；定位问题优先法； 有序分配问题分步法；多元问题分类法； 交叉问题集合法；至少(或至多)问题间接法；选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法.3.解答组合应用题的总体思路(1)整体分类 .从集合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任何两类的交集等于空集，以保证分类的不重复,计算结果是使用分类计数原理.(2)局部分步.整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续,以保证分步的不遗漏.同时步骤要独立，以保证分步的不重复

7、. 计算结果时用分步计数原理.(3)辩证地看待“元素”与“位置”.排列、组合问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，要视具体情况而定，有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好. 【要点三：二项式定理】（1）二项式定理： ，其通项是变形公式：，特别地：，其中是二项式系数. 而系数是字母前的常数.（2）二项展开式系数的性质：对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等， 增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即为偶数时： 如果二项式的幂指数

8、是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即为奇数时：所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于，即 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 .（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式.二、课堂精讲例题【题型一：分类加法、分步乘法】 例1：（1）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有 325种不同的走法。（2）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地. 一天中，火车有3班，汽

9、车有2班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题与前一个问题有什么区别？ 在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地 解：因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有326种不同的走法。 例2（1）在图的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？ （2）在图的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？解（1）2+3=5种；（2）23=6种例3、某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会. （1)若学校

10、分配给该班1名代表，有多少种不同的选法？ （2）若学校分配给该班2名代表，且男女生代表各1名，有多少种不同的选法？例4、为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？（2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数字中的一个。这样的密码共有多少个？例5、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项

11、目的冠军，共有多少种可能的结果？例6、某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？例7、有n个元素的集合的子集共有多少个？例8、要从甲、乙、丙三名工人中选出两名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 例9、某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各一人，有多少种不同的选法？ （20种）例10、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？解： 3+3 （ 3面同色；1单色2同色；3单色）共+=39(种) 例11、（1）8张卡片上分别写着0，1，2，

12、7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？（2）4张卡片的正、反面分别写有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中的3张卡片排放在一起，共有多少个不同的三位数？解（2）. 不含有0的那张；含有0那张（分用0或不用0）例12、书架上原来并排放着5本不同的书，现要插入三本不同的书，那么不同的插法有多少种？解：（单插；插一单和一双，插三合一）例13甲、乙、丙、丁与小强一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁只赛了1盘，则小强已经赛了（）A4盘B3盘C2盘 D1盘解：甲乙丙丁小强甲乙丙丁小强【题型二：带有重复因数的问题】例1 用0

13、，1，2，9可以组成多少个8位号码；用0，1，2，9可以组成多少个8位整数；用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；用0，1，2，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；用0，1，2，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；用0，1，2，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数解析：；（安首位，百位十位，个位）重复数字可为含00，11， 22，99等10类，其中00类的首位不能为0，有；例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？例3、自然数2520有多少个正约数.解析：等4个数都是其因子，对其它因子的个数作同理分析)【题

14、型三：排列数、组合数公式及组合数性质】例1 计算：（1） ； 解：（1）= 例2 证明例3 在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种?例4 下列问题中哪些是排列问题？（1）从10名学生中选取3名学生开会，共有多少种？（2）从10名学生中选取3名学生分别担当班长、副班长、学习委员，共有多少种不同的选择？（3）以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？（4）以圆上的10个点为起点，且过其中另一个点的射线共可作多少条？ （5）某年

15、全国足球甲级联赛共有14支队伍参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共需进行多少场比赛？是排列的有：（2），（4），（5）例5 求出例4中是排列问题的排列数（2）解：这个问题可以看作是求从10个不同的元素中任取3个元素的排列数答：共有720种不同的选择（4）解：这个问题可以看作是求从10个不同的元素中任取2个元素的排列数. 答：共可作90条射线（5）例6、（1）某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如图所示，要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？（2）求出由4横5纵的街道（如图）组成的城市中由A到B的所有路径中最短路径的条数. 解：每条最

16、短路径必须是由ai (i=1，2，m-1) 类的短横街和bj (j=1，2，n-1) 类 等就是一条最短路径这类最短路径共有或条.（2）略【题型四：1列举法、2直接法、3间接法、4捆绑法、5插空法、6特殊位置优先法、7转化法（插板法）、8剩余法、9对等法】（1.列举法） 例1. 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?特殊位置的“优先安排法”准确分类与准确分步法总体淘汰法答:可以组成648个没有重复数字的三位数.例2. 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的(1)五位奇数? (2)大于30000的五位偶数? （安个位为0或2，首位，其余位；安个位为4或6或8，首位，

17、其余位）（2）方法2： 或 ， 共6720+4032=10752（个） （2.直接法） 例3. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下结果(1)4只鞋子没有成双；(2) 4只鞋子恰好成双；(3) 4只鞋子有2只成双，另2只不成双 解：（1）；（2）；（3）例4. f是集合M=a，b，c，d到N0，1，2的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，则不同的映射有多少个？ 解：根据a，b，c，d对应的象为2的个数分类，可分为三类：第一类，没有一个元素的象为2，其和又为4，则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只有1个第二类，有一个元素的象为2，

18、其和又为4，则其余3个元素的象为0，1，1，这样的映射有个第三类，有两个元素的象为2，其和又为4，则其余2个元素的象必为0，这样的映射有个根据加法原理共有 1+=19个（3.间接法） 例5. 房间里有5只电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯用以照明，有多少种不同的方法？例6. 某班里有43位同学,从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?解 43人中任抽5人的方法有种，正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种，所以正副班长，团支部书记至少有1人在内的抽法有种.（4.捆绑法）例7. 5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法? 解: 因为女生要排在一

19、起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有种排法，其中女生内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法.（5.插空法）例8. 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张. 8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？解 先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有种选法. 根据乘法原理，共有的不同坐法为种.例9. 马路上有编号为1，2，3，10的十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？

20、解：从一排共7盏亮灯之间的6个空隙中任选3个空插入不亮的灯：（6.特殊位置优先法）例10. 由12个人组成的课外文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞又会唱歌，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同选法？解：分唱跳皆会的2人中有0、1、2人参加跳舞有3类：（7.转化法-插板法）例11. 在高二年级中的8个班，组织一个12个人的年级学生分会，每班要求至少1人，名额分配方案有多少种?解：此题可以转化为：将12个相同的白球分成8份，有多少种不同的分法问题，因此须把这12个白球排成一排，在11个空档中放上7个相同的黑球，每个空档最多放一个，即可将白球分成8

21、份，显然有种不同的放法，所以名额分配方案有种.（8.剩余法）例12. 袋中有不同的5角硬币23个，不同的1元硬币10个，如果从袋中取出20元钱，有多少种取法?分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来. 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话，就会很容易解决问题.解 把所有的硬币全部取出来，将得到0.523+110 =21.5元，所以比20元多1.5元，所以剩下1.5元即剩下3个5角或1个5角与1个1元，所以共有种取法.（9.对等法）例13. 期中安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序?解 不加任何限制条件，整个排法有

22、种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有种.例14. 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间间隔两人. 解析：(1)(方法一)要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列，有种站法，根据分步计数原理，共有站法=480种.(方法二)由于不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法，然后中间4人有种站法，根据分步计数原理，共有站法=480种.(2)（方法一）先把甲、乙作为一个

23、“整体”，看作一个人，有种站法，再把甲、乙进行全排列，有种站法，根据分步计数原理，共有=240种站法.(方法二)先把甲、乙以外的4个人作全排列，有种站法，再在5个空当中选出一个供甲、乙放入，有种站法，最后让甲、乙全排列,有种站法，共有站法=240种.(3)（方法一）因为甲、乙不相邻，中间有隔挡，可用“插空法”.第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空当(含两端)中，有种，故共有站法=480种.(方法二)也可用“间接法”，6个人全排列有种站法，由(2)知甲、乙相邻有=240种站法，所以不相邻的站法有=480种.(4)(方法一)先将甲、乙以外的4个人作全排列，有

24、种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3种，故共有3=144种站法.(方法二）先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有种,然后把甲、乙及中间2人看作一个“大元素”与余下2人作全排列有种方法，最后对甲、乙进行排列，有种方法，故共有=144种站法. 例15. 有6本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中1人一本，1人两本，1人三本；（3）平均分成三组，每组2本；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本. 解：(1)分三步：先选一本有种选法；再从余下的5本中选两本有种选法；最后余下的三本全选有种选法. 由分步计数

25、原理知，分配方式共有=60种.(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）的基础上，还应考虑再分配问题，分配方式共有=360种.(3)先分三步，则应是种方法，但是这里面出现了重复，不妨设六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则该种方法中还有 (AB，EF，CD），(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共种情况，而且这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有=15种.(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方式=90种.例16.

26、已知平面平面，在内有4个不共线的点，在内有6个不共线的点. (1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥? (3)上述三棱锥中体积不同的最多可以有多少个? (1)作出的平面有三类：内1点，内2点确定的平面有个；内2点，内1点确定的平面有个；，平面本身.所以所作平面最多有+2=98个.(2)所作三棱锥最多有+=194个.(3)体积不同的三棱锥最多有+=114个.【题型五：二项式系数问题（赋值法）】例1（1）等于（ D ）A . B. C. D.解：（2）若n为奇数，则被9除得的余数是 （ ） A、0 B、2 C、7 D、 8，原式被9除

27、得的余数是7例2.（1）如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.（2）求的展开式的常数项。（3）在的展开式中，求的系数（即含的项的系数）【思维点拨】 求展开式中某特定项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r. 例3.（1）在的展开式中，求 的系数. （2）求的展开式中的常数项。 （3）求的展开式中的系数. 例4. 若=，求（1）的值.（2）的值.【思维点拨】 用赋值法时要注意展开式的形式.思考题：设则 解：【题型六：整除、余数问题】例1. 填空题：(1)1.9975精确到0.001的近似值为_31.985_；(2)在的展开式中，的系数是；(3)的余数为_4_；(4)和S的值为_1029_=5120_【解题回顾】用二项式定理讨论一个式子被m除的余数时，一般把其主要式子写成的形式，即首项外其余各项均能被m整除.而对于不满足的组合数运算时，要注意转化利用kn.例2. (1)今天是星期一，问今天往后的第1090天是星期几?解：二项式展开式的末项为，其二项式展开式的末项为1，1090天后是星期二；【解题回顾】数学解题活动的本质就是化归，将不熟悉的问题向熟悉的问题转化应当是数学解题活动的基本思想方法.例3. 除以的余数是( B)解:原式=