20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题3.6 三角函数性质的运用（解析版）.docx

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1、第六讲三角函数性质的运用【套路秘籍】-始于足下始于足下一yAsin(x)的有关不雅观点yAsin(x)(A0，0)，x0振幅周期频率相位初相ATfx二.用五点法画yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要寻五个特色点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0三.函数ysinx的图象经变卦掉掉落yAsin(x)(A0，0)的图象的两种路途【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一求分析式【例1】1函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0，0，2，那么AA=4B=1C=6DB=4【答案】1f(x)=sin(2x+)2C【分析】1由图可知A=,=-=,因此T=,故=2

2、,因此f(x)=sin(2x+).又函数图象过点(,0)因此2+=+2k,kZ,又按照|,因此=,故f(x)=sin(2x+).2如图按照函数的最大年夜值跟最小值得A+B=4A-B=0求得A=2,B=2函数的周期为512-64=，即=2,=2当x=6时取最大年夜值，即sin26+=1,26+=2k+22=6应选：C【套路总结】由yAsin(x)的图象判定分析式的方法(1)第一零点法：假设从图象可开门见山判定A跟，那么拔取“第一零点(即“五点法作图中的第一个点)的数据代入“x0(要留心精确揣摸哪一点是“第一零点)求得.(2)特不值法：通过假设干特不点代入函数式，可以求得相关待定系数A，.这里需要

3、留心的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能精确代出列式(3)图象变卦法：运用逆向思维的方法，先判定函数的全然分析式yAsinx，再按照图象平移法那么判定相关的参数【举一反三】1.函数yAsin(x)的部分图象如以下列图，那么()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin【答案】A【分析】由图可知，A2，最小正周期T，因此2，因此y2sin(2x)。又由于图象过点，因此2sin2，即2k(kZ)，当k0时，得，因此y2sin。2.已经清楚函数f(x)Atan(x)的部分图象如以下列图，那么f_.【答案】【分析】由题干图象知2，因此2.由于2k(kZ)，因此k(kZ)，又|0,0)

4、的部分图象如以下列图，那么函数f(4x)图象的对称中心为_.【答案】k3,1，kZ【分析】由题意，按照函数的图象可知A+B=3，且-A+B=-1，得A=2,B=1，那么f(x)=2sin(x+)+1，又由T2=2-23=43，即T=83，又由2w=83，得w=34，由五点对应法得2334+=2，得=0，即f(x)=2sin(34x)+1，那么f(4x)=2sin(344)+1=2sin(3x)+1，令3x=k，得x=k3，即函数的对称中心为(k3,1),kZ，故答案为：(k3,1),kZ4.假设直线x跟x是函数ycos(x)(0)图象的两条相邻对称轴，那么_.【答案】k，kZ【分析】由题意，函

5、数的周期T22，1，ycos(x)，当x时，函数取得最大年夜值或最小值，即cos1，可得k，kZ，k，kZ.考向二伸缩平移【例2】1要掉掉落函数y=3cos2x+sinxcosx-32的图象，只需将函数y=sin2x的图象A向左平移12个单位B向右平移12个单位C向左平移6个单位D向右平移6个单位2要掉掉落函数y=2cosx的图象，只需将y=2cos2x+4的图象所有点A横坐标伸长到原本的2倍，纵坐标波动，再向右平移4个单位长度B横坐标伸长到原本的2倍，纵坐标波动，再向右平移8个单位长度C横坐标延伸到原本的12倍，纵坐标波动，再向右平移4个单位长度D横坐标延伸到原本的12倍，纵坐标波动，再向左

6、平移8个单位长度3假设函数f(x)cos，为了掉掉落函数g(x)sin2x的图象，那么只需将f(x)的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【答案】1C2A3A【分析】1函数y=3cos2x+sinxcosx-32=321+cos2x+sin2x2-32sin2x+3sin2x+6，故把函数y=sin2x的图象向左平移6个单位，可得函数y=3cos2x+sinxcosx-32的图象，应选：C2由题意，函数y=2cos2x+4图像所有点横坐标伸长为原本的2倍，纵坐标波动，可得函数y=2cosx+4，再将函数y=2cosx+4图象上个点向右平移4个

7、单位长度，即可得函数y=2cosx的图象应选：A3函数f(x)cossinsin，为了掉掉落函数g(x)sin2x的图象，那么只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可。应选A。【套路总结】一参数A、对函数yAsin(x)图象的阻碍对函数ysin(x)图象的阻碍(0)对函数ysin(x)图象的阻碍A(A0)对函数yAsin(x)图象的阻碍二由函数ysinx的图象掉掉落函数yAsin(x)的图象的路途由函数ysinx的图象通过变卦掉掉落yAsin(x)的图象有两种要紧路途：“先平移后伸缩与“先伸缩后平移【举一反三】1已经清楚函数fx=sin3-2x，假设要掉掉落gx=sin-6-2x的图象，只需

8、将函数y=fx的图象上所有的点()A向左平移4个单位长度B向右平移4个单位长度C向左平移2个单位长度D向右平移2个单位长度【答案】A【分析】fxsin3-2x-sin2x-3=-sin2x-6，gxsin-6-2x=-sin6+2x=-sin2x+12要想掉掉落函数gxsin-6-2x的图象，只需把函数fxsin3-2x的图象上的所有的点向左平移4个单位应选：A2已经清楚曲线y=sin(2x+6)向左平移(0)个单位，掉掉落的曲线y=g(x)通过点(-12,1)，那么A函数y=g(x)的最小正周期T=2B函数y=g(x)在1112,1712上单调递增C曲线y=g(x)关于直线x=6对称D曲线y

9、=g(x)关于点(23,0)对称【答案】D【分析】解法1：由题意，得g(x)=sin(2x+6+2)，且g(-12)=1，即sin(2)=1，因此2=2k+2(kZ)，即=k+4(kZ)，故g(x)=sin(2x+23)，故y=g(x)的最小正周期T=，应选项A错；由于y=g(x)的单调递减区间为k-12,k+512(kZ)，应选项B错；曲线y=g(x)的对称轴方程为x=-12+k2(kZ)，应选项C错；由于g(23)=0，因此选项D精确，应选D.解法2：由于曲线y=sin(2x+6)向左平移(0)个单位，掉掉落的曲线y=g(x)特色保持波动，周期T=，故y=g(x)的最小正周期T=，应选项A

10、错；由其图象特色，易知y=g(x)的单调递减区间为k-12,k+512(kZ)，应选项B错；曲线y=g(x)的对称轴方程为x=-12+k2(kZ)，应选项C错；由于g(23)=0，因此选项D精确，应选D.3为掉掉落函数y=sin2x-23的图象，只需将函数y=cosx的图象上的所有点A横坐标伸长为原本的2倍，再向右平移512个单位长度B横坐标延伸为原本的12倍，再向右平移712个单位长度C向左平移76个单位长度，横坐标再延伸为原本的12倍D向右平移56个单位长度，横坐标再伸长为原本的2倍【答案】B【分析】y=sin2x-23=cos(2x-23-2)=cos(2x-76)，把y=cosx图象上

11、所有点的横坐标延伸为原本的12倍掉掉落y=cos2x的图象，再向右平移712个单位长度掉掉落y=cos2x-712=cos2x-76的图象，应选:B.4.函数ysin的图象可以由函数ycos的图象()A向右平移个单位长度掉掉落B向右平移个单位长度掉掉落C向左平移个单位长度掉掉落D向左平移个单位长度掉掉落【答案】B【分析】解法一：由ycossin，ysinsin，知函数ysin的图象可以由ycos的图象向右平移个单位长度掉掉落。解法二：在一致坐标系中画出两函数的部分图象如以下列图，易知选B。考向三函数yAsin(x)的图象及运用【例3】1假设将函数f(x)sin2xcos2x的图象向右平移个单位

12、长度，所得图象关于y轴对称，那么的最小正值是_2函数f(x)cos(0)的最小正周期是，那么其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是_3将函数ysin2x的图象向右平移个单位长度(0)，使得平移后的图象仍过点，那么的最小值为_【答案】12(kZ)3【分析】1f(x)sin2xcos2xcos，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为ycos，且该函数为偶函数，故2k(kZ)，因此的最小正值为.2由题意知2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后掉掉落函数g(x)coscossin2x的图象，由2k2x2k(kZ)，解得所求函数的单调递减区间为(kZ)3将ysin

13、2x的图象向右平移个单位长度(0)掉掉落ysin2(x)，代入点得sin，由于0，因此当2时，第一个正弦值为的角，现在最小，为.【套路总结】函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质1.奇偶性:=k(kZ)时,函数y=Asin(x+)为奇函数;=k+(kZ)时,函数y=Asin(x+)为偶函数.2.周期性:y=Asin(x+)存在周期性,其最小正周期为T=.3.单调性:按照y=sint跟t=x+的单调性来研究,由-+2kx+2k,kZ得单调递增区间;由+2kx+2k,kZ得单调递减区间.4.对称性:运用y=sinx的对称中心为(k,0)(kZ)求解,令x+=k(kZ),求得x.运用y=sinx

14、的对称轴为x=k+(kZ)求解,令x+=k+(kZ)得其对称轴.【举一反三】1将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，那么函数f(x)在上的最小值为_【答案】【分析】将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度掉掉落ysinsin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，那么k(kZ)，又|0,0,R),那么“f(x)是奇函数是“=的()A.充分不必要条件B.需要不充分条件C.充分需要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】假设f(x)是奇函数,那么f(0)=0,因此cos=0,因此=+k(kZ),故=不成破;假设=,那么f(x)=Acos(x+)=-A

15、sinx,f(x)是奇函数.因此f(x)是奇函数是=的需要不充分条件.应选B.3.设0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,那么的最小值是()A.B.CD.3【答案】C【分析】由题意得k=(kN*),因此=k(kN*),因此min=.考向四三角函数的零点征询题【例4】函数f(x)3sinxlogx的零点的个数是()A2B3C4D5【答案】D【分析】函数f(x)零点个数即为y3sinx与ylogx两函数图象的交点个数，如图，函数y3sinx与ylogx有5个交点。【举一反三】1.已经清楚关于x的方程2sin2xsin2xm10在上有两个差异的实数根，那么m的取值范围是_

16、【答案】(2，1)【分析】方程2sin2xsin2xm10可转化为m12sin2xsin2xcos2xsin2x2sin，x.设2xt，那么t，题目条件可转化为sint，t有两个差异的实数根y跟ysint，t的图象有两个差异交点，如图：由图象不雅观看知，的取值范围是，故m的取值范围是(2，1)考向五综合各运用【例5】已经清楚函数f(x)2sin(x)的部分图象如以下列图，假设f(0)，且8，B，C分不为最高点与最低点(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)假设将f(x)的图象向左平移个单位长度，掉掉落函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大年夜值跟最小值【答案】看法析【分析】(1)由

17、f(0)，可得2sin，即sin.又|，.由题意可知，那么88，T.故2，f(x)2sin.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由题意将f(x)的图象向左平移个单位长度，掉掉落函数g(x)的图象，g(x)f2sin2sin.x，2x，sin.当2x，即x0时，sin，g(x)取得最大年夜值，当2x，即x时，sin1，g(x)取得最小值2.【套路总结】处置三角函数图象与性质的综合征询题的一般步伐第一步：(化简)将f(x)化为asinxbcosx的方法；第二步：(用辅助角公式)构造f(x)；第三步：(求性质)运用f(x)sin(x)研究三角函数的性质【

18、举一反三】1.已经清楚函数f(x)4sinxcos.求f(x)在区间上的最大年夜值跟最小值及取得最值时x的值；假设方程f(x)t0在x上有唯一解，务虚数t的取值范围【答案】看法析【分析】f(x)4sinx2sinxcosx2sin2xsin2xcos2x2sin.由于x，因此2x，因此sin1，因此1f(x)2，当2x，即x时，f(x)min1；当2x，即x时，f(x)max2.由于当x时，2x，因此12sin2，且单调递增；当x时，2x，因此2sin2，且单调递减，因此f(x)t有唯一解时对应t的取值范围是t，1)或t2.2已经清楚函数f(x)Asin(x)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴

19、右侧的第一个最大年夜值点跟最小值点分不为(x0，2)跟(x03，2)(1)求f(x)的分析式；(2)将yf(x)图像上所有点的横坐标延伸到原本的，然后再将所掉掉落的图像向x轴正倾向平移个单位长度，掉掉落函数yg(x)的图像，写出g(x)的分析式，并作出在长度为一个周期上的图像【答案】看法析【分析】(1)由已经清楚，易得A2，(x03)x03，解得T6，因此.把(0，1)代入分析式f(x)2sin，得2sin1.又|0,0,|0,0,|0，2的最小正周期是，假设其图象向左平移3个单位后掉掉落的函数为偶函数，那么函数fx的图象A关于点12，0对称B关于直线x=12对称C关于点6，0对称D关于直线x

20、=6对称【答案】A【分析】由题意，函数fx=sinx+的最小正周期是，即2w=，解得w=2，因此fx=sin2x+，将函数fx的向左平移3个单位后掉掉落函数g(x)=sin2(x+3)+=sin(2x+23+)由于gx为偶函数，因此g(0)=sin(23+)=1，即23+=2+k,kZ，解得=-6+k,kZ，由于0，0的部分图象如以下列图、将函数f(x)的图象向左平移3个单位长度，掉掉落y=g(x)的图象，那么以下说法精确的选项是A函数g(x)为奇函数B函数g(x)的单调递增区间为-512+k,12+k(kZ)C函数g(x)为偶函数D函数g(x)的图象的对称轴为直线x=k+6(kZ)【答案】B

21、【分析】由函数f(x)=Asin(x+)的图像可知函数f(x)的周期为、过点512，3、最大年夜值为3，因此A=3,T=2=，=2，f512=3sin2512+=3，=-3+2kkZ，因此取k=0时，函数f(x)的分析式为f(x)=3sin2x-3，将函数f(x)的图像向左平移3个单位长度得g(x)=3sin2x+3-3=3sin2x+3，当-2+2k2x+32+2kkZ时，即x-512+k,12+k(kZ)时，函数g(x)单调递增，选B。5函数y=sin2x+6的图象可由函数y=3sin2x-cos2x的图象A向右平移3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原本的2倍，横坐标波动掉掉落B

22、向右平移6个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原本的2倍，横坐标波动掉掉落C向左平移3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标延伸到原本的12，横坐标波动掉掉落D向左平移6个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标延伸到原本的12，横坐标波动掉掉落【答案】D【分析】由y=3sin2x-cos2x得：y=2sin2x-6将它的图象向左平移6个单位，可得函数y=2sin2x+6-6=2sin2x+6的图象，再将上述图象上所有点的纵坐标延伸到原本的12，横坐标波动掉掉落：y=sin2x+6图象.应选：D6将函数y=2sin(3-2x)-cos(6+2x)(xR)的图像向右平移4个单位长度，所得图像对应的

23、函数A在(-2,0)上递增B在(-2,0)上递减C在(0,6)上递增D在(0,6)上递减【答案】C【分析】y=2sin(3-2x)-cos(6+2x)，=2(sin3cos2x-cos3sin2x)-cos6cos2x+sin6sin2x，=3cos2x-sin2x-32cos2x+12sin2x=32cos2x-12sin2x=cos(2x+6)，向右平移4个单位长度掉掉落f(x)=cos2(x-4)+6=cos(2x-3)，函数f(x)=cos(2x-3)的单调递增区间为-+2k2x-32k(kZ)，即当-3+2kx6+2k(kZ)时，f(x)是增函数，由于(0,6)在函数f(x)的单调递

24、增区间上，因此函数f(x)在(0,6)上为增函数，应选C。7已经清楚函数fx=sin2x+3cos2x，给出以下四个结论：函数fx的最小正周期是函数fx在区间-6,3上是减函数函数fx的图像关于点3,0对称函数fx的图像可由函数y=2sin2x的图像向左平移3个单位掉掉落其中精确结论的个数是A1B2C3D4【答案】B【分析】fx=sin2x+3cos2x=2sin(2x+3)由于2，那么fx的最小正周期T，结论精确当x-6,3时，2x+30,，y=sinx在0,上不是单调函数，结论差错由于f30，那么函数fx图象的一个对称中心为3,0结论精确函数fx的图象可由函数ysin2x的图象向左平移6个

25、单位掉掉落结论差错故精确结论有，应选B.8将函数f(x)=2sin2x的图象向右平移02个单位后掉掉落函数g(x)的图象，假设方程fx1-gx2=4的根x1，x2称心x1-x2min=6，那么的值是A4B6C3D2【答案】C【分析】由题gx=2sin2x-=2sin(2x-2),那么fx1-gx2=2sin2x1-2sin(2x2-2)=4，不妨设2sin2x1=2，2sin(2x2-2)=-2，那么2x1=2k1+2,2x2-2=2k2-2,k1,k2Z,那么x1-x2=k1+4-k2-4+=k1-k2+2-，又00)的图像向左平移4个单位后与原函数的图像重合，那么实数的值可以是A6B10C

26、12D16【答案】D【分析】由于f(x)=2sin(x+6)，由题意可得4是f(x)的一个周期，因此k2=4，k为正整数即=8k，结合选项可得D精确.10将函数y=sin2x的图像向右平移0个单位后与y=-sin2x的图像重合，那么的最小值为A6B4C3D2【答案】D【分析】由于将函数y=sin2x的图像向右平移(0)个单位后，可得y=sin(2x-2)，由题意可得sin2x-2=-sin2x，因此2=+2k，kZ,因此=2+k，kZ,又0，因此的最小值为2.应选D11将函数y=sin2x+3图像上各点的横坐标伸长为原本的2倍，再向左平移6个单位，所得函数的一个对称中心可以是A0,0B6,0C

27、3,0D2,0【答案】D【分析】将函数y=sin2x+3图像上各点的横坐标伸长为原本的2倍，再向左平移6个单位，所得函数分析式为y=sinx+2=cosx，因此其对称中心为2+k,0kZ.应选D12已经清楚函数f(x)=3sin2x-cos2x的图象向左平移3个单位长度，横坐标伸长为原本的2倍得函数g(x)的图象，那么以下区间为g(x)的单调递增区间的是A(-2,0)B(-2,6)C(0,6)D(6,23)【答案】A【分析】函数fx=3sin2x-cos2x=2sin2x-6，向左平移3个单位长度，可得y=2sin2x+3-6=2sin2x+2=2cos2x再把所得图象上每个点横坐标伸长为原本

28、的2倍得函数g(x)的图象，gx=2cosx，令2k-x2k，kZ，当k0时，函数ygx的一个单调递增区间为：-，0应选：A13已经清楚函数f(x)=2sin(2x+3)，那么以下说法不精确的选项是A函数y=f(x)的周期为B函数y=f(x)的图像关于点(-6,0)对称C将函数y=f(x)的图像向右平行移动6个单位掉掉落函数y=2sin2x的图像D函数y=f(x)的图像关于直线x=3对称【答案】D【分析】fx的最小正周期为T=22=，故A选项精确.f-6=2sin2-6+3=0，故B选项精确.将函数y=f(x)的图像向右平行移动6个单位掉掉落函数y=sin2x-6+3=2sin2x，故C选项精

29、确.f3=2sin=0，故x=3不是fx的对称轴，即D选项说法差错.因此本小题选D.14函数fx=Asinx+其中A0,2的图象如以下列图，为了掉掉落gx=cos2x的图象，那么只需将fx的图象A向右平移6B向右平移12C向左平移6D向左平移12【答案】D【分析】由图象得A=1,T=4(712-3)=，因此=2，f(x)=sin(2x+)又点(712,-1)为函数图象上的一个最低点，2712+=32+2k,kZ，=3+2k,kZ，又0)在区间上单调递减，那么的取值范围是()ABCD【答案】D【分析】令2kx2k(kZ)，得x，由于f(x)在上单调递减，因此得：6k4k3。又0，因此k0，又6k

30、4k3，得0k0)的一条对称轴x，一个对称中心为点，那么有()A最小值2B最大年夜值2C最小值1D最大年夜值1【答案】A【分析】由于函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，因此，中心到对称轴x间的距离用周期可表示为(kN，T为周期)，解得(2k1)T，又T，因此(2k1)，那么2(2k1)，当k0时，2最小。应选A。17.假设函数ycos(N*)的图象的一个对称中心是，那么的最小值为()A1B2C4D8【答案】B【分析】依题意得cos0，那么k，kZ，解得6k2，又N*，因此的最小值为2。18.已经清楚函数f(x)2sinx在区间上的最小值为2，那么的取值范围是_。【答案】(

31、，2【分析】显然0。假设0，当x时，x，由于函数f(x)2sinx在区间上的最小值为2，因此，解得。假设0)，ff，且f(x)在区间内有最小值无最大年夜值，那么_。【答案】【分析】由于ff，而，因此f(x)的图象关于直线x对称，又f(x)在区间内有最小值无最大年夜值，因此f(x)minfsin1，因此k，kZ，解得4k。再由f(x)在区间内有最小值无最大年夜值，得T，解得12，因此k0，。20.函数f(x)cos(x)(0)的部分图象如以下列图，那么f(x)的单调递减区间为_【答案】，kZ【分析】由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0)

32、个单位长度后，掉掉落函数g(x)的图象关于点对称，那么m的最小值为_【答案】【分析】依题意得解得，故2，那么f(x)sin(2x).又fsin，故2k(kZ)，即2k(kZ)由于|0，因此m的最小值为.22.已经清楚函数f(x)sinxcosx(0)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，假设相邻交点距离的最小值为，那么f(x)的最小正周期为_【答案】【分析】f(x)sinxcosx2sin(0)由2sin1，得sin，x2k或x2k(kZ)令k0，得x1，x2，x10，x2.由|x1x2|，得，2.故f(x)的最小正周期T.23已经清楚函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1

33、，且关于直线x对称，假设存在x，使m23mf(x)成破，那么实数m的取值范围为_【答案】(，12，)【分析】函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，Asin1，即Asin.函数f(x)Asin(2x)的图象关于直线x对称，2k，kZ，又0，Asin，A，f(x)sin.当x时，2x，当2x，即x时，f(x)min2.令m23m2，解得m2或m1.24设函数f(x)sinsin，其中03.已经清楚f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原本的2倍(纵坐标波动)，再将掉掉落的图象向左平移个单位长度，掉掉落函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值【答案】看法

34、析【分析】(1)由于f(x)sinsin，因此f(x)sinxcosxcosxsinxcosxsin.由题设知f0，因此k，kZ，故6k2，kZ.又03，因此2.(2)由(1)得f(x)sin，因此g(x)sinsin.由于x，因此x，当x，即x时，g(x)取得最小值25已经清楚函数f(x)=sin(13x+3)+cos(13x-6)1用五点作图法画出f(x)在长度为一个周期的区间上的图象；2求函数f(x)的单调递增区间；3简述怎么样由y=sinx的图象通过适当的图象变卦掉掉落f(x)的图象？【答案】看法析【分析】1f(x)=sin(x3+3)+cos(x3-6)=(12sinx3+32cosx3)+(32cosx3+1