高三理科数学一轮总复习第八章统计与概率—几何概型.doc

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1、高三理科数学一轮总复习 第八章 统计与概率几何概型1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2在几何概型中，事件A的概率计算公式P（A）求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性4古典概型与几何概型的区别（1）相同点：基本事件发生的可能性都是相等的；（2）不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是无限个

2、，是不可数的1在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为（）A B C D2如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（）A B C D3如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为（）A BC D4在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为_5小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，

3、则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_探究点一与长度有关的几何概型例1国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是_探究点二与角度有关的几何概型例2（2011承德模拟）如图所示，在等腰RtABC中

4、，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMb当ab时，a，b取值的情况有（1,0），（2,0），（2,1），（3,0），（3,1），（3,2），即A包含的基本事件数为6，方程f（x）0有两个不相等实根的概率为P（A）6分（2）a从区间0,2中任取一个数，b从区间0,3中任取一个数，则试验的全部结果构成区域（a，b）|0a2,0b3，这是一个矩形区域，其面积S2368分设“方程f（x）0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M（a，b）|0a2,0b3，ab，即图中阴影部分的梯形，其面积SM622410分由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）0没有实根的概率为P（

5、B）12分【突破思维障碍】1古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析2用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”【易错点剖析】1计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏2计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误1几何概型：若一个试验具有两个特征：每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；每次试验的各种结果是等可能的那么这样的试验称为几何概型2由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而

6、与该区域的位置与形状无关3几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域，事件A所对应的区域用A表示（A），则P（A）（满分：75分）一、选择题1 ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A B1 C D12在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是（）A B C D3如右图，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线ysin x（0x）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A B

7、C D4已知函数f（x）x2bxc，其中0b4,0c4记函数f（x）满足的事件为A，则事件A的概率为（）A B C D5在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2y21内的概率为（）A B C D二、填空题（每小题4分，共12分）6从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M落在阴影部分的概率为_7如图所示，半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为_8（2011济南模拟）在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则能输出数对（x，y）的概率是_三、解答题（共38分

8、）9已知等腰RtABC中，C90（1）在线段BC上任取一点M，求使CAM30的概率；（2）在CAB内任作射线AM，求使CAM0成立时的概率高三理科数学一轮总复习 第八章 统计与概率几何概型1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型2在几何概型中，事件A的概率计算公式P（A）求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点：（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性4古典概型与

9、几何概型的区别（1）相同点：基本事件发生的可能性都是相等的；（2）不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是无限个，是不可数的1在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为（）A B C D1AAM 236,81，AM6,9，P2如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于（）A B C D2C这是一道几何概型的概率问题，点Q取自ABE内部的概率为故选C3如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，得到一条

10、弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为（）A BC D3C当AOA时，AAOA，P4在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为_4解析由|x|1，得1x1由几何概型的概率求法知，所求的概率P5小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_5解析去看电影的概率P1，去打篮球的概率P2，不在家看书的概率为P探究点一与长度有关的几何概型例1国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包

11、含两间谍犯罪的信息后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？例1解题导引解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关解包含两个间谍谈话录音的部分在30 s和40 s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s之间时全部被擦掉，即在0到40 s之间，即0到 min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30

12、 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件记A按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，A的发生就是在0到 min时间段内按错键P（A）变式迁移1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是_变式迁移1解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF

13、，由几何概型的概率公式得P（A）探究点二与角度有关的几何概型例2（2011承德模拟）如图所示，在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率例2解题导引如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P（A）解在AB上取ACAC，连接CC，则ACC675设A在ACB内部作出一条射线CM，与线段AB交于点M，AMb当ab时，a，b取值的情况有（1,0），（2,0），（2,1），（3,0），（3,1），（3,2），即A包含的基本事件数为6，方程f（x）0有两个不相等实根的概率为P（A）6分（2）a从区间0,2中任取一个数，b从区间

14、0,3中任取一个数，则试验的全部结果构成区域（a，b）|0a2,0b3，这是一个矩形区域，其面积S2368分设“方程f（x）0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M（a，b）|0a2,0b3，ab，即图中阴影部分的梯形，其面积SM622410分由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）0没有实根的概率为P（B）12分1几何概型：若一个试验具有两个特征：每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；每次试验的各种结果是等可能的那么这样的试验称为几何概型2由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几

15、何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关3几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域，事件A所对应的区域用A表示（A），则P（A）一、选择题1 ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A B1 C D11B当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P（A）12在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是（）A B C D2C由于ABC、PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间，即构

16、成一个几何概型，所求的概率为3如右图，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线ysin x（0x）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）A B C D3AS矩形OABC2，S阴影sin xdx2，由几何概型概率公式得P4已知函数f（x）x2bxc，其中0b4,0c4记函数f（x）满足的事件为A，则事件A的概率为（）A B C D4A满足0b4,0c4的区域的面积为4416，由，得，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为（24）22410，故事件A的概率为5在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2

17、y21内的概率为（）A B C D5D区域为ABC内部（含边界），则概率为P二、填空题（每小题4分，共12分）6从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M落在阴影部分的概率为_6解析阴影部分的面积为S3x2dxx3|1，所以点M落在阴影区域的概率为7如图所示，半径为10 cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm的小圆现将半径为1 cm的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为_7解析由题意知，硬币的中心应落在距圆心29 cm的圆环上，圆环的面积为922277，故所求概率为8（2011济南模拟）在可行域内任取一点，规则如程序框图所示，则

18、能输出数对（x，y）的概率是_8解析根据题意易知输出数对（x，y）的概率即为满足x2y2的平面区域与不等式组所表示的平面区域面积的比，即P（A）三、解答题（共38分）9已知等腰RtABC中，C90（1）在线段BC上任取一点M，求使CAM30的概率；（2）在CAB内任作射线AM，求使CAM30的概率9解（1）设CMx，则0xa（不妨设BCa）若CAM30，则0xa，故CAM30的概率为P（A）（6分）（2）设CAM，则045若CAM30，则030，故CAM0成立时的概率11解（1）a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N5525（个）（2分）函数有零点的条件为a24b

19、0，即a24b因为事件“a24b”包含（0,0），（1,0），（2,0），（2,1），（3,0），（3,1），（3,2），（4,0），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共12个所以事件“a24b”的概率为P（7分）（2）a，b都是从区间0,4任取的一个数，f（1）1ab0，ab1，此为几何概型，所以事件“f（1）0”的概率为P（14分）高三理科数学一轮总复习 第八章 统计与概率几何概型1在区间0，2上随机取两个数，则的概率是（ ）A B C D2如图，设抛物线的顶点为A，与x 轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P， 则点P落在AOB内的概

20、率是（ ）A B C D3函数的图象与坐标轴围成的平面区域记为M，满足不等式组的平面区域记为N，已知向区域M内任意地投掷一个点，落入区域N的概率为，则的值为 4已知直线与曲线恰有两个不同的交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆上一动点，与点P关于直线对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机的从集合A，B中分别抽出一个元素，则的概率是_5已知、都是定义在R上的函数，则关于x的方程（）有两个不同实根的概率为 .6把一根长度为6的铁丝截成任意长度的3段，则能构成三角形的概率为 1在区间0，2上随机取两个数，则的概率是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：可设两个数为，则所有

21、的基本事件满足，所研究的事件满足，如图总的区域是一个边长为2的正方形，它的面积是4，满足的区域面积是，则的概率为，故答案为C2如图，设抛物线的顶点为A，与x 轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P， 则点P落在AOB内的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：解：设抛物线与轴正半轴及轴的正半轴所围成的区域的面积为 则设事件“随机往M内投一点P，则点P落在AOB内”则, 故选:C.3函数f（x）=x2+4（0x2）的图象与坐标轴围成的平面区域记为M，满足不等式组的平面区域记为N，已知向区域M内任意地投掷一个点，落入区域N的概率

22、为，则a的值为_【答案】1【解析】试题分析：区域M的面积为，而落入N的概率为，因此区域N的面积为，又直线过点（1，0），区域N的高为1，即点（，1）在直线，所以即，答案为1.4已知直线与曲线恰有两个不同的交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆上一动点，与点P关于直线yx1对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机的从集合A，B中分别抽出一个元素，则的概率是_【答案】【解析】试题分析：由，当x0时，显然k0，两边平方得，即由题意，该方程有两个不相等的正实数根即即结合k0解得k（0，1），即A（0，1）对于椭圆，由于原点关于yx1的对称点为（1，1）所以，椭圆关于yx1的对称椭圆为，

23、在改椭圆上，可知y114，40111于是1，1，即B1，1 【方法一】由，分别以为横坐标和纵坐标，可知点（）构成一个面积为2的矩形其中满足的是图中阴影部分，面积为所以，满足的概率是【方法二】当时，此事件发生的概率为，此时必有当时，此事件发生的概率为，此时与概率相等，各占，于是此时满足的概率为.以上两事件互斥，且1，0与（0，1的区间长度相等，故满足的概率为.5已知、都是定义在R上的函数，则关于x的方程（）有两个不同实根的概率为 .【答案】【解析】试题分析：，即，即，又，即，关于x的方程（）有两个不同实根，即，.6把一根长度为6的铁丝截成任意长度 的3段，则能构成三角形的概率为 OMPNAC36x36y【答案】【解析】设把铁丝分为任意长度的三段，其中一段 长为，第二段为，则第三段为，则，满足条件的区域为如图内部（不包括边界）所示如要构成三角形，则必须满足，即，满足条件为如图所示阴影部分的（不包括边界）则以构成三角形的概率为