20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.12 定直线（解析版）.docx

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1、第十二讲定直线【套路秘籍】-始于足下始于足下定直线征询题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，因而所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一求定直线【例3】已经清楚A,B两点在抛物线C:x2=4y上，点M0,4称心MA=BM1假设线段AB=122，求直线AB的方程；2设抛物线C过A、B两点的切线交于点N求证：点N在一条定直线上【答案】1y=2x+4；2看法析【分析】1设Ax1,y1,Bx2,y2，lAB:y=kx+4与x2=4y联破得x2-4kx-16=0，=-4k2-4-16=16k2+640，x1+x2=4k,x1

2、x2=-16，AB=1+k2x1+x22-4x1x2=1+k24k2+4，又AB=122，即1+k24k2+4=122，解得：k2=2,k2=-7舍，因而直线的方程y=2x+42证明：过点A的切线：y=12x1x-x1+y1=12x1x-14x12，过点B的切线：y=12x2x-14x22，联破得点Nx1+x22,-4，因而点N在定直线y=-4上【举一反三】1已经清楚抛物线C：x2=2py(p0)的中心为F，点M(2,m)(m0)在抛物线上，且MF=2.1求抛物线C的方程；2假设点P(x0,y0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，过点F作切线l0的垂线，垂足为Q，那么点Q是否在定直线上，

3、假设是，求定直线的方程；假设不是，说明因由.【答案】1x2=4y2看法析【分析】1由抛物线的定义可知，MF=m+p2=2，又M(2,m)在抛物线上，因而2pm=4，由，解得p=2，m=1，因而抛物线C的方程为x2=4y.2当x0=0，即点P为原点时，易知点Q在直线y=0上；当x00，即点P不在原点时，由1得，x2=4y，那么y=12x，因而在点P处的切线的歪率为12x0，因而在点P处的切线l0的方程为y-y0=12x0(x-x0)，又x02=4y0，因而y-y0=12x0(x-x0)可化为y=12x0x-y0.又过点F与切线l0垂直的方程为y-1=-2x0x，联破方程y=12x0x-y0y-1

4、=-2x0x，消去x，得y=-14(y-1)x02-y0.(*)由于x02=4y0，因而(*)可化为y=-yy0，即(y0+1)y=0，由y00，可知y=0，即垂足Q必在x轴上.因而点Q必在直线y=0上，综上，点Q必在直线y=0上.考向二证明点在定直线上【例2】如图，菱形ABCD的面积为82.ABAD=-4，歪率为k的直线l交y轴于点P，且OP=2OA，以线段BD为长轴，AC为短轴的椭圆与直线l订交于M,N两点M与A在x轴同侧.1求椭圆的方程；2求证：AN与CM的交点在定直线y=1上.【答案】1x28+y24=12见证明【分析】1设A(0,b),B(-a,0),D(a,0),AB(-a,-b)

5、,AD=(a,-b).ABAD=-a2+b2,2ab=82-a2+b2=-4解得a2=8,b2=4椭圆方程为x28+y24=12易得P(0,4)，设直线l:y=kx+4与椭圆x2+2y2=8联破，得(1+2k2)x2+16kx+24=0由0得k232，设Mx1,kx1+4,Nx2,kx2+4，x1+x2=-16k1+2k2,x1x2=241+2k2kMC=kx1+6x1直线MC的方程为y+2=kx1+6x1xkAN=kx2+2x2直线AN的方程为y-2=kx2+2x2x联破消去x，得(y+2)x1kx1+6=(y-2)x2kx2+2y+2y-2=x2kx1+6x1kx2+2=kx1x2+6x2

6、kx1x2+2x1=24k1+2k2+6x224k1+2k2+2x1=12k1+2k2+3x212k1+2k2+x1=12k1+2k2+3x212k1+2k2+-16k1+2k2-x2=34k1+2k2+x2-4k1+2k2+x2=-3y=1从而命题得证【举一反三】1已经清楚点(1,2)，(22,-3)都在椭圆C：y2a2+x2b2=1(ab0)上.1求椭圆C的方程；2过点M(0,1)的直线l与椭圆C交于差异的两点P，Q异于顶点，记椭圆C与y轴的两个交点分不为A1，A2，假设直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上.【答案】1y24+x22=1；2看法析.【分析】1由题意得2a2

7、+1b2=1,3a2+12b2=1,，得a2=4,b2=2.，故椭圆C的方程为y24+x22=1.2由题意可设直线l的方程为y=kx+1，Px1,y1，Qx2,y2.联破y24+x22=1,y=kx+1,拾掇得k2+2x2+2kx-3=0.因而x1+x2=-2kk2+2，x1x2=-3k2+2，那么2kx1x2=3x1+x2.由题意不妨设A10,2，A20,-2，那么直线A1P的方程为x=x1y1-2y-2，直线A2Q的方程为x=x2y2+2y+2.联破x=x1y1-2y-2,x=x2y2+2y+2,拾掇得y2+2x1y-2=y1-2x2y+2，因而3x1+x2y=4kx1x2+6x1-2x2

8、.把代入上式，得3x1+x2y=4kx1x2+6x1-2x2=6x1+x2+6x1-2x2=12x1+4x2，当x2-3x1时，可得y=4，当x2=-3x1时，易求kA1P=kA2Q=kx1-1x1，即A1PA2Q不符合题意.综上，故点S恒在直线y=4上.【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1已经清楚点F(4,0),H(418,0)，ABC的两顶点A(-2,0),B(-12,0)，且点C称心CA=2CB1求动点C的轨迹方程；2设a=(5,0),b=(0,3),OC=(aOC,bOC)，求动点C的轨迹方程；3过点F的动直线l与曲线C交于差异两点M,N，过点M作y轴垂线l，试揣摸直线l与直

9、线NH的交点是否恒在一条定直线上？假设是，求该定直线的方程，否那么，说明因由【答案】1x2+y2=1y0；2x225+y29=1y0；3两直线l，NH的交点恒落在直线x=254上。【分析】1设动点Cx,y，其中y0.由x+22+y2=2x+12+y2得：x2+y2=1y02设点Cx,y，由x=5x,y=3y,得x=x5,y=y3,代入1中的方程得：x225+y29=1y0，即曲线C的轨迹方程为x225+y29=1y0.3显然过点F4,0的直线l不垂直y轴，设l:x=my+4，同时设Mx1,y1，Nx2,y2.由x=my+4,x225+y29=1,消x拾掇得：9m2+25y2+72my-81=0

10、.由韦达定理得：y1+y2=-72m9m2+25，y1y2=-819m2+25.直线l1:y=y.直线NH:y=y2x2-418x2-418.联破求解交点，消y得：y1=y2my2-98x-418.x=418+my1y2-98y1y2.把韦达定理中的y1y2=-819m2+25及变方法y1=-y2-72m9m2+25代入上式得：x=418+-81m9m2+25+98y2+72m9m2+25y2=254与m有关.故两直线l，NH的交点恒落在直线x=254上.2已经清楚椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)跟抛物线C2:x2=2py(p0)，在C1，C2上各取两个点，这四个点的坐标为(2,1)

11、，-2,0，1,22，-4,4求C1，C2的方程；设P是C2在第一象限上的点，C2在点P处的切线l与C1交于A,B两点，线段AB的中点为D，过原点O的直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点Q，证明：点Q在定直线上【答案】(1)C1:x22+y2=1,C2:x2=4y;(2)看法析.【分析】由已经清楚，点-2,0，1,22在椭圆C1上，因而2a2=1，1a2+12b2=1解得：a2=2，b2=1，因而C1:x22+y2=1；点2,1，-4,4在抛物线C2上，因而p=2，因而C2:x2=4y设Pm,m24（m0），由x2=4y得y=12x，因而切线l的方程为：y-m24=m2x-m，设Ax1,y

12、1，Bx2,y2，由y-m24=m2(x-m)x22+y2=1得：(m2+2)x2-m3x+m44-4=0由0，x1+x2=m3m2+2得xD=m32(m2+2)，代入y-m24=m2x-m得yD=-m22(m2+2)，因而kOD=yDxD=-1m，因而lOD:y=-1mx，由x=my=-1mx得y=-1，因而点Q在定直线y=-1上3已经清楚抛物线E：x2=4y，过x轴上一点M差异于原点的直线l与E交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，与y轴交于C点.1假设MA=MC，MB=MC，求的值；2假设M(4,0)，过A，B分不作E的切线，两切线交于点P，证明：点P在定直线方程上，求出此定直线.

13、【答案】112交点P在直线y=2x上【分析】1设M(n,0)，C(0,yC)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由MA=MC，MB=MC得，(x1-n,y1)=(-n,yC)，(x2-n,y2)=(-n,yC)，因而=n-x1n，=n-x2n，设l：y=k(x-n)，联破y=k(x-n)x2=4y，那么x2-4kx+4kn=0，=(4k)2-44kn0，因而k2-kn0，那么x1+x2=4k，x1x2=4kn，因而=n2-n(x1+x2)+x1x2n2=n2-4nk+4knn2=1.2设Px,y，x2=4y，即y=x24，有y=x2.过A的切线方程为y-y1=x12(x-x1)，即y=x1x

14、2-x124，因而过B的切线方程为y=x2x2-x224，两方程联破得x=x1+x22，y=x1x24，由1知x1+x2=4k，x1x2=16k，因而x=2k，y=4k，因而y=2x，即交点P在直线y=2x上.4已经清楚椭圆W:x24m+y2m=1的长轴长为4，左、右顶点分不为A,B，经过点P(1,0)的动直线与椭圆W订交于差异的两点C,D不与点A,B重合.1求椭圆W的方程及离心率；2求四边形ACBD面积的最大年夜值；3假设直线CB与直线AD订交于点M，揣摸点M是否位于一条定直线上？假设是，写出该直线的方程.结论不恳求证明【答案】x24+y2=1，离心率e=3223x=4【分析】由题意，得a2

15、=4m=4,解得m=1.因而椭圆W方程为x24+y2=1.故a=2，b=1，c=a2-b2=3.因而椭圆W的离心率e=ca=32.当直线CD的歪率k不存在时，由题意，得CD的方程为x=1，代入椭圆W的方程，得C(1,32)，D(1,-32)，又由于|AB|=2a=4，ABCD，因而四边形ACBD的面积S=12|AB|CD|=23.当直线CD的歪率k存在时，设CD的方程为y=k(x-1)(k0)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，联破方程y=k(x-1),x24+y2=1,消去y，得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0.由题意，可知0恒成破，那么x1+x2=8k24k2+1，x1x2=

16、4k2-44k2+1四边形ACBD的面积S=SABC+SABD=12|AB|y1|+12|AB|y2|=12|AB|y1-y2|=2|k(x1-x2)|=2k2(x1+x2)2-4x1x2=8k2(3k2+1)(4k2+1)2，设4k2+1=t，那么四边形ACBD的面积S=2-1t2-2t+3，1t(0,1)，因而S=2-(1t+1)2+40恒成破，y1y2=-8,y1+y2=4m，那么x1x2=y1y2216=4，x1+x2=ty1+y2+4=4m2+4由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P，那么PAPB=0，x1x2-x1+x2+1+y1y2-2y1+y2+4=04m2+8m+3=0，那么m

17、=-12或m=-32那么直线l的方程为y=-2x+4或y=-23x+436已经清楚是抛物线的中心，为抛物线上差异的两点，分不是抛物线在点、点处的切线，是的交点1当直线经过中心时，求证：点在定直线上；2假设，求的值【答案】()看法析;()4.【分析】()抛物线，那么，切线PA的方程为，即，同理切线PB的方程为，联破得点，设直线AB的方程为，代入得。因而因而点P在直线y=-1上()设直线AB的方程为，代入得。，因而，7已经清楚动圆过定点(1,0)，且与直线x=-1相切1求动圆的圆心M的轨迹C的方程；2假设曲线C上一点A(x0,4)，是否存在直线m与抛物线C订交于两差异的点B,C，使ABC的垂心为H

18、(8,0)假设存在，求直线m的方程；假设不存在，说明因由【答案】1y2=4x2存在如斯的直线m，其方程是y=x-16.【分析】1如图，设M为动圆圆心，设F(1,0)，过点M作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|即动点M到定点F与到定直线x=-1的距离相当，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(1,0)为中心，x=-1为准线，动圆圆心M的轨迹方程为y2=4x另法：设M(x,y)|MF|=|MN|,|x+1|=(x-1)2+y2，化简得y2=4x2易求出抛物线C上的点A(4,4)，假设存在直线m与抛物线C订交于两差异的点B、C，使ABC的垂心为H(8,0)，设B(x1

19、,y1),C(x2,y2),显然直线AH的歪率为-1，那么直线m的歪率为1，设直线m的方程是y=x+b，由y2=4xy=x+b,消去x化简得：y2-4y+4b=0,y1+y2=4,y1y2=4b,=16-16b0，即bb0)的长轴长为4，离心率为221求椭圆的标准方程；2过P(1,0)作动直线AB交椭圆于A,B两点，Q为破体上一点，直线QA,QB,QP的歪率分不为k1,k2,k0，且称心k1+k2=2k0，征询Q点是否在某定直线上运动，假设存在，求出该直线方程；假设不存在，请说明因由【答案】1x24+y22=1；2x=4【分析】【分析】1依题意，2a=4,a=2，而e=ca=22,c=2,b=

20、a2-c2=2，从而椭圆的方程为x24+y22=12当直线AB的歪率存在时，设直线AB:y=k(x-1)与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)，设Q(x0,y0)，将y=k(x-1)代入x2+2y2-4=0，得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0，显然0x1+x2=4k22k2+1x1x2=2k2-42k2+1，由已经清楚条件k1+k2=2k0，得y0-y1x0-x1+y0-y2x0-x2=2y0x0-1，.即y0-y1x0-x1-y0x0-1+y0-y2x0-x2-y0x0-1=0，将y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)代入，拾掇得：(x1-1)(y0-kx0+k)(x0-x1)(x0-1)+(x2-1)(y0-kx0+k)(x0-x2)(x0-1)=0，而y0-kx0+k0,因而x1-1x0-x1+x2-1x0-x2=0，即：(x0+1)(x1+x2)-2x1x2-2x0=0，(x0+1)4k21+2k2-22k2-41+2k2-2x0=0，即(x0+1)4k2-4k2+8-2x0-4k2x0=0,x0=4当直线AB的歪率不存在时，经检验符合题意综上，点Q的轨迹方程为：x=4