史宁中校长谈中小学数学教师素养.doc

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1、中小学数学教师素养史宁中（东北师范大学校长） 于北京一、中小学数学教师素养（一）教师的基本素养我认为现在的中、小学教师应追求一个新的目标努力成为一名好的教师。我们国家在教育上有一个基本的转变：过去努力解决一个能上学的问题，现在要解决的是上好学的问题。我想，能上学的问题主要是政府的行为，那么能上好学的问题主要是校长和教师的责任。一个好的校长实在太重要了。怎样当一个好的教师呢？1、热爱教育事业。热爱教育事业应该主动去热爱，这是兴趣之所在，是人生价值之所在，不是被动的责任感式的热爱。而是要真心的热爱，只要有了这个劲头的话就可能当一个好的教师。光有热爱还不行，还需要有一个很重要的教育理念。2、树立明确

2、的教育理念。对于中、小学教师来说很重要的教育理念是：知识的掌握是一方面，教育理念的掌握是另一方面。这个教育理念必须是以人为本的教育理念。几乎所有的领域都在谈以人为本，而以人为本这个理念是从教育上先提出来的，这之前的理念是以知识为本的理念。以知识为本的理念在本质上只关心两件事情，就是我们应该教什么？应该让学生掌握到什么程度？在这个理念指导下，我们整个的教学就是三个中心，就是凯洛夫提到的，以课堂为中心；以课本为中心；以教师为中心。这三个中心对中国的教育影响是非常大的，到现在为止很多提法在很多地方还是这三中心，这个问题实质上是指教师是整个教学活动的中心、主人。以知识为本的教育我不是说它不好，它只适应

3、于大工业时代。大工业时代的特点是标准化，个个工区的标准化以及产品的标准化，因此它需要的人才也是标准化的人才，实施的教育也应是标准化的教育，所以他的教学模式以及考试形态基本是标准化的，这是传统的教育。但是近几十年来，因为知识经济的出现，信息产业的出现，使得我们不可能进行标准化的工作，因此在这个新的经济模式之下，在这个社会发展的驱动之下，我们必须改变我们的教育理念，这就是以人为本的教育理念。 我试着解释一下以人为本的教育：、关注学生的全面成长、培养合格的人。就是我们常说的素质教育。、对小学教师尤其重要的，就是学会站在受教育者的立场上思考问题。这也是我们东北师大提出的尊重教育。讲一个故事：我留学时间

4、比较长，儿子跟我是在日本读完幼儿园读完小学二年级后回来的，回来后到我们附小念书，在日本，一到四年级是一边玩一边学习的，所以到了附小后，上课要求手背后，不许交头接耳，不许东张西望，无论如何要给老师亮出一个听课的架势，反正你也不知道他听没听。我儿子不行，一会儿捅捅这个，一会儿捅捅那个。老师认为他表现不好，表现不好你就说他两句算了，回想那个时候接近20年前，老师就让我儿子到操场上去站着，一站就是两个多小时。我儿子在日本时非常愿意念书的，他对动物学和天文学都非常感兴趣。结果，两个月后我儿子说啥也不愿去学校了。我就跟老师论理，我说你怎么这么教书，完了她给我说了一句话，给我气傻啦，她说我是为你儿子好。我儿

5、子愿意念书，让你教了半天不愿意念书了你怎么是为我儿子好呢？当时我气得实在没招。后来我当了校长，我几乎每年都去给附小讲课，到现在已经讲了十多年了，就是要让老师改变教育理念。你说你是真的为我儿子好啊，还是假的为我儿子好啊，我说你是为你自己好，为了你教学维护秩序方便、为了你讲课方便，这完全是为了你自己好，怎么是为我儿子好呢？后来我为了把这件事情想得更透，我就找了几个理由：第一、要站在学生的立场上去思考问题，学生才是学习的主体。有一种说法“教育是社会发展的需要”。我想作为一个国家总理、作为政府来说是社会发展的需要，而作为一个教师来说，一定要认为教育是一个孩子生存的需要。我认为愿意接受教育是一个孩子的本

6、能。什么是本能呢？本能就是不经过思考的一种下意识的行为。小孩不断提问题，不是吃饱了没事干，它是通过提问题了解周边世界，它要更好的活下去。所以教育是本能在接受教育，学生天生是都愿意念书的，老师教书的第一条，就是教孩子愿意念书。培养孩子念书的兴趣。所以教育的真谛就是发扬孩子们的本能，使得他们的潜能得到真正的发展。第二、要根据教育规律办事。什么是教育规律办事呢？最近十几年有一个新的学问问世，就是表观遗传学，表观遗传学是说人基因是天生带来了。但是，你不在后天、不在适当的时机给它适当的刺激，这个基因不能得到充分的表达。这是什么意思呢？举个例子说，一个猴子，刚生下来，就把他的眼睛封住，一个多月后再打开，它

7、已看不见什么东西了。同样，一个小孩，8岁之前你不教他说话，8岁之后他已经说不好话了。一个孩子应该有一个智力开发期。例如立体感观的认识，一个图形分辨的认识，这些基本的能力是存在的，不实施后天的认识他不能得到充分的表达。我们的教育应该知道，在什么时候是他表达最充分、最合适的时间，而在哪个时间给他最充分的表达。我有两件事情证明一、二年级的小孩不懂数学，不懂数学就不要给他讲数学。试验一：在袋子里放5个球，4个白球1个红球，从袋子里摸出一个球来，可能是什么颜色的呢？我在一至六年级的孩子中做实验，非常明显，一、二年级的孩子答，我摸的是白球；三四年级的孩子答，我可能摸到白球，也可能摸到红球；五六年级的孩子答

8、，摸到白球的可能性比摸到红球的可能性大。这件事说明什么呢？说明小孩对可能性是怎么回事这个词不理解，它不是对数学不懂而是对阐述数学的那个概念不懂，如果概念不懂的话你给他讲什么，你一定要注意，用来阐述数学的概念的本身他是否懂了，特别是在小学阶段，小学阶段千万不能讲离开她生活背景的数学。他懂什么叫“祖国”吗？“祖国”这么抽象的概念他怎么能懂呢。他懂得他的爸爸、妈妈，他懂他的同学、他懂他周边的大自然，所以你说祖国山河多美好，他懂得什么是祖国山河多美好吗，不按这个方法去教书的话是教不好书的。我认为知识分三种：一种是教了也不会的知识；一种是不教都会的知识；一种是教了才会的知识。按教育规律办事就是要教那些教

9、了能会的知识。教了也不会的知识千万不要教。不教也能会的知识教他干什么。要顺其自然。要下功夫分辨哪些是教了能会的知识，我们要叫这些知识。试验二：我发现孩子的基本逻辑建立不起来，所以你不要讲许多逻辑推理的知识。我是这么做的试验：有9个格子，格子里放上9样东西，小刀、橡皮，-。让孩子们看上3、4秒钟，再拿去让他们复原。小学一年级到六年级的复原率都差不多，都在8690之间，但是复原的方式完全不一样。小学一、二、三年级的学生是看着这里有小刀、有橡皮，就拿着小刀放到格子里；而小学四、五、六年级的学生是按原来的顺序记下来的，格子里有小刀，就找出小刀放在原来小刀的位置上，基本概念不同。就此知道小学的基本逻辑不

10、清，逻辑最基本最基本的概念是“序”的问题，小学生“序”的关系不很清楚。所以在小学特别是在一、二年级不要讲太多的逻辑的东西。第三、要启发学生思考。有人问我什么样的课算是一节好课？我认为，一堂好课，除了传授知识之外，要满足两条：第一条，能培养孩子们的学习兴趣，因为学习的兴趣是学习的根本动力。而一个人在小学阶段对什么东西都不感兴趣的话，那么这个孩子的未来就不好办了。必须让他对一些事情感兴趣，他不学数学可以，但他应该有他感兴趣的东西，应该知道热爱一些事情，这样的话才可能以后有创造力。第二条，要培养孩子的良好的学习习惯。关于良好的学习习惯很多人有争议。什么叫良好的学习习惯，我认为：不是上课手背到后面；不

11、是上课不交头接耳；也不是课前预习；甚至不是上完课回家写作业，这些都不是。良好的学习习惯就是能跟老师一起思考，而思考的根本是在于他能集中精力。所以小学阶段培养孩子良好的学习习惯的核心是能够培养孩子们集中精力。集中精力实在太重要了。把问题想不深刻得很重要的原因是不能集中精力。孩子集中精力的时间大概是20分钟，你就得把握好这20分钟，在20分钟里把你要讲的东西经典的讲出来。你看到孩子要溜号时，你不可能把孩子的精力拉回来时，怎么办？你就通过一些活动、讲故事让孩子休息一下，在休息的过程中也能学到一点东西。我提出一个想法，这类事情是需要寻找一个规律性的东西的。因为我们不是因人施教，因人施教的话好办。我们是

12、对课堂上几十个同学同时施教，这样必须找到一个共性，我们是一个共性的教育吗。有一个集中精力很好的办法，就是要脱离背景去思考问题。我问一个小学生一个问题，圆周是多少？小学生说：2R。我说那半圆的周长是多少？小学生想想说，是不是圆的一周的一半再加上直径阿。我说是阿，你得告诉我公式是什么？他说那没有纸怎么写？我说那不行，你学数学的得有个能耐，不靠本，不靠书，就得在脑子里想，把你的脑袋当草纸，你想啊。那孩子想了一会儿，告诉了我，我特别高兴。其实我是在训练孩子思维，这是集中精力的一个很好的办法。就是脱离任何背景，全凭脑袋思考。中国人是写汉字的，中国人脱离形象不能思维，这是应该注意的。我在日本留学的时候，碰

13、到一个非洲的学生，这个学生会几国语言，到了日本后半年日语也学得很好。后来我突然想的一个问题，我就问这个非洲学生，你得母语是不是没有文字？他说是的。他的母语没有文字这说明什么？说明他的耳朵特别好使。他从小就是靠耳朵来记东西的，而不是像中国人是靠眼睛记东西的。所以，我们应该在小学阶段，一方面要教会学生用眼睛记东西，同时也要教会学生通过耳朵或通过脑子在没有画的情况下不写东西也能记住东西，。你看现在好多外国人在中国演艺，汉语说得多漂亮，他不看汉字肯定不会写，肯定是文盲，中国人几乎办不到。中国人学英语都得写，不写记不住。所以要注意教育规律，如何教会学生思考。3、建立大教育的观念。在学校里，所有活动都是一

14、个大的教育。不能为了活动而活动，要注意它的教育价值。我认为培养孩子们良好、开朗的性格；培养他们的合作能力、语言表达能力、组织能力；对生活的观察与思考能力。通过各种活动能够达到这些目标。特别想说的是学科内的，语文也好、数学也好，一定要注意孩子的全面成长。因为学科的学习的时间占整个的70%以上，这70%以上的时间不进行性格的塑造是不行的。这样的教育将不是一个好的教育。不管你是教数学的还是教语文的教师，在上课的过程中，必须要教这么三件事情：第一学习的兴趣；第二良好的学习习惯；第三良好的身心素质。我认为良好的身心素质就是开朗的性格，能够善于与他人交流，能够发展自己的思想。事实上，长大出问题的人，就是过

15、分内向的人，过分封闭的人。我们的小学不要培养出这样的人来。一个人本身的塑造，不是通过思想品德课；也不是通过活动，而是在所有的教学活动中，通过老师的潜移默化来养成的。4、学会培养学生的创造力。我们过去没有注意到的，一个非常重要的问题，就是创造力的培养。这是我们的教育最缺乏的。而且这也是我们制定教育规划中总理最关心的，如何建设创新型国家，如何培养出有创造力的学生，具有创造力的人才。这太重要了。?创造力应从基础教育抓起过去我们有个误区：误认为创造力是在大学或大学以后培养的，其实，创造型人才绝对是基础教育培养的。一个18岁的孩子，没有一个独立思考问题的能力，他长大以后绝对不能成为一个人才。必须在小学或

16、初中把一些创造的意识，或创造的能力培养出来，创造的机遇是以后对事情。创新的意识绝对是基础教育培养的，甚至是小学阶段培养的。所以我们要通过一系列的事情，启发他们思考，鼓励他们创造，它创造的东西哪怕是微不足道的，只要对他来说是新的，那就是创造。不要把创造看得那么高，那么远，那么高、那么远的话就不可能实现了。而意识真正的塑造，就在于它克服了一些困难之后的喜悦。一个人很简单的得到一个东西，它不一定会喜悦，特别是对一个孩子。但是他通过千辛万苦得来的东西，他肯定会喜悦，它会记一辈子的。这就是创造的源泉。所以我很支持一些数学活动，数学活动不要搞得太多，但是在数学活动中一定要激发孩子的创造性。?关于创造力下面

17、谈一下创造能力。创造能力有三条：一个是知识的掌握；一个是思维的训练；一个是经验的积累。我们整个的基础教育，关于知识的掌握打100分，关于知识的传授，中国是一点儿问题都没有，绝对达100分。关于经验的积累，打0分，因为我们没有教。关于思维训练，打50分，我们交了一半。什么没有教，就是经验积累。?关于经验积累（基本活动经验）如果说以知识为本的教育中，知识是结果，是你思考的结果，知识也可能是你经验的结果，知识是总结以后的东西。因此，以知识为本的教育是一种结果的教育。所以我们以前的教育是一种结果的教育，这种教育是不能够培养智慧的，为什么呢？智慧表现在过程中，只有在解题的过程中，你才能发现那个孩子更有智

18、慧。一个事情做成了，在做成的过程中发现他们是如何克服困难的。表现过程之中的东西，完全靠结果的教育，是教不出来的。必须通过过程的教育，也就是说，我们必须在教育的一个过程中培养一种能力。这个能力就起名叫智慧。所以我们只关注结果的教育是不够的，我们还要关注过程的教育。我们应该明白，世界上的很多东西是不可传递的，就是说不可能通过你的语言就能够表述的，就能够掌握的东西，只能靠亲身经历。如包饺子，你不亲手包是不可能会包的；盖房子，你怎么讲，他不亲身参与是不可能会盖房子的。所以必须让孩子亲身参与在这个过程中，最重要的是帮助孩子理清如何去思考问题；如何去提出问题；如何去反思。帮助孩子逐渐积累这方面的经验。?关

19、于思维训练（基本思想）我认为在本质上，思维有两种形式。一种形式叫做演绎推理；一种形式叫做归纳推理。几乎所有科学家都这么认为。比如爱因斯坦说：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里德几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。”再比如杨振宁说：“我很有幸能够在两个具有不同文化背景的过度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。”演绎能力即能够熟练使用演绎推理的能力。演绎推理来源于亚里士多德。就是我们讨论问题必须有一个共同的出发点，这个出发点本身不需要再讨论的。数学讨论问题的出发点是公理、公式、定义、概念

20、、假设。有了这个出发点，接下来的论证只要是合理的、正确的，就能保证结果和前提的同样性。就是亚里士多德提出的著名的三段论。这是演绎中最核心的。什么是三段论，就是大前提、小前提、结论。这是一种由一般到特殊的推理。比如凡人都有死，苏格拉底是人，苏格拉底就有死。就是说苏是人，人都得死，苏也得死。这就是数学证明。开始-前提-然后千方百计地证明你要讨论的这个东西满足这个前提。那么你讨论的这个前提和得到的结论是一样的。这就是数学论证的东西。而演绎推理只能验证一个结论，它不能用于发现真理，他怎么可能发现真理呢？都是正确性命题，怎么能发现真理。演绎这个东西非常有意思，演绎在中国古代根本没有，我现在正在非常认真的

21、研究，中国人是如何思考问题的？西方人是如何思考问题的？我现在正在写一本叫做数学思想概论的书。我认为数学的思想基本有三个。一个是抽象；一个是推理；一个是模型。数学是你在现实生活中见到的共同的东西，在哲学上叫做共性。把共性抽象出来定义为数学问题，而数学内部的发展是逻辑推理，得到一系列结论。然后数学与外部世界的联系，靠的是模型。用数学工具构造了一个模型来解释外部世界，我认为数学主要靠这么三个思想。 中国人怎么想问题？有一点是可以肯定的，中国人从古代开始根本没有演绎，这个事情我是想透了。但是中国人是如何来思考问题的？一个规律性的东西，我正在想。最近读了从老子、论语、周易等书，拼命的读，我在找它们的共性

22、，思想的共性。我找我们古代这些先人们思维的共性。现在碰到的不是数学上的问题，把数学理出头绪来还好理，就是思维的头绪最难理。我们缺少两个能力：一个是根据情况预测结果的能力，我们没有教。还有一个是根据结果“探究成因”的能力，这个也没有教。我倒认为我们小学数学研究研究这个问题，给了一些条件之后，如何让孩子们去发现结果呢？去预测一下结果呢？在幼儿园做一个实验：一个塑料瓶子，装满水，上、下各扎一个眼儿，问孩子哪一个眼儿里的水刺得远？然后在试验一下，看一看哪一个刺得远。我想总要教孩子一些预测，然后验证一下孩子们的预测对不对。你不要只教那些死的、固定了的东西。要在小学阶段开发学生的智力，这段时间不开发智力，

23、（什么时间开发呢？）知识本身不是核心。还有一种思维叫做从特殊到一般的推理，这个推理就是归纳推理。这是培根在新工具一书提出来的。归纳推理就是从个别现象出发，抽象出共性，总结出一般的结论。归纳出的结果不一定是最（对）的，但是归纳是必要的，归纳是发现真理最重要的手段，之所以培根提出这个问题，这是文艺复兴时期，工业快速发展，发现三段论的不足，就是发现了演绎方法的不足，当时需要给出一个新的思维方法，所以培根从认识论的角度提出了很多东西，这对科学的发展起了很重要的作用。?关于“双基”“四基”。在小学阶段，反复训练不是最主要的。特别是一些形式上的东西。什么大R怎么写？等号怎么写？-那东西不是主要的。要抓住本

24、质的东西教。所以这次在修改课标的时候，就稍改了一下，传统的双基，基础知识、基本技能，加上“基本思想”、“基本活动经验”，变成了四基。?关于“两能”“四能”。传统的“两能”，就是分析能力、解决问题的能力加了两能，就是“发现问题的能力”、“提出问题的能力”。举几个教学中的例子；例一、 有鹅4只，是鸭子的1/3，问有几只鸭子？ 这堂课的教学目的是：41/34312。这个算式的意义是非常难讲的，为什么就是41/3呢？由此联想到数学的四则运算。事实上只有一种运算，就是加法运算，加法运算是建立在自然数或者正整数之上的，现在把0放在自然数里是完全没有道理的。0不是本质的，在自然书中，最本质的数是“1”，老子

25、说的话是没错的，“道生1，1生2，2生3，3生万物。”1代表着有，“道”属无，从无到有，1是本质的。加法的本质是1加1。为什么0不是本质，这就涉及到了数，什么是数？数是对数量的抽象，要抽象就要把本质的东西抽象出来。数量的本质是什么呢？数量的本质是多和少。在动物哪里能找到例子，动物是最知道多少的，来一只狼，狗敢跟它打一阵子，来一群狼，狗肯定跑了。再举一个例子：科学预言中有个故事，很有意思，田庄地头有一个望楼，看场院的。上面经常有乌鸦。看田的农民想把乌鸦杀死，可是他一进望楼，乌鸦就跑了，老远在哪树上瞅着他。等他走了，乌鸦又回来了，给他气得没办法。这个人很聪明，他说我这回进去两人，出来一个，留一个人

26、，等乌鸦回来时杀死它。可是乌鸦比人还聪明，进去两人，出来一人，乌鸦不回来，就等那人出来后乌鸦才回去。后来进去3人出来2人，进去4人出来3人，乌鸦都不回来。最后进去5人出来4人，乌鸦分不清了。乌鸦就会来了。乌鸦回来杀没有杀死是另外一回事，反正乌鸦回来了。 乌鸦不仅能分辨多和少，还分辨个数之间的差异。 我对这件事情很好奇，就找孩子做试验，唉！孩子也只能分辨出3、4个数来，也是在3和4之间，多了也蒙。我估计啊，成人也是这样，遇到8、9也蒙。进来了8个人，下次进来7个人，你会认为人一般多的。所以人比动物没聪明多少，聪明在哪儿呢？聪明在会数数啦。乌鸦和动物不会数数，就这块聪明。所以，抽象成数是非常重要的

27、。如果数量的本质是数的话，那么抽象出的“数”的本质是什么呢？ 是“多”和“少”。多和少最简单的情况是多多少呢?是多1个。所以1是非常核心的。1是“有”的代表。那么，什么是数呢？数就是有大小顺序的符号，你不管使用A、B、C、D也好，还是用1、2、3、4也好，你怎么排都行，只要有大小顺序它就可以和数一一对应起来。特别是他们之间的差是1的话，就可以和自然数对应起来，这就是“数”的本质，这就是“数”。我理解的数就是这么个东西。所以”数”的本质是能够用来比较大小的符号。这个符号变成阿拉伯数字就是10个字母加上位数0。这就是数。在数的根本上我们在进行运算，就是加法。我为什么说只有加法呢？减法是加法的逆运算

28、，因为减法的出现才有了0，有了负数，就把正整数或者是自然数扩展到了整数。那么，乘法是加法的简便运算，33表示什么呢？表示3个3相加，是加起来的。所以正数乘正数好理解，正数乘负数也好理解，就是3个-3加起来就是-9，所以正数乘负数等于负数。负数乘负数就不好理解了，这是证明出来的，是个规定。这个证明是：任何数乘0都等于0，-10=0或者0=-10；1+-1=0，所以，0=-11+（-1）=-11+（-1）（-1），-11=-1，那么，0=-1+（-1）（-1），只有+1加上-1才可能等于0，所以，（-1）（-1）=+1对吗！一种运算在这个集合上成立，而扩展到一个新的集合上时，需要证明。很多运算法则

29、本身是需要验证的。就是说，在正整数集合上成立的一种运算，到了一个新的集合上是不是成立，是需要验证的。那么，除法是什么呢？除法是乘法的逆运算。回到上面的讨论上，就是什么数乘上1/3=4呢？而除法恰是乘法的逆运算，就变成了什么数=41/3呢？除法是从乘法过渡而来的，不是一开始就是除法。因此，讲课应这样讲，首先破解1/3的含义，什么叫鹅是鸭的1/3啊？是指鹅的数量是鸭的数量的1/3，也就是说，有3只鸭子，有1只鹅，这就是破解。同理推下来：有6只鸭子，就有2只鹅，有多少只鸭子，就有4只鹅呢？孩子们肯定会算，用乘法算，就是12只。所以12=41/3，而12恰等于43。这是不是偶然呢？你再做一些试验，发现

30、这个规律是一般的，因此，我们就规定41/3=43。这就叫做归纳的方法。我认为我们教书应该这样教。教一些归纳的方法，开始不要讲道理，而且道理你也讲不通，这没有道理可讲，也不要给孩子们说这是归纳法，应该边讲故事边让孩子们自己捋、捋、捋出条线来。其实过程教育就是帮助孩子们会思考，从头到尾把问题想清楚。例二，在一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿加起来共16个，有几个椅子和几个凳子？有关鸡兔同笼的问题，鸡兔相差两条腿，太难了。我们把4条腿的叫椅子，3条腿的叫凳子。椅子和凳子相差一条腿，有利于学生进行“尝试”。处理这样的题目，我们老师一上来就讲道理。我当年学的时候，老师就是

31、给我讲道理，我好像懂了知识没有懂得道理。我后来做了很多研究的时候我发现，所有的问题都是从最简单的数想起，列举几个数看对不对，对了之后把它推广出来就完了。一个东西都是这么做出来的。我后来年纪逐渐大了的时候才感悟出这个道理。一定记住，没有一个人脑袋里想一个非常复杂的问题，那脑袋不是累死了吗。他想得是非常简单的东西。 我最近给一些中小学老师讲，我是如何判断你对一个知识明不明白的，这就是能不能举出例子，如果你能举出例子来，就说明你学明白了，如果你举不出例子，就说明你没明白。如果你能举出一个让所有人都能听懂的例子，那你就能深入浅出啦。像例二我认为这么讲，先别讲道理，试一试绝对是一个好办法，看起来笨，其实

32、很聪明。有16个椅子，凳子就是0，加出的腿就是64，腿多了怎么办？减椅子，加凳子；那么，15个椅子，1个凳子，加出的腿是63，腿还多。再减椅子，加凳子。-，椅子数凳子数腿的总数160416=6415141531=6314241432=62对于凳子和椅子的问题，可以仍然用尝试的方法列方程：椅子数凳子数腿的总数A=1616-a=04a3(16-a)=64A=1516-a=14a3(16-a)=63A=1416-a=24a3(16-a)=62这样符合题意的方程为：4a3(16-a)=60这样的话孩子们肯定自己能把方程列出来，如果孩子们能自己把方程列出来，我认为这个教学就成功了。老师讲出来，你讲得再精

33、彩，那都是你老师的事。只有学生自己推出来的才是自己的东西。所以有时候老师讲得茁一点，不要紧，要引发学生思考，而引发学生思考的最好办法，是你跟学生一块儿思考，你明明懂了，但你还跟着一起来想，来引导学生想，一起想，最后把这个结论得到，逐渐逐渐得这么教，就可能培养出一个能想问题的孩子。所以讲得太精彩不一定是一个好老师，我认为能引发学生跟你一起思考、能培养一个好的思考习惯的，才是一个好老师。例三，袋子里有5个球，4个白裘1个红球，通过摸球估计那种球多、两种球的比例。摸球验证出现白球的可能性是4/5。这是一个原始的问题，就是掷硬币，记录总的次数和正面朝上的次数。过去的教学叫频率，来验证是不是1/2。这件

34、事情本质上的不成立的教学方法。应该是这样的，不是验证白球出现的可能性是4/5。如果验证白球出现的可能性是4/5，那是数学，数学和统计是有差别的。数学的归纳，出发点是公理、命题和运算法则。对问题判断的方法是演绎法，整个过程是演绎的。对结果的判断是对和错，在数学上必须给出一个对和错的判断。而统计学的核心是什么呢？统计学的出发点是数据，统计学是通过数据来判断产生数据的背景的信息。比如我通过JDP来估计一个国家的经济发展情况；通过人均JDP来估计这个国家的人的生活水平。我是通过数据获取一些信息，这是统计学的思想。出发点是不一样的，论证的方法和原则也是不一样的。因此，统计学最后结论的判断是什么呢？不是对

35、和错，而是好和坏。所以我们数学老师的脑子里要有这个印象，对所有结果的判断不一定必须是对和错，可能有好坏之分。对一个学生思考能力的判断，没有对、错，只有好坏，要分清楚。像例三这个问题要这样教，让孩子们摸球，摸完了放回去，放回去是为了保证它的随机性，就是每次的条件是一样的。要记下摸了几次球，出现白球是多少次。然后问学生第一个问题：这里是白球多还是红球多？在一般情况下，白球比红球多，在不很特殊的情况下，肯定白球比红球多。你事先不要告诉孩子这里有多少个球，更不能告诉他们有几个白球几个红球。你就告诉孩子有一些球，我们估计一下、预测一下、推算一下白球多还是红球多？手段是什么呢？是摸球，摸了看。这就是尝试推

36、理。莫的次数多的时候孩子们就知道了，白球和红球的比例是多少呢？一定记住，摸球摸出来的恰恰是4/5，这可能性是不大的。但是，4/5是8/10，7/10到9/10之间的可能性还是很大的。所以，我们数学必须认定一个数等于另一个数是不成立的。我们在说一个数的时候，事实上说这个值可能取在这个数的附近，所以，我们在小学教学中，经常要谈到估计的问题，事实上在现实中恰恰是这样的，有些事情不一定成立的，除了人为的。这样就有一个区间的概念，那么，这个球的比例大概在7/109/10之间，这是可以算出来的。就是说，如果你摸球60次以上，那么你摸到的球有95%是在7/10到9/10之间。就是100次的摸，可能会有95次

37、是在7/10和9/10之间，这样就挺好了。还要解释一个问题，就是一种估计的方法。整个摸球的次数当分母，摸白球的次数当分子，这个方法不一定是最好的，方法有好有坏。比如：投篮球，就投一把，投中了。你能估计他投篮球的准确率是100%？投2个，都重了。你能说正确率是100%吗？用这个方法只能得到1，就是100%，怎么办呢？还有一个方法。摸球的总数加2当分母，摸白球的数加1当分子，那好，投1次重了，就是1+1/2+1=2/3（概率），投5把都重了，概率就是5+1/5+2=6/7，但是永远不能是1，比1差一点。这个方法不也挺好的吗。所以对世界上很多事情方法不是唯一的，判断也不一定必须是正确或错误。在进行统

38、计学教学中，要让孩子懂得世界上还有这样的思维方法，还有这样对事务处理的方法。这样的教学就是过程的教学，在这个过程中培养孩子的思维、培养孩子的智慧。再讲几何的问题，几何讲最简单的点、线、面、几何图形。亚里士多德说：“我们研究点、线、面，不是想证明点、线、面的存在，而是想研究点、线、面之间的关系。”我们讲图形并不是说一个三角形是存在的、一个正方形是存在的，而是讲它们之间的关系。三角形可以分成三种类型，锐角三角形、钝角三角形、直角三角形。他们的分水岭是什么呢？他们的分水岭在直角上，比直角小时锐角，比直角大是钝角。分类的事情往往有包含的关系，图形的包含关系是最难讲的。平行四边形里包含着矩形，孩子们很难

39、能理解，但是老师脑袋里要有个数，如果这个集合和那个集合一点关系也没有的话，孩子一下就变清楚了。最难懂的是正方形是矩形，他很难理解，包含关系是最难理解的。我们教几何很重要的是教直观，直观是极为重要的。所有的数学结论是看出来的，不是证出来的。没有一个数学家说，他不知道目的就把结果证出来的，他首先想像一个结果，然后用演绎的方法证这个结果，这个结果是怎么看出来的？用归纳的方法看出来的，看凭借什么？凭借直观，所以，小学数学特别是几何教学培养孩子直观是非常重要的。它通过图有个感性认识，能预测到一些结果。特别是三维空间，我们图形是把三维空间的东西硬拿到二维空间上来，在平面上读。事实上孩子们看到的都是三维的。

40、因此，在一、二年级让孩子们看立体的图形很重要。事实也证明，小学一、二年级的孩子的直观想像并不差于初中的孩子，甚至比初中的还要好。所以，在小学阶段的教育中，我认为还是两条，一个是培养孩子的兴趣，还有一个是该教给孩子什么你就教什么。这是两个核心的根本的问题。（二）、教师的特殊素质小学教学一定要注意身边的事情，要多实践，不能想当然。特别是要站在学生的立场想问题，学生会怎么想，我如何引导他们得到一个更好的思维方法，把这些积累起来就是经验。1、扎实的数学专业基础。作为一名小学数学教师，对中小学数学课程内容所涉及的几何学、代数学、统计与概率等学科的内容要有初步的理解，对中小学数学的基本内容能够把握，知道其

41、中的关联。如：小学与中学：数的运算与扩展，初中与高中函数定义的异同、方程与函数等。2、全面把握数学学科知识。数学的核心是：抽象、逻辑、模型；数学的本质是：研究“关系”；数学的基础是：定义、符号、假设。例如：两个苹果、两匹马“2”：就是一个抽象的符号，现实中是不存在的。再如：点是怎样抽象出最本质的东西呢？欧几里德叫做没有部分的东西。什么叫线呢？线就是只有长度的那种东西。什么叫直线呢？直线就是排齐的那种线。这些定义是没有道理的，如果不这么定义又表示不了这些东西。真正的抽象应抽象到什么程度呢？基尔普特认为应抽象到符号。他说：我用大写字母A、B、C来表示点，用小写字母a、b、c来表示线，用希腊字母、来

42、表示面，然后再用一个符号表示他们之间的关系。现代数学就抽象到这一步了，是不是合理，我认为非常合理。真正摆脱了物理意义上的抽象，只能用符号表示了。所以近代数学的核心是：概念的符号化和推理的形式化。这个思想越来越影响到中学数学，甚至小学数学。但是这个思想也有弊端，为什么？这对于培养直观非常不利，对看到结果也是不利的。我非常希望小学老师能知道这些，数学奖的是概念的符号化、推理的形式化。但讲课的时候不能这么讲，还要将孩子们身边的事。有一个几何中的例子，埃及的亚历山大图书馆，有一届馆长叫贝塔，他是个地理学家。他在资料中看到，尼罗河的某地在夏至的这天，竖起一个杆子，没有影子，太阳光可以直接照到井底的水面上

43、。可是，他在同一天同一时刻，在亚历山大竖起一个杆子为什么有影子呢？这是他得到一个结论：地球是圆的。为什么呢？他有一个假设，数学就是验证假设的。它假设太阳光照在地球的表面上是是平行的，如果地球是平面的，那么太阳光在一个地方照射没有影子，在其他地方也应该没有影子，产生影子的原因就是因为地球是圆的。这里就用到小学数学中的平行。再一个例子，什么叫直线？孩子们一定认为，直直的一直向前走。可是在海拔1米的地方直直的向前走，会出现什么结果呢？结果肯定是又转回来了。这怎么能是直线呢？科学界又里曼几何、爱因斯坦几何，对几何的理解是多种多样的。我们现在教的直线，是在课桌上研究的直线，所以可以直直的画出来，而在实际

44、中是画不出来的。过去是证明两点间直线最短。莫不如反过来说，连接两点间所有线段，最短的叫直线。看来非常简单的概念，深究起来都非常复杂。再举一例：欧几里得几何最本质的东西是，不管怎么移动，两点间的距离始终不变。因此我们在小学里讲平移、旋转、对称的核心是保持两点间的距离不变。在讲课时，一定记住，所有运动必须有参照物的。正像火车飞速前进，是看到窗外的景物的移动才感觉到火车在跑的。运动不是感受到的，是通过参照物观察到的。平移的参照物是什么呢？是射线。一个图形平移了，就是按照这条射线的方向移动了，每个点移动的距离是相等的。旋转的参照物是什么呢？也是一条直线。图形的每一个点到射线上的一点的距离不变，但是变化

45、的是角度。对称的参照物是一条直线，图形运动后，所有点到这条直线的距离不变。对这些数学知识，老师的头脑中一定要清楚，只有对每一个概念都清楚了，在讲课中才能立于不败之地。判断我们是不是吃透概念的关键，是能不能举出恰当的、人人都懂的例子。在小学里我认为“证明”的内容少讲，这是很难的东西。“反证法”小学是不允讲的。而演绎法是小学整个逻辑推理的基础。二、若干误区的分析误区之一：技巧技能。同样的东西，大量的、简单重复的训练，会适得其反。什么是技能？技能是能举一反三的东西，是积累起来能成为经验的东西。技巧是个案的东西，你不可能把所有的个案都做掉。误区之二：形式道理。不要过多地追求形式，怎么答题了，怎么写等号

46、了，这都不是关键，只要头脑清晰就是好样的。不能粉墨倒置。如：讲方程，方程的本质是什么？第一是等号的含义，就是原原本本的两边的东西相等，用等号表示出来就是方程。第二是解方程，就是把有X的放到一边，把没有X的放到另一边。告诉学生字母和数一样，是可以运算的就行了。关键让孩子们知道：用符号可以进行运算和推理，并且用符号进行运算和推理的结果是具有一般性的，这是数学的真谛。数学没有符号表达是不可能的，同时用符号表达所有结果是一般性的，用所有的书算，算出的结果多是特例。数学要的结果是一般的结果，而不是具体的结果。误区之三：逻辑演绎。我认为，小学阶段，演绎讲得越少越好。大部分应帮助学生进行归纳。能让学生自己动

47、手归纳，逐渐把规律性的东西得到，并表示出来，那么学生会非常兴高采烈，会记一辈子的。误区之四：操作经历。我听过不少活动课，尚可很热闹，上我评价是上课一锅粥，下课还是一锅粥。学生什么也没有得到。讲课不是形式上的东西，你上课的目的是什么？活动要达到一个什么目的？这个目的就是积累活动经验。老师必须在结束活动之前，给于总结。这个总结是很难也很重要的。不仅要告诉孩子结果是对还是错，而且还要告诉孩子们，他们的思维本身是对还是错。鸦片辨析清楚，结论可能不对，但思维过程不一定不对，思维对的地方应给于肯定，不对的，应从思考的角度给学生讲明白。还有一个问题是，讲东西容易，但判断东西的对错是很难的。我建议，像活动课一学期上一次就行了，上多了孩子们没有新鲜感。但是上一次要解决一次的问题。要注意操作的教育价值：不是形式，而是帮助学生积累数学活动经验。在操作的同时，必须引导学生提升出经验和体验，这种数学活动才能有效。