知识讲解_三角函数的图象和性质_基础.doc

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1、正弦、余弦的图象跟性质编稿：李霞审稿：孙永钊【考大年夜纲求】1、会用“五点法画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉全然三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数跟最小正周期的意思.2、理解正弦函数、余弦函数在区间的性质如单调性、最大年夜跟最小值、与轴交点等,理解正切函数在区间的单调性.【知识搜集】运用三角函数的图象与性质正弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质正切函数的图象与性质【考点梳理】考点一、“五点法作图在判定正弦函数在上的图象形状时，最其关键感染的五个点是，考点二、三角函数的图象跟性质名称定义域值域图象奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性单调增区间:()单调减区间:)单调

2、增区间:()单调减区间:()()单调增区间：()周期性对称性对称中心:,对称轴:，对称中心:,对称轴:,对称中心:,对称轴：无最值时，；时，时，；时，无要点说明：三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大年夜值跟最小值、对称性等，要结合图象阅历性质，反过来，再运用性质稳定图象三角函数的性质的讨论仍要按照定义域优先的原那么，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域研究三角函数的图象跟性质，应重视从数跟形两个角度见解，留心用数形结合的思想方法去分析征询题、处置征询题.考点三、周期一般地，关于函数，假设存在一个不为0的常数,使妥善取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫

3、做周期函数，非零常数叫做谁人函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期函数的周期一般指最小正周期.要点说明：应操纵一些复杂函数的周期：函数或的周期；函数的周期；函数的周期；函数的周期.【模典范题】典范一、定义域例1求函数的定义域.【思路点拨】按照要使偶次根式有意思只需偶次根式下大年夜于等于零即可，同时对数要有意思，再结合单位圆中的三角函数线解不等式即可.【分析】为使函数有意思，需称心，解得，由单位圆，如以下列图：故函数的定义域为.【总结升华】求函数的定义域素日是解不等式组，运用“数形结合.在求解三角函数中，我们可以在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形地域的交集来完成

4、.举一反三：【变式】求函数的定义域.【分析】为使函数有意思，需称心，即，解得，由单位圆，如以下列图：函数的定义域为.例2求函数的定义域.【思路点拨】只需，同时对数要有意思，即底且，真数.【分析】由题有将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后取大年夜众部分，由于x-5,5，故上面的不等式的范围只取落入-5，5之内的值，即：因此函数的定义域为：【总结升华】sinx中的自变量x的单位是“弧度，xR，不是角度.求定义域时，假设需先把式子化简，肯定要留心变形时x的取值范围不克不迭发生变卦.求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.举一反三：【变式1】求函数的定义

5、域：1；2.【分析】1要使得函数有意思，需称心，解得或，定义域为：.2要使得函数有意思，需称心解得定义域为：.【变式2】已经清楚的定义域为，求的定义域.【分析】中，中，解得，的定义域为：.典范二、值域例3.求以下函数的值域：12【思路点拨】1分析式运用二倍角的正弦公式化简后求值域；2运用两角跟公式对函数分析式化简拾掇，进而按照正弦函数的性质求得函数的最大年夜值与最小值，留心自变量的取值范围.【分析】1按照可知，故函数的值域为.2，由知，由正弦函数的单调性可知，故函数的值域为.【总结升华】形如或，可按照的有界性来求最值；形如或可看成关于的二次函数，但也要留心它与二次函数求最值的区不，其中；形如可

6、化为其中的方法来判定最值.举一反三：【变式】已经清楚且，求函数的值域.【分析】,且，且，由正切函数的单调性可知或，故函数的值域为.典范三、奇偶性例4.揣摸以下函数的奇偶性：12【思路点拨】1先不雅观看定义域为R，再揣摸f(x)与f-x的关系，可得答案；2先不雅观看定义域，留心到定义域区间不关于原点对称，易得出答案.【分析】1函数的定义域为R，是偶函数.2由题意有，故，因此函数的定义域为，显然函数的定义域区间不关于原点对称，因此函数既不是奇函数也不是偶函数.【总结升华】定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的需要不充分条件。揣摸函数奇偶性稀有步伐：判定定义域是否关于原点对称；判定f(x)与f-x的关

7、系.举一反三：【变式】揣摸函数的奇偶性.【分析】，故是奇函数.典范四、周期性例5.(1)(上海模拟)“a=1是函数的最小正周期为的()A.充分不必要条件B.需要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(绥化一模)假设函数的最小正周期为，假设对任意都有，那么的值为()A.B.C.D.【答案】(1)A(2)C【分析】(1)函数它的周期为解得显然“a=1可得“函数的最小正周期为然后者推不出前者.应选A.【分析】(2)设，因此那么函数的周期，那么，即假设对任意都有，那么为函数的最值，即那么.应选C.【总结升华】求三角函数式的最小正周期时，要尽可以地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1

8、的方法，比如或的方法，否那么特别随便出现差错.函数或的周期，函数的周期.举一反三：【变式】求函数的最小正周期1；2；3【分析】1，周期为；2，周期为；3，周期为.典范五、单调区间例6求函数的单调区间.【思路点拨】借助正弦函数图象及含有绝对值的函数图象的画法，来帮助分析.【分析】令，那么，函数的周期为，且图象如以下列图：显然，事前，单调递减；事前，单调递增；事前，单调递减；事前，单调递增；故的单调递减区间为；单调递增区间为.【总结升华】复合三角函数的单调区间是运用全然函数的单调性及单调区间得出来的.举一反三：【变式】求函数的单调区间：【分析】令，那么，且显然函数在不断是单调递减的，因此时，单调递

9、增，单调递减；时，单调递减，单调递增；故单调递减区间为；单调递增区间为.典范六、综合例72016北京高考已经清楚函数fx=2sinxcosx+cos2x0的最小正周期为.求的值；求fx的单调递增区间.【思路点拨】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，1按照最小正周期求出的值2运用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可【分析】由于且0，因此fx的最小正周期，由题意得，解得=1.()由知函数的单调递增区间为由，得因此fx的单调递增区间为【总结升华】关于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形转化为或的方法停顿.留心三角函数的单调性的求解.举一反三：【变式1】已经清楚函数(1)求的最小正周期跟最大年夜值;(2)讨论在上的单调性.【分析】(1)函数故函数的周期为，最大年夜值为.(2)事前，故事前，即时，为增函数.事前，即时，为减函数.【变式2】已经清楚函数1求函数的最小正周期跟图象的对称轴方程；2求函数在区间上的值域.【分析】1的最小正周期由，得函数图象的对称轴方程为：2由于在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此事前，取最大年夜值1，又，事前，取最小值,因此函数在区间上的值域为.