基于薄板公式的层状磁电弹性薄板弯曲变形的精确解法.docx

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1、综合部分B底稿稿件编号：JCOMB-D-10-00146标题：基于薄板公式的层状磁电弹性薄板弯曲变形的精确解法文章类型：长篇文章摘要本文介绍了一种相当紧凑型微分方程，这种方程可以描述磁电弹性矩形薄板的弯曲性能。尤其是对层状BaTiO3-CoFe2O复合结构在受到某种类型的表面荷载作用下所产生的变形响应，这种微分方程能够分析出它的精确解。根据基尔霍夫薄板理论，在荷载作用下假设忽略横向剪切变形和旋转惯性，所以控制方程可由横向位移唯一表示。因此，对于磁电弹性矩形薄板的弹性位移、电势、磁感应强度等结构特性能够从理论上进行推导。对于一个层状磁电弹性复合结构，其材料常数可以由压电成分BaTiO3的体积分数

2、（频率）唯一确定，并以25%的体积分数作为组距统计成表。根据磁电弹性薄板的具体边界条件，闭合环状电路上的变形变化率可以通过目前的研究分析得出。尽管文中通过改进后的模型所推出的结果与其它相关的研究结果非常一致，但本文对于求解层状磁电弹性介质的交互耦合问题给出了一种更为简便的方法。关键词：A.层状结构；B.机械性质；C.分析模型1.引言众所周知，由压电材料所组成的结构在附加应力作用下会产生电压，同样，材料上电压的改变也会使结构上产生应力。系统的磁极与机械应变之间的交互耦合使压电、压磁材料本身带有这种特点，例如在压磁介质中利用物理应力可以产生一种自发磁矩，同样，改变磁场强度也可以获得相应的物理变形。

3、由层状压电和压磁成分构成的组合结构，可以作为一种磁电弹性材料，这种材料可以将磁能、电能或弹性势能转换为其它的形式的能量。磁电弹性材料还有一种特殊的磁电效应，这种效应不单只存在于单相压电或压磁材料中。令人吃惊的是，在某些情况下，磁电弹性复合材料的磁电效应甚至可以获得不止两倍于带有高磁电系数单相磁电材料的磁电效应。由于这些磁电弹性材料所带有的这些特性，目前已逐渐广泛应用于一些高效的智能结构中，例如磁场探针，电子包装，原声产品，水下测声仪，医学超声成像等。过去几年中，磁电弹性材料的系统研究得到许多专业工程师和科学家的大力推进，这些研究包括新型材料的材料系数，在某种附加条件下分析材料的静态和动态性能。

4、李2研究出用一个无限矩阵中各列表示的平均磁电弹性强度，并估计了压电压磁复合结构在压电纤维强于压磁或是压电压磁双层共同作用下的有效磁电弹性模量。这项研究表明，由磁电系数所表示出的磁电耦合随BaTiO3体积分数的变化而变化，并在压电纤维和层状组合下分别产生不同的标记。Pan3得出了在三维，各向异性，线性磁电弹性，简支等多种条件下的矩形薄板受到静荷载时的精确解法。可以证明，即使对于相当薄的薄板，其内部荷载所产生的响应也不同于外荷载所产生的响应。陈等人4建立了一种微型机械模型，用来评估层状磁电弹性复合结构的有效特性，以及磁电弹性复合结构在磁、电、弹性三者之间的线性耦合。通过研究，可以得出带有2-2连接

5、的BaTiO3-CoFe2O4复合结构的数值结果，通过数值分析描述出磁电弹性系数的依据，相关产品的性能，以及BaTiO3所占的体积分数。王和沈5根据前人的研究，通过五种最新引进的功能函数，得出在横向各向同性磁电弹性介质的三维问题。陈和Lee6通过引入两种位移函数和应力函数简化磁电弹性薄板在横向各向同性情况下的线性理论的控制方程。在这项研究中，选用某种物理量作为基本未知量，从而建立两种新的空间方程。王等人7推出一种状态矢量公式应用于三维、各向异性、线性磁电弹性多样层状结构，并利用包括位移，电势，磁势，应力等各种要素表达基本未知量。丁和蒋8使用严格微分算子理论推出磁电弹性介质平面问题的边界积分方程

6、。他们通过四种调和函数获得无限磁电弹性平面的基本解法，这种解法相当于用简化的二阶偏微分方程求不同的特征值。关和何9利用阿尔曼西定理推导出各向同性磁电弹性介质平面问题的基本方程，并通过四种调和函数在相同或不同特征值条件下表达出各个物理量。在本文中，关于在磁电弹性矩形薄板顶部表面施加某种外荷载时所产生变形的问题，我们可以采用一种更为简便分析方法。引入基尔霍夫薄板假设，可以得出一个只有横向位移作为基本未知量的控制方程，从而推得一种相关联的形式用来表达薄板弹性、电、磁之间的综合效应。磁电弹性薄板接近于一种双层压电压磁薄板，因而被认为是一种横向各向同性的磁电弹性介质，对于这种连续体的材料系数可以由层状结

7、构的压电体积分数唯一表示。磁电弹性薄板在弹性位移、电势及磁感应强度影响下相应的变形分析可以通过文中所提的公式进行估计。结合已有的研究成果，我们可以对磁电弹性模型进行简化。2.公式对于由双层压电压磁层组成的磁电弹性薄板，我们可以通过基尔霍夫基本假设求解简单弯曲问题的微小缺陷，这种情况可以忽略材料的横向剪切变形、转动惯量以及横向剪切应变。根据假设，在非常小的介质中，可以忽略平面上的电场和磁场10，也就是说，只需要考虑横向电场E3，和磁场H3，弯曲问题的控制方程可以表示为（1）这里 表示薄板刚度， 表示由电力产生的有效刚度， 为磁力产生的有效刚度， 表示施加于材料顶部的外荷载。这里，h为薄板厚度，

8、为扩大范围参数，用于简化原方程； 为弹性常数， 为电介质常数， 为压电常数， 为压磁常数， 为磁电常数， 为磁力常数。需要注意的是，对于横向各向同性材料，可将关系式 代入上述等式。关于这方面的研究，可以参看刘和常，JAM，2010，简化扩展牵引力矢量可以表示为，（2）（3）（4）根据上述方程可以推出电势和磁势，（5）（6）这里 分别表示薄板受弯时，沿板厚度方向的电场和磁场的变化程度，两者都是z的独立变量。为了得出方程（1）的解，我们可以假设磁电弹性薄板的横向变形为（7）这里 为方程（1）的齐次解，可以由已知的边界条件求得。常见的边界条件，以及相应的模型形式和特征值参见表1所示。需要注意的是，模

9、型形式 不仅要满足相应的边界条件，也要满足其内部正交性。 （8）（9）这里 表示沿x和y方向的薄板长度。确定 后，我们可以将材料顶部表面的外荷载进行扩大延伸，形成广义双重傅里叶级数（10）这里傅里叶系数 可以表示为（11）将等式（7）和（10）代入等式（1）中，提取常数项，可以得出（12）这里 为特殊边界条件的相应特征值。进一步得出横向变形的大小为（13）这样，我们可以得出在外荷载作用下横向变形的精确解为（14）对于沿x和y方向的机械位移可以表示为（15）（16） 至于所指定的薄板顶部和底部表面的电场边界条件和磁场边界条件，通常需要考虑两种情况。情况1：环状闭合对方程（5）和（6）进行积分，可

10、以得到关于电势和磁势的表达如下，（17）（18）由于 ，我们可以得出（19）（20）解上述两个方程，可以得出这样，在外荷载下电势的精确解可以表示为（21）利用相同方法，我们可以得出磁势在外荷载下的精确解（22）情况2：环状开路将方程（5）-（6）和方程（15）-（16）代入方程（3）和（4）中，得出沿板厚方向的电位移和磁感应强度（23）（24）这样，根据环状开路条件，得出（25）（26）（27）（28）通过观察方程（25）到（28），不难看出这四个方程都不能表达 ，以及 。这是因为沿薄板厚度方向的电位移和磁位移在改进方法计算中被约掉了， 例如 ，可见这两个量在z的变化下呈线性变化。也就是说，开

11、路边界条件会导致带位移分量的解趋近于零，从而使方程（23）和（24）无法得出的 。因此需要两个以上的边界条件来解出表达式 。根据上述原因，我们不必特别关注环状开路时的情况，只需将环状闭合边界条件进行数值分析，这将在下个部分进行讨论。需要注意的是，如果薄板厚度非常小 ，那么薄板平面上的电场和磁场可以忽略不计，只需要考虑与电势 和磁势 有关的横向电场 和磁场 ，用麦斯威尔方程表示为（29）（30）这里 可以由环状闭合的薄板表面条件得出。将方程（5）-（7）代入方程（2）中，得出应力分布为（31）（32）（33）上述方程给出了磁电弹性薄板在表面应用负载下的物理量的分析解法，并通过横向位移和势能参数

12、求解。3.数值证明在这个部分中给出了一些基于改进模型的例子，例如在附加荷载下磁电弹性矩形薄板，以及进行通电闭合环路限制。在开头几个例子中，作者通过研究所证明的具体例子来证实目前的研究，并举出它们的不同。模型形状的不同.由于磁电弹性薄板自由振动下的模型形状对研究自然状态及延伸状态下的磁电机械耦合有重要的意义，因此我们首先证明方形压电薄板的基本模型形状，薄板模型是用PZT4材料通过现有的模型加工而成。为了将这些结果与Heyliger和Saravanos12进行比较，假设薄板的尺寸为 ，边界条件为闭合环状上下表面四周简支，即 。厚度通常取 ，位移和电势沿厚度方向取最大值，即图1表示PZT4方形薄板在

13、电势沿横向及水平方向时的分布，根据图中数据，我们发现所得出的结果与Heyliger和Saravanos (1995)一篇文章所得的结论几乎非常接近，参见图2。.例1.第二个例子是由一个压电材料BaTiO3单独构成的单层电弹性矩形薄板。长厚比和宽厚比分别取 ，以便符合陈（2003）发表的论文中对尺寸的设定，当然这种假设并不能完全保证所需满足的薄板要求。假设薄板表面除顶部外其余面上的牵引力为零，这时面上负载满足正弦曲线 ，振幅为 模型编号 。特别指出，薄板的变形响应是在固定水平坐标 上计算的。图2（a）-（f）表示四周均为简支的薄板在正弦荷载作用于顶部表面下，各种参数沿厚度方向的变化，例如弹性位移

14、 ，电势 ，磁势 ，电位移 ，磁位移 。从这些数据可以发现，剪切变形由横向变形决定呈线性变化，电势则沿Z轴方向变量的平方成正比。这两种现象从Pan（2001）和陈（2003）所著论文中看出，分别参见图1和图2。需要注意的是，在这个例子中，由于 ，得出电势和磁势为零，因而本文中采用电路环状闭合限制代替环状开路。例2.在这个例子中，磁电弹性薄板是由两层相同位置的压电压磁层组成的。压电层位于薄板底部 ，而压磁层位于薄板顶部 ，相应的材料常数可以查表2出，表中两种介质的体积分数均为50%。薄板的尺寸取 ，相关的物理量进行统一处理，仍然保留原尺寸 。在外荷载作用下，磁电弹性薄板的变形变化率为 图3所示，

15、施加于顶部表面力大小取 ，位置为 。图5（a）-（h）表示四边为简支条件下，沿厚度方向各种参数的变化率，如位移分量 ，电势磁势 ，电位移 ，磁位移 ，常应力分量 。从这些数据中，我们不难发现磁电弹性薄板在机械应用负载下压电，压磁，磁电三种效应之间的相互影响。假设磁电弹性薄板足够薄，那么电势和磁势所产生的变形变化率与厚度变化率的平方成正比，而对于其他物理量，比如剪切变形，电位移，磁位移，应力分布等，则与板厚度呈线性变化。在后面论述中，双层压电压磁结构都被当作磁电弹性薄板，利用基尔霍夫假设和薄板理论进行讨论。经简化的控制方程（1）将通过各种表面负载进行检验，对不同边界条件下的变形性能也将进行检查。

16、由于改进模型的简化，更高的模型响应可以容易求得；因此磁电弹性薄板在不同模型编号下的变形变化率将作为一个参考。在没有特定说明时，设磁电弹性薄板的尺寸为 ，其实，任意一种尺寸只要长厚比满足薄板理论的要求，即 ，就是符合要求的。假设薄板表面除了顶部和底部外，其余部位牵引力为零，表面荷载沿Z方向。对于研究磁电弹性薄板，我们可以使用任意外荷载类型，但为了便于观察变形的变化率，本文主要研究三种类型的静荷载。（1）均布荷载，例如（2）分布荷载，例如（3）集中荷载，例如加于磁电弹性薄板的几何边界条件可以是自由，固定，简支三者中的任意一种组合；但本文中只将边界条件为简支和固定的薄板，以及悬臂薄板作为数值分析的例

17、子。需要注意的是磁电弹性薄板在静荷载下的变形响应是在固定水平坐标 下进行计算的，然而，由于不同边界条件下的薄板特性是不同的，因而水平坐标也是根据边界条件不同而变化。也就是说对于SSSS薄板的坐标取 ，对于CCCC薄板取 ，而CFFF薄板则取 图4（a）-（d）为简支边界条件下层状压电压磁薄板各种参数的变化率，薄板表面分布荷载 随压电介质体积分数变化而变化。通过对图形的观察发现，纯压电薄板的凹度与其它的薄板都不相同。虽然其变化率沿Z轴方向呈平方关系，但是对于非纯压电薄板所表现出来的电势和纯压电情况下完全相反。其大小位置分别设在25%，75%和50%；0%为纯压磁情况，表示在外荷载作用下不带压电效

18、应。对于磁势能，同样可以证明其变化率与板厚的平方成正比，每种情况的曲线凹度也近似一致。最大值为压电介质占25%时，其后为75%，50%，和0%，100%为纯压电情况，此时的压磁效应为零。如图4所示的磁电弹性薄板，可以看出它的电位移和磁位移，也称为通量，沿Z轴方向呈线性变化，而且相对于磁电弹性薄板的体积分数，其变化比较平稳。然而，如果我们近看其大小，可以发现它们其实非常细。这是由于这种材料模量本身的性质，以及加在模型上的闭合环路限制条件造成的。尽管如此，如果薄板中的电、磁边界条件发生变化，那么相应的电位移和磁位移也将发生改变。无论如何，在本研究中，只考虑环状闭合磁电弹性薄板，因此在后面的叙述和讨

19、论中，都认为电位移和磁位移对薄板的影响不大。由于磁电弹性薄板的变形变化率在边界条件为固定和承受均布荷载 这两种情况下的性质相同，如图4所示，因而作者不考虑这两种情况，而选择悬臂薄板和纤维磁电弹性薄板为例子。由于这两种情况的电位移和磁位移也都很小，近似于零。图5（a）-(b)为悬臂压电压磁薄板在受到单位冲击荷载作用于坐标 时，电势和磁势变形变化率。除了在凹部位外，悬臂磁电弹性薄板的变形特性与边界为简支的薄板相同。由于在不同边界条件以及不同外荷载作用下的磁电薄板性能是不同的，我们可以对凹部位的标记变化做合理的预期。对于压电压磁介质占50%的磁电弹性薄板，在周边简支下，受到不同荷载时的电势和磁势的变

20、形变化率参见图6（a）-（b）。对于周边固定情况下，磁电弹性薄板相应的变化率参见图7（a）-（b）。悬臂磁电弹性薄板的情况如图8（a）-（b）。从图中这些数据可以看出，集中荷载比分布荷载和均匀荷载更能产生较大的变形。为了观察各种模式指令的影响，图9（a）-（b）给出了在周边简支条件下，磁电弹性薄板在某种应用荷载下的电势和磁势模式的变形变化率；图10（a）-（b）为周边固定条件；图11（a）-（b）为悬臂薄板。需要注意的是，有些模型指令无法得出薄板的变形，因为它们有可能是形状对称或位置对称。4.总结我们可以通过一种新的矩形薄板控制方程获得双层压电压磁材料弯曲问题的闭合格式解法，特别是对磁电弹性薄

21、板的弹性位移、电势及磁感应强度都能通过分析得出。可以证明磁电弹性结构的材料系数会根据结构含有压磁介质的体积分数的不同而发生变化。在环状闭合电限下，对磁电弹性薄板的变形变化率在不同边界条件下进行评估，并对压电介质所占不同体积分数时所产生的效应进行详细调查。可以发现材料的剪切变形与横向变形呈线性变化，而电势和磁势沿厚度方向呈平方变化。此外，单向材料的变形性能在大小及产生的信号上都与多相材料完全不同。文中提供了磁电弹性矩形薄板在三种负载下的常见例子，并列出了不同边界条件下相应的电势和磁感应强度的变形变化率的不同之处。本文所研究的目的是为了改善双层磁电弹性矩形薄板变形特性的分析解法，使之趋于一种更简便系统的方式。