第五章 简单基本变形分析.doc

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1、第五章 简单基本变形分析本章介绍杆件的拉压变形以及圆截面杆件的扭转变形分析。包括杆件横截面上的应力分布、变形计算和强度条件的应用。5.1 拉伸与压缩变形工程中有许多构件都是直杆，所受外力的合力通过杆件的轴线，如图51(a)中的螺栓和(b)中的连杆。在这种情况下，杆件的主要变形为轴向伸长或轴向压缩，以轴向拉伸或压缩为主要变形的杆件称为拉(压)杆。如空间或平面桁架，各种支杆、各种拉杆。图51 杆件拉伸和压缩实例 图52 例51 内力分析拉(压)杆的内力计算可使用第四章提到的截面法。由于外力的合力通过杆件轴线，因此，杆横截面上的内力分量只有轴力，相应的内力图也称为轴力图。例51：如图52(a)所示，

2、多力杆承受轴向载荷、与作用，已知，试画出杆件的轴力图。解：由整个杆的平衡方程可得出杆的约束力由于在、处作用集中载荷，故将杆分为、和三段，逐段计算各段的轴力、和。则由图52(b)可知，根据以上分析结果，画出相应的轴力图，如图52(c)。可以看出， 横截面上的应力现研究拉(压)杆横截面上的内力分布规律，即各点处的应力。由于应力和变形密切相关，因此，首先要考察拉(压)杆的变形形式。大量的工程实践表明，拉(压)杆的变形服从平面假设，即杆件变形后横截面仍保持平面，且仍垂直于杆轴线；各横截面只是沿杆轴线作相对平移。根据该假设，拉(压)杆内各纵向线段的轴向变形都相同，所以均质杆横截面上只存在均匀分布的正应力

3、。若杆横截面的面积为，轴力为，则横截面上的应力为 (51)式(51)为等截面拉(压)杆横截面上的正应力公式。图53 圣维南原理对沿横截面非均匀分布的外载荷，法国科学家圣维南指出：应力分布可视为与载荷的作用方式无关，仅在载荷作用位置附近有较大影响，即圣维南原理。这一原理已被试验和理论所证实。图53所示受集中力作用的拉杆，在距作用点的、和处的真实应力分布。所以，只要外力合力的作用线沿杆件轴线，在离外力作用点稍远处，横截面上的应力均可看作是均匀分布的。 斜截面上的应力图54 斜截面上的应力图54(a)为横截面上应力均匀分布的等直杆，为任一斜截面，其外法线与轴的夹角为。对于横截面上应力均匀分布的等直杆

4、，在斜截面上应力也均匀分布，如图54(b)。用和分别表示横截面及斜截面的面积，则根据左段的平衡方程可得到斜截面上的应力 (52)应力的方向与杆轴平行。为了研究方便，将沿截面法向和切向分解，如图54(c)，得斜面上的正应力和切应力分别为 (53) (54)因此，横截面()上具有最大的正应力，其值，对应的剪应力为零；在截面上切应力具有最大值，。在材料拉伸和压缩试验中，塑性材料的拉伸破坏断面和脆性材料的压缩破坏断面都与横截面成约，由此可推断出，这些破坏是切应力引起的，材料的破坏形式剪断。 拉压杆上的变形在求得拉(压)杆横截面上的应力后，即可利用胡克定律计算其变形。图55 拉压杆的变形如图55，原长为

5、、宽度为的杆件，受力作用后，杆长变为，宽度变为。杆件的纵向变形与横向变形分别为和。根据胡克定律及式(51)，杆件内各点处正应变 (55)其中，为杆件横截面面积，为材料弹性模量，为杆件轴力。杆件纵向变形为 (56)对等截面杆，若轴力为常数，则积分式简化为 (57)式(57)表明，杆的纵向变形与轴力及杆件原长成正比，与成反比。又称为杆件抗拉刚度，反映了杆件抵抗拉(压)变形的能力。若轴力为分段函数或截面为分段函数，则公式变为 (58)为分段数。例52：如图56(a)，二力杆、通过铰链连接，在铰链处受铅垂载荷作用。已知：杆1用钢制成，；杆2用硬铝制成，。试求铰链的位移。图56 例52图解：以铰链为研究

6、对象，易求得杆1和杆2的轴力分别为，为负表示杆2受压。设杆1的伸长量为，杆2的压缩量为，则由式(57)，铰链的新位置，在分别以、为圆心，以和为半径的两段圆弧的交点上。由于杆件的变形非常微小，即处于小变形状态，这两段弧线必然很短，因而可用其切线代替从而简化计算。具体作法如图56(b)，以和分别表示杆1和杆2沿原方向的变形，这样，过和分别作杆1和杆2的垂线，它们的交点即为铰链的新位置。由此可得铰链的水平位移分量和垂直位移分量与通过圆弧的精确解相比，误差小于。可见，在小变形条件下，采用切线代圆弧的方法计算结构位移是足够精确的。试验表明，杆件的横向应变与纵向正应变成正比而符号相反。即杆件沿轴向拉伸(或

7、缩短)时，相应地产生横向压缩(或拉伸)。 (59)比例系数称为泊松比或横向收缩系数，也是材料参数。常用材料的、值如表51所示。表51 常用材料的弹性常数弹性常数钢与合金钢铝合金铜铸铁木材(顺纹)E(GPa)20022070721001208060812m0.240.300.260.340.330.350.230.275.2 拉(压)杆的强度条件及其应用强度条件表达了构件在使用中的实际应力与构件材料的力学性能之关系，对构件的设计具有重要的指导意义。 许用应力与强度条件由材料的拉伸试验可知，屈服应力和强度极限分别对应材料出现显著塑性变形和断裂破坏时的正应力值。显然，构件在使用中不允许断裂或产生显著

8、塑性变形，所以将强度极限和屈服应力统称为材料的极限应力，以表示。对于脆性材料，强度极限就是其极限应力；对于塑性材料，其极限应力为屈服应力。为了充分利用材料的强度，最好使构件中的实际应力尽量接近于材料的极限应力。但由于构件载荷的多样性与复杂性、应力计算的近似性以及实际材料可能存在的初始缺陷，都要求构件中的实际应力应小于材料的极限应力，从而使构件具有一定的强度储备。对由一定材料制成的具体构件，在使用中应力的最大允许值，称为材料的许用应力，以表示。极限应力除以安全系数即为许用应力 (510)式(510)中，安全系数是大于1的系数。显然，安全系数越大，构件的安全性越高，但同时也降低了经济性。各种材料在

9、不同工作条件下的安全系数，可从有关规范或设计手册中查到。塑性材料的安全系数通常取为；脆性材料的安全系数取为，甚至可能更大。由此可见，为保证拉(压)杆在工作时不发生强度问题，杆内的最大工作应力不得超过材料在拉伸(压缩)时的许用应力，即 (511)此即拉(压)杆的强度条件。 拉(压)杆强度条件的应用利用强度条件，可进行强度校核、确定杆件截面尺寸以及决定结构的承载能力。下面举例说明强度条件的具体应用。例53：压气机示意如图57(a)。压力；立柱直径，材料的许用应力。对立柱进行强度校核。图57 例53图 图58 例54图解：容易求出各立柱的轴力，因此，立柱横截面上的应力为强度条件满足。例54：如图58

10、，一中空圆截面杆，内外半径之比，受轴向载荷作用，材料的屈服应力，安全系数。试确定截面的内外径。解：轴力，杆中应力应满足强度条件由此求出杆之外径和内径例55：如图59，结构由二力杆和通过铰链连接而成。已知截面积，许用拉应力，许用压应力。试确定结构的许用外载荷。图509 例55图解：以铰链为研究对象，易求得杆和的轴力分别为，设分别依据杆杆和的强度条件所确定的许用外载荷为和，则依据强度条件(511)，有；所以，由此分别求出和由此，结构的许用外载荷5.3 扭转变形如图510，杆件在两端横截面内受到两个等值、反向的力偶作用时，其上的任意两个横截面都将绕杆件轴线作相对转动，而轴线仍保持直线，这种变形称为扭

11、转。横截面绕轴线的相对角位移称为扭转角。只要在垂直于杆件周县的平面内作用有力偶时，杆即产生扭转变形。凡是以扭转变形为主要变形的直杆通常称为轴。截面为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件，如汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆等，如图511。 内力分析圆轴的的内力分析同样使用截面法。如图512，在任一横截面处假想地将其切成两段，并任选一段作为研究对象，可以看出，为保持该段的平衡，横截面上的分布内力必构成一力偶；而且，该力偶矢量的方向必垂直于横截面。即轴的内力为扭矩。相应的内力图也称为扭矩图。图510 扭转变形标 图511 轴扭转实例图512 截面法求扭矩 图513 例56图

12、例56：如图513(a)所示传动轴，转速。主动轮轮的输入功率；从动轮、和的输出功率分别为、。试计算轴的扭矩，并绘制扭矩图。解：力偶的功率等于其力偶矩与相应角速度的乘积，即在工程实际中，功率的常用单位是(千瓦)，转速的常用单位为(转/分)，在这种情况下，上式即变为 (512)由此可计算出作用在、轮上的外力偶分别为如图513(b)，设、和段的扭矩分别为、和，有扭矩图如图513(c)所示。同样，在各轮位置，即集中轴向力偶作用处，扭矩图出现突变。 圆轴扭转时横截面应力现研究圆轴扭转时横截面上的应力分布规律，即确定横截面上各点处的应力。显然，此问题仅利用静力学条件是无法解决的，应从圆轴扭转变形的特点入手

13、，并利用应力和应变之间的关系以及静力学关系，即从几何、物理和静力学三方面进行综合分析。试验指出，圆轴扭转时，各圆周线的形状不变，仅绕轴线作相对转动；且当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变。因此，对轴内变形作出两点假设：1)变形后，横截面仍保持平面，其形状和大小均不改变，半径仍然为直线，此假设称为圆轴扭转的平面假设；2)变形后，相邻横截面之间的距离保持不变。图514 圆轴扭转时横截面上的应力分布综上所述，圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，并仅绕轴线作相对转动。由于没有轴向变形，横截面上也无正应力。现在轴上截取长为的一段进行分析，如图514(b)。设代表微段的相对扭转角，则最外层的剪应变为而

14、距圆心为处内层的剪应变为 (513)式中的表示相对扭转角沿杆长度的变化率。对于给定的横截面，为常量。由剪切胡克定律(44)可知，若圆轴扭转后处于弹性范围内，可得到横截面处的切应力为 (514)表明横截面上一点处的切应力与该点距圆心的距离成正比，方向与半径垂直，且与扭矩方向一致，如图514(b)所示。根据静力学关系，切应力在整个横截面上的简化结果就是截面上的扭矩，即定义截面的极惯性矩，它仅与横截面的尺寸有关。这样，立即得到圆轴扭转变形基本公式 (515)将式(515)带入式(514)，得到 (516)在横截面圆周上，剪应力达到最大值，其值为 (517)式中比值也仅与横截面的尺寸有关，称为截面抗扭

15、模量。对直径为的实心圆轴， (518)对内径为外径为的空心圆轴， (519)为内外径之比。式(515)(517)都得到了试验的证实，这说明以上分析中所采用的假设是正确的。同时还需强调，上述三公式只适用于圆形等截面轴。进一步理论分析表明，非圆截面杆扭转时横截面将发生翘曲，平面假设不再成立，上述公式也就不再适用。 圆轴扭转时的变形计算如前所述，轴的扭转变形，用横截面间绕轴线的相对角位移即扭转角表示。由式(515)可知，相距的两横截面间的扭转角为所以，相距的两横截面间的扭转角即为 (520)因此，对于长为、扭矩为常值的等截面圆轴来说，轴两端横截面之间的扭转角为 (521)扭转角的转向由矩的转向而定，

16、单位为(弧度)，乘积称谓圆截面轴的截面抗扭刚度，或简称为抗扭刚度。图515 例57图 图516扭转破坏试验例57：如图515(a)所示轴，抗扭刚度为，轴长为，受均布力偶作用。设轴单位长度上的外力偶矩为，试绘扭矩图，并计算横截面的转角。解：易由平衡方程求出轴固定端的约束力偶。如图515(b)，取位置为的截面，得截面的扭矩为扭矩是轴向位置的函数，扭矩图为一倾斜的直线，如图515(c)。根据式(520)，截面的转角5.4 圆轴的扭转强度条件和刚度条件在确定了圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律后，即可研究轴的强度条件。为此，首先介绍扭转破坏试验结果。 扭转破坏试验圆轴扭转试验是用圆截面试件在扭转试验机

17、上进行的。试验表明，低碳钢试件在受扭过程中，首先发生屈服，如果继续增大载荷，试件最后沿横截面被剪断，如图516(a)。这和前面得出的横截面上没有正应力只有切应力的结论是相符合的。而铸铁试件则沿着与轴线大约成的螺旋线被拉断，如图516(b)。而根据应力状态理论，圆轴扭转时最大正应力作用在截面上。上述情况表明，对于受扭转轴来说，破坏的标志仍然是屈服(塑性材料)或断裂(脆性材料)。对塑性材料，试件扭转屈服时横截面上的最大切应力，称为扭转屈服应力，用表示；而脆性材料在扭转断裂时横截面上的最大切应力，称为扭转强度极限，用表示。它们统称扭转极限应力，用表示。 圆轴的扭转强度条件材料的扭转极限应力确定后，将

18、其除以安全系数，即得材料的许用切应力，即 (522)圆轴扭转时横截面上的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即 (523)此即圆轴的扭转强度条件。从应力状态理论可知，材料纯剪切时的许用切应力与许用拉应力之间存在下述关系 (524a) (524b)式(524a)适用于塑性材料，式(524b)适用于脆性材料。例58：某传动轴，横截面上的最大纽矩，轴的许用切应力。试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较所需要的材料用量：(1)横截面为实心圆截面；(2)横截面为的空心圆截面。解：首先确定实心轴的直径。根据公式(523)和(523)，实心圆轴的扭转强度条件为由此得取。对于空心圆轴，其扭转强度条件为

19、带入相关数据选用，则内径。实心轴和空心轴材料用量之比等于两者的横截面之比可见，在强度相同的条件下，采用空心轴所需的材料用量远小于实心轴。一些大型轴或对减轻重量有特殊要求的轴，通常均制成空心的。 圆轴的刚度条件设计轴时，除应考虑强度问题外，对许多轴来说，还常常对其变形有一定限制，即应满足刚度要求。在工程实际中，通常是限制扭转角沿轴线的变化率，即单位长度轴的扭转角，使其不超过某一规定的允许值。由公式(515)可知所以，圆轴扭转的刚度条件为 (525)式(525)中，可根据有关设计标准或规范确定。工程上给出的的单位是(度/米)，应注意转化成(弧度/米)例59：在例56中，已知，各段长度，。截面相对于截面的转角，并校核轴的刚度，。解：例56已求出、和段的扭矩分别为、和，由于各段轴的扭矩不同，为了计算轴的总扭转角，需要分别确定每一段轴的扭转角。段的扭转角同法可求得和段的扭转角和段总扭转角等于各段扭转角的代数和，即由于该轴是等截面轴，而段的扭矩最大，所以只需校核段的刚度即可。段的扭转角的变化率为可见，该轴符合刚度要求。