20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.6 对数及对数函数（解析版）.docx

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1、第六讲 对数及对数函数【套路秘籍】-始于足下始于足下一对数的不雅念(1)对数的定义一般地，假设a(a0，a1)的b次幂等于N，即abN，那么称b是以a为底N的对数，记作blogaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数底数的对数是1，即logaa1,1的对数是0，即loga10.(2)几多种稀有对数对数方法特征记法一般对数底数为a(a0且a1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN4.对数的性质与运算法那么(1)对数的性质N(a0且a1，N0)；logaaNN(a0且a1)(2)对数的要紧公式换底公式：logbN(a，b均大年夜于零且不等于1，N0)；logab(a，b均大年夜

2、于零且不等于1)(3)对数的运算法那么假设a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logaM.二对数函数的定义1.形如ylogax(a0，a1)的函数叫为难刁难数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)2对数函数的图象与性质a10a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一对数的运算【例1】1lg22lg250lg25lg40.2假设3a=5b=225，那么1a+1b=。4假设loga2=m，loga5=n，那

3、么a3m+n=(。【答案】11212340【分析】1lg22lg250lg25lg40lg22(1lg2)2(2lg21)lg22(32lg2)(lg222lg21)(2lg21)1.23a=5b=225a=log3225,b=log5225那么1a+1b=log2253+log2255=log22515=123loga2=m，loga5=n，am=2，an=5a3m+n=a3man=235=40【套路总结】对数运算的一般思路(1)拆：起首使用幂的运算把底数或真数停顿变形，化因素数指数幂的方法，使幂的底数最简，然后使用对数运算性质化简吞并(2)合：将对数式化为同底数的跟、差、倍数运算，然后逆用

4、对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算【举一反三】1已经清楚alog32，那么log382log36用a表示为【答案】a2【分析】log382log36log3232(log32log33)3log322(log321)3a2(a1)a2.2假设3x4y36，那么.【答案】1【分析】3x4y36，单方取以6为底的对数，得xlog63ylog642，log63，log64，即log62，故log63log621.3设2a5bm，且2，那么m.【答案】【分析】由已经清楚，得alog2m，blog5m，那么logm2logm5logm102.解得m.4打算：.【答案】1【分析】原式1.

5、5.已经清楚均不为1的正数a，b，c称心axbycz，且0，求abc的值【答案】1【分析】令axbyczk.由已经清楚k0且k1，因此xlgaylgbzlgclgk，故，.由于0，因此0，即0.故lg(abc)0，得abc1.6.设logaC，logbC是方程x23x10的两根，求的值【答案】.【分析】由题意，得即因此有(logCalogCb)2(logCalogCb)24logCalogCb3245，故logCalogCb.因此1.7.方程3x1的实数解为【答案】xlog32【分析】原方程可化为2(3x)253x180，即(3x2)(23x9)0,3x2(23x9舍去)，得xlog32.考向

6、二对数函数的揣摸【例2】函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数，那么f(18)等于()A3B-3C-log36D-log38【答案】B【分析】由于函数f(x)为对数函数，因此函数f(x)系数为1，即a2+a-5=1，即a=2或-3，由于对数函数底数大年夜于0，因此a=2，f(x)=log2x，因此f18=-3。【套路总结】对数函数的揣摸：对数函数的系数等于一、真数大年夜于0、底数大年夜于0且不等于1。【举一反三】1以下函数是对数函数的是()Ay=log3(x+1)By=loga(2x)(a0,a1)Cy=lnxDy=logax2(a0,a1)【答案】C【分析】由对数函数定义可以，此

7、题选C。2以下函数，是对数函数的是Ay=lg10xBy=log3x2Cy=lnxDy=log13x1【答案】C【分析】由对数函数的定义，形如y=logaxa0，a1的函数是对数函数，由此掉掉落：y=lg10x=x，y=log3x2=2log3|x|、y=log13x-1都不是对数函数，只需y=lnx是对数函数应选C3在M=logx3x+1中，要使式子有意思，x的取值范围为A，3B3，44，+C4，+D3，4【答案】B【分析】由函数的分析式可得x+10x-30x-31，解得3x4应选B考向三对数的单调性【例3】1函数f(x)=lg(6x-x2)的单调递减区间为。2假设函数f(x)log2(x2a

8、x3a)在区间(，2上是减函数，那么实数a的取值范围是_【答案】13,6)24,4)【分析】1由题可得6x-x20，即0x0在区间(，2上恒成破且函数yx2ax3a在(，2上单调递减，那么2且(2)2(2)a3a0，解得实数a的取值范围是4,4)【套路总结】复合函数的单调性以及单调区间的求法复合函数的单调性，一要留心先判定函数的定义域，二要使用复合函数与内层函数跟外层函数单调性之间的关系停顿揣摸，揣摸的按照是“同增异减【举一反三】1已经清楚f(x)=x2-4ax+3,x1logax+2a,x1称心对任意x1x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x20成破，那么a的取值范围是A(0,12B12,

9、1)C12,23D23,1)【答案】C【分析】f（x）=x2-4ax+3,x1logax+2a,x1称心对任意x1x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x20成破，因此分段函数是减函数，因此：0a02+x0得x-2得-2x4，即函数的定义域为-2，4，y=ln4-x+1n2+x=ln4-x2+x=ln-x2+2x+8设t=-x2+2x+8，那么y=lnt为关于t的增函数，恳求函数y=ln-x2+2x+8的单调递增区间，等价为求t=-x2+2x+8的单调递增区间，当-2x1时，函数t=-x2+2x+8为增函数，即函数t=-x2+2x+8的单调递增区间为-2，1，即函数y=ln4-x+1n2+x的

10、单调递增区间为-2，1，应选：A3已经清楚f(x)=log12(x2-ax-a)在区间(-，-12)上是增函数，那么实数a的取值范围是_【答案】-1,12【分析】令g(x)=x2-ax-af(x)=log12g(x)在(-,-12)上为增函数，g(x)应在(-,-12)上为减函数且g(x)0在(-,-12)上恒成破因此a2-12g-120，即a-114+a2-a0解得-1a12，故实数a的取值范围是-1,12考向四比较大小【例4】(1)设alog412，blog515，clog618，那么a，b，c的大小关系为_(用“连接)【答案】1abc2ablog53log63，abc.【套路总结】比较大

11、小征询题是每年高考的高频考点，全然思路是：(1)比较指数式跟对数式的大小，可以使用函数的单调性，引入中间量；偶尔也可用数形结合的方法(2)解题时要按照理论情况来构造呼应的函数，使用函数单调性停顿比较，假设指数一样，而底数差异那么构造幂函数，假设底数一样而指数差异那么构造指数函数，假设引入中间量，一般选0或1.【举一反三】1.设alog3，blog2，clog3，那么a，b，c的大小关系是_【答案】abc【分析】由于alog3log331，blog2b，又(log23)21，c0，因此bc，故abc.2.已经清楚alog23log2，blog29log2，clog32，那么a，b，c的大小关系是

12、_【答案】abc【分析】由于alog23log2log23log231，blog29log2log23a，clog32c.3.已经清楚函数yf(x2)的图象关于直线x2对称，且当x(0，)时，f(x)|log2x|，假设af(3)，bf，cf(2)，那么a，b，c的大小关系是_【答案】bac【分析】易知yf(x)是偶函数当x(0，)时，f(x)f|log2x|，且当x1，)时，f(x)log2x单调递增，又af(3)f(3)，bff(4)，因此bac.4.设alog32，blog52，clog23，那么a，b，c的大小关系是_(用“连接)【答案】cab【分析】alog32log331，blog

13、52log221，因此c最大年夜由1log23，即ab，因此cab.考向五对数函数图像【例5】(1)如图是对数函数ylogax的底数a的值分不取，时所对应的图象，那么呼应的C1，C2，C3，C4的a的值依次是_(2)已经清楚函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)ln(x1)，那么函数f(x)的大年夜抵图象为()(3)当0x时，4xlogax，那么a的取值范围是_【答案】1，2C3【分析】1略2先作出当x0时，f(x)ln(x1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象可得函数f(x)在R上的大年夜抵图象，如选项C中图象所示3由题意得，当0a1时，要使得4x

14、logax，即当0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方又当x时，即函数y4x的图象过点.把点代入ylogax，得a.假设0x时，函数y4x的图象在函数ylogax图象的下方，那么需a1时，不符合题意，舍去因此实数a的取值范围是.【举一反三】1。函数y2log4(1x)的图象大年夜抵是()【答案】C【分析】函数y2log4(1x)的定义域为(，1)，打扫A，B；又函数y2log4(1x)在定义域内单调递减，打扫D.应选C.2.已经清楚函数f(x)假设a，b，c互不相当，且f(a)f(b)f(c)，那么abc的取值范围是_【答案】(10,12)【分析】作出函数f(x)的大年夜抵图象如

15、下由图象知，要使f(a)f(b)f(c)，不妨设0abc，那么lgalgbc6.lgalgb0，ab1，abcc.由图知10c0且a1)的值域为y|y1，那么函数yloga|x|的图象大年夜抵是()【答案】B【分析】由于ya|x|的值域为y|y1，a1，那么ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称因此yloga|x|的图象应大年夜抵为选项B.应选B.考向六定义域与值域【例6】已经清楚函数fxlog2x的定义域是2，16设gxf2xfx21求函数gx的分析式及定义域；2求函数gx的最值【答案】1gx=log22x-log22xx2,8；2最小值-5，最大年夜值1

16、.【分析】1由题意可得那么gx=log22x-log22x，且22x162x16，进一步得：gx=1+log2x-log22x，定义域为2,8.2令tlog2x，那么t1，3，函数gx转化为htt2+t+1，t1，3，由二次函数性质，得ht在1，3递减因此ht的值域为h3，h1，即5，1，因此当x8时，t=3，gx有最小值5，当x2时，t=1，gx有最大年夜值1【举一反三】1.函数y=log12(x2-6x+17)的值域是。【答案】【分析】x2-6x+17=x-32+80恒成破，函数y=log12x2-6x+17的定义域为R设t=x2-6x+17=x-32+88由复合函数的单调性可知函数y=l

17、og12x2-6x+17在定义域R上先增后减，函数取到最大年夜值即：y=log12x2-6x+17log128=-3函数的值域为-,-32函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，那么实数a的取值范围为。【答案】0,1【分析】假设函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，故函数yax2+2x+a能取遍一切的正数当a0时符合条件；当a0时，应有44a20，解得-1a1，故00且a1.1求函数f(x)+g(x)的定义域；2假设函数f(x)+g(x)的最大年夜值是2，求a的值；3求使f(x)-g(x)0成破的x的取值范围.【答案】1(-2,4)2t(0,93a1时称心题意的x

18、的取值范围是(1,4);0a04-x0-2x1且loga9=2，a2=9a=33由f(x)-g(x)0即loga(x+2)loga(4-x)：假设a1，那么x+24-x0,1x4：假设0a1，那么有：0x+24-x,-2x1时称心题意的x的取值范围是(1,4)0a1时称心题意的x的取值范围是(-2,1).考向七反函数【例7】已经清楚函数fx=2x的反函数为y=gx，那么g12的值为A-1B1C12D2【答案】A【分析】由y=f(x)=2x，得x=log2y原函数的反函数为g(x)=log2x，那么g12=log212=-1应选：A【举一反三】1已经清楚函数f(x)=1+2lgx，那么f(1)+

19、f-1(1)=A0B1C2D3【答案】C【分析】按照题意：f1=1+2lg1=1假设fx=1+2lgx=1，解可得x=1，那么f-11=1故f1+f-11=1+1=2此题精确选项：C2已经清楚f(x)=x+12x，其反函数为f-1(x)，那么f-1(0)=_【答案】-1【分析】f(x)=x+12x，由y=x+12x,得2xy=x+1,x=12y-1f-1(x)=12x-1，f-10=120-1=-1故答案为：-13f(x)=x2+2xx0的反函数f-1(x)=_【答案】x+1-1x0【分析】设fx=y=x2+2xx0,因此x2+2x-y=0,x=-24+4y2=-1y+1，由于x0，因此x=-

20、1+y+1，因此f-1(x)=x+1-1.由于x0，因此y0，因此反函数f-1(x)=x+1-1，（x0）.故答案为：x+1-1，（x0）【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1假设a=log225,b=0.43,c=ln3，那么a、b、c的大小关系是。【答案】abc【分析】由于a=log225-,0,b=0.430,1,c=ln31,+，因此abcb【分析】a=40.9=2952，b=log2322又a=295=21.821.5=cac2b即acb3已经清楚a=5log23.4，b=5log43.6，c=15log70.3，那么。【答案】abc【分析】a=5log23.4，b=5log

21、43.6，c=15log70.3=5log7103，log23.4log23.6log7103=log7103abc4. 假设函数y=loga(x2-ax+1)定义域为R，那么a的取值范围是。【答案】0a0a1=a2-40恒成破，k=0时，不等式为380恒成破；k0时，应称心=k2-42k380，解得0k0且1+2x-11ln1+2x-10fx值域为：-,00,+此题精确结果：-,00,+7定义在-2a+3,a上的偶函数fx，当x0,a时，fx=loga2x+3，那么fx的值域为_【答案】1,2【分析】由题意，函数fx是定义在-2a+3,a上的偶函数，因此-2a+3+a=0，即a=3，当x0,

22、3时，2x+33,9，因此fx=log32x+31,2.又由fx是定义在-3,3上的偶函数，因此函数fx的图象关于y轴对称，因此fx的值域为1,2.8函数fx=lg4x-2x+1+11的最小值是_【答案】1【分析】令2x=t，t0，那么4x-2x+1+11=t2-2t+11=t-12+1010，因此fx=lg4x-2x+1+111，即所求最小值为1.故答案为：1.9函数y=log2(x2+2x+5)的值域为_。【答案】2,+)【分析】x2+2x+5x+12+4，x2+2x+5x+12+44，那么ylog2x2+2x+5log242，即y2，函数的值域为2，+故答案为：2，+.10函数y=log

23、2(2x-x2)的单调递增区间为_.【答案】(0,1【分析】由题意可知函数定义域为：2x-x20x0,2将y=log22x-x2拆分为：y=log2t跟t=2x-x2可知x0,1时，t单调递增；又y=log2t单调递增可得y=log22x-x2的单调递增区间为：0,1此题精确结果：0,111f(x)=log2(4x)log14(x2),x12,4的最大年夜值为_【答案】98【分析】f(x)=log24xlog14x2=(log24+log2x)-12log2x-log22=-12log2x2+log2x-2，令t=log2x(t-1,2)，那么函数可化为y=-12t2+t-2，t-1,2，当t

24、=-12时，ymax=98。12函数y=1g1-x+-x2+x+2的定义域是。【答案】-1,1)【分析】要使原函数有意思，那么：1-x0-x2+x+20,解得-1x1；原函数的定义域是-1，113.已经清楚函数f(x)假设f(x)的值域为R，那么实数a的取值范围是_【答案】(1,2【分析】当x1时，f(x)1log2x1，当x0，那么实数a的取值范围是_【答案】【分析】当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f(x)在区间上是增函数，因此loga(1a)0，即1a1，解得a1时，ylogau是增函数，f(x)maxloga42，得a2；当0a1时，ylogau是减函数，f(x)maxloga

25、2，得a(舍去)故a2.16打算：1lg25+2lg2+823=_2求值：log34273+lg25+lg4+7log72=_3eln2+813+lg20-lg2=_43lg2+lg125+1634+(3+1)0=_.50.02723+27125-13-2790.56lg25+23lg8+lg5lg20+lg2272log214-(827)-23+lg1100+(3-1)lg1；8lg52+23lg8+lg5lg20+(lg2)2【答案】1621543541250.09；63.7-3；83【分析】1原式=lg25+lg4+(23)23=lg(254)+2323=2+4=62log34273+l

26、g25+lg4+7log72=log33-14+log10(254)+2=-14+2+2=1543按照指数跟对数的运算公式掉掉落：原式=2+2+lg10=5.故答案为：5.4由题意，按照指数幂与对数的运算性质，可得3lg2+lg125+1634+(3+1)0=(lg8+lg125)+(24)34+1=lg1000+23+1=3+8+1=12.5原式=0.09+53-53=0.09；6原式=2lg5+2lg2+lg52lg2+lg5+lg22=2+lg2lg5+lg52+lg2lg5+lg22=2+lg5lg2+lg5+lg2lg5+lg2=2+lg5+lg2=2+1=372log214-(82

27、7)-23+lg1100+(3-1)lg1=14-(23)-2-2+1=14-94-1=-3；9lg52+23lg8+lg5lg20+lg22=2lg5+2lg2+lg5lg54+(lg2)2=2+(lg5)2+2lg2lg5+(lg2)2=2+(lg5+lg2)2=317已经清楚函数f(x)lg.(1)打算：f(2020)f(2020)；(2)关于x2,6，f(x)0，得x1或x1或x1又f(x)f(x)lg0，f(x)为奇函数故f(2020)f(2020)0.(2)当x2,6时，f(x)lg恒成破可化为(x1)(7x)在2,6上恒成破又当x2,6时，(x1)(7x)x28x7(x4)29.

28、当x4时，(x1)(7x)max9，m9.即实数m的取值范围是(9，)18.已经清楚函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1)当x1,4时，求函数h(x)f(x)1g(x)的值域；(2)假设对任意的x1,4，不等式f(x2)f()kg(x)恒成破，务虚数k的取值范围【答案】10,22(，3)【分析】(1)h(x)(42log2x)log2x2(log2x1)22，由于x1,4，因此log2x0,2故函数h(x)的值域为0,2(2)由f(x2)f()kg(x)得(34log2x)(3log2x)klog2x.令tlog2x，由于x1,4，因此t0,2，因此(34t)(3t)kt对一切

29、t0,2恒成破当t0时，kR；当t(0,2时，k恒成破，即k0且a1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)求称心f(x)0的实数x的取值范围【答案】1(-2,2)；2看法析.【分析】1由题意可得，2-x02+x0，解可得，-2x1时，02+x2-x，解可得，-2x0，0a1时，02-x2+x，解可得，0x0且a1)I假设函数h(x)=f(x)-g(x)，求函数h(x)的定义域；II求不等式f(x)-g(x)0的解集.【答案】I(2,+)II看法析【分析】I由x2-40得x2，由2x-10得x12，取交集掉掉落x2，因此函数h(x)的定义域为(2,+)II由f(x)-g(x)0得f(x)g(x)

30、，当0a1时，有x2-42x-1得x2-2x-30，得-1x2，因此2x1时，有x2-42x-1得x2-2x-30得x3由I知x2，因此x3，综上，解集为2，3（3，+）.21已经清楚函数f(x)=log2(2x+1)1假设函数gx=log2(2x-1)-fx，揣摸gx的奇偶性，并求g(x)的值域；2假设关于x的方程f(x)=x+m,x0,1有实根，务虚数m的取值范围.【答案】1gx为非奇非偶函数；值域为-,0；2mlog23-1,1【分析】1由2x-10得fx定义域为：0,+因此定义域不关于原点对称，因此函数gx为非奇非偶函数有题意知：gx=log22x-12x+1=log21-22x+1当

31、x0,+时，1-22x+10,1因此log21-22x+1-,0因此函数gx的值域为-,02方程有实根，即m=fx-x有实根构造函数hx=fx-x=log22x+1-x那么hx=log22x+1-log22x=log22x+12x=log22-x+1由于函数y=2-x+1在R上单调递减，而y=log2x在0,+上单调递增因此复合函数hx=log22-x+1是R上的单调递减函数因此hx在0,1上最小值为h1=log22-1+1=log232=log23-1，最大年夜值为h0=log22-0+1=1即hxlog23-1,1，因此当mlog23-1,1时，方程有实根22已经清楚函数f(x)=loga

32、(9-3x)a0，a1.1假设函数f(x)的反函数是其本身，求a的值；2当a=14时，求函数y=f(x)+f(-x)的最小值.【答案】1a=3；2-3【分析】1由题意知函数fx的反函数是其本身，因此fx的反函数ay93x，xlog3（9-ay)，反函数为ylog3（9-ax)=f(x)=loga(9-3x)，因此a32当a=14时，fxlog14(9-3x)，fxlog14(9-3(-x)，那么yfx+fxlog482-(93x+93x)-3，故最小值为323已经清楚函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)，其中a0且a1。1求函数f(x)的定义域；2假设函数f(x)有最小值而无最

33、大年夜值，求f(x)的单调增区间。【答案】1(-3,1)；21，1.【分析】1要使函数有意思，那么1-x0x+30，得x1x-3，得3x1，即函数的定义域为3，1，2fxloga1x+logax+3loga1xx+3logax22x+3logax+12+4，设tx+12+4，当3x1时，0t4，假设函数fx有最小值而无最大年夜值，那么函数ylogat为减函数，那么0a1，恳求fx的单调增区间，那么等价于求tx+12+4，在3x1时的减区间，tx+12+4的单调递减区间为1，1，fx的单调递减区间为1，124已经清楚函数f(x)=loga(-x2+ax-9)(a0,a1).1当a=10时，求f(

34、x)的值域跟单调减区间；2假设f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围【答案】1-,lg16;5,9)2a6【分析】1当a=10时，f(x)=log10(-x2+10x-9)=log10(-(x-5)2+16，设t=-x2+10x-9=-(x-5)2+16，由-x2+10x-90，得x2-10x+90，得1x1，函数t=-x2+ax-9存在单调递增区间即可，那么判不式=a2-360得a6或a-6舍，当0a0得a6或a625已经清楚函数f(x)=log2a-xa+x，aR(1)假设f(-23)=1，求a的值；(2)在(1)的条件下，关于x的方程f(x)=log2(x-t)有实数根，务虚数t的取值范围【答案】12；2(-,2)【分析】1函数fx=log2a-xa+x，假设f-23=1，那么log2a+23a-23=1，a+23a-23=2，解得a=2；2由1知，fx=log22-x2+x，定义域为-2,2；又关于x的方程fx=log2x-t有实数根，等价于x-2,2，使2-x2+x=x-t成破；即x-2,2，使t=x-2-x2+x成破；设gx=x-2-x2+x，x-2,2；那么gx=x+2-4x+2-1，x-2,2；设x+2=m，那么m0,4，函数gm=m-4m-1在m0,4时单调递增，gm-,2，从而可得t-,2，即实数t的取值范围是-,2