20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.13 最值问题（解析版）.docx

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1、第十三讲最值征询题【套路秘籍】-始于足下始于足下一圆锥曲线求最值或取值范围1.两种类型1涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些征询题；2求直线或圆锥曲线中几多何元素的最值以及这些元素存在最值时判定与之有关的一些征询题2.两种解法1几多何法，假设题目的条件跟结论能清楚表达几多何特色及意思，那么考虑使用图形性质来处置；2代数法，假设题目的条件跟结论能表达一种清楚的函数关系，那么可先树破起目的函数，再求谁人函数的最值，最值常用全然不等式法、配方法及导数法求解在使用代数法处置最值与范围征询题时常从以下几多个方面考虑：使用判不式来构造不等关系，从而判定参数的取值范围；使用隐含或已经清楚的不等关系树破不等

2、式，从而求出参数的取值范围；使用全然不等式求出参数的取值范围；使用函数的值域的求法，判定参数的取值范围3.处置圆锥曲线中的取值范围征询题应考虑的五个方面(1)使用圆锥曲线的几多何性质或判不式构造不等关系，从而判定参数的取值范围；(2)使用已经清楚参数的范围，求新参数的范围，解这类征询题的中心是树破两个参数之间的等量关系；(3)使用隐含的不等关系树破不等式，从而求出参数的取值范围；(4)使用已经清楚的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)使用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而判定参数的取值范围【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一单变量最值征询

3、题转化为函数最值来【例1】已经清楚圆x2y21过椭圆1(ab0)的两中心，与椭圆有且仅有两个大年夜众点，直线l：ykxm与圆x2y21相切，与椭圆1订交于A，B两点记，且.(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求OAB的面积S的取值范围【答案】1y21.2.3【分析】(1)由题意知2c2，因此c1.因为圆与椭圆有且只需两个大年夜众点，从而b1，故a，因此所求椭圆方程为y21.(2)因为直线l：ykxm与圆x2y21相切，因此原点O到直线l的距离为1，即m2k21.由消去y，得(12k2)x24kmx2m220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，x1x2.x1x2y1

4、y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2，由，得k21，即k的取值范围是.(3)|AB|，由k21，得|AB|.设OAB的AB边上的高为d，那么S|AB|d|AB|，因此S，即OAB的面积S的取值范围是【举一反三】1已经清楚椭圆C的左、右中心分不为F1(1,0)，F2(1,0)，且F2到直线xy90的距离等于椭圆的短轴长(1)求椭圆C的方程；(2)假设圆P的圆心为P(0，t)(t0)，且通过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大年夜值为时，求t的值【答案】11(2)【答案】(1)设椭圆的方程为1(ab0)依题意可知，2b4，因此b2.又c1，

5、故a2b2c25，故椭圆C的方程为1.(2)由题意，圆P的方程为x2(yt)2t21.设Q(x0，y0)，因为PMQM，因此|QM|.假设4t2,即t，当y02时，|QM|取得最大年夜值，|QM|max，解得t(舍去)假设4t2，即0t，当y04t时，|QM|取最大年夜值，且|QM|max，解得t.综上可知，当t时，|QM|的最大年夜值为.2已经清楚椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右中心为F1，F2，且半焦距为1，直线l通过点F2，当l垂直于x轴时，与椭圆C交于A1，B1两点，且|A1B1|=2(1)求椭圆C的方程；(2)当直线l不与x轴垂直时，与椭圆C订交于A2，B2两点，取F

6、2A2F2B2的取值范围【答案】1x22+y2=1；2-1,12【分析】(1)由题意可知：c=1，由椭圆的通径公式可知：|A1B1|=2b2a=2，即a=2b2，a2-b2=c2=1，解得：a=2，b=1，椭圆的标准方程：x22+y2=1；(2)由(1)可知椭圆的右中心F2(1,0)，当直线l与x轴不重合时，设直线l方程x=my+1，A2(x1,y1)，B2(x2,y2)，联破直线与椭圆方程x=my+1x2+2y2=2，拾掇得：(m2+2)y2+2my-1=0，那么y1+y2=-2mm2+2，y1y2=-1m2+2，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，x1x2=(my1+1)(my2

7、+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=2-2m2m2+2，F2A2F2B2=(x1-1,y1)(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=-m2+1m2+2=-(1-1m2+2)=-1+1m2+2(-1,12，当直线l与x轴重合时，那么A2(-2,0)，B2(2,0)，那么F2A2F2B2=(-2-1,0)(2-1,0)=-1，F2A2F2B2的取值范围-1,12.3在破体直角坐标系xOy内，有一动点P到直线x=433的距离跟到点(3,0)的距离比值是233.I求动点P的轨迹C的方程；II已经清楚点A(2,0)，假设P不在x轴上，过点O作线段AP的垂线l交曲线C于点D，E

8、，求|DE|AP|的取值范围.【答案】Ix24+y2=1；II12,+【分析】I设动点P的坐标为x,y，按照题意得x-433(x-3)2+y2=233，化简得曲线C的方程为：x24+y2=1.II因为P不在x轴上，故直线AP的歪率不为0，设直线AP的方程为y=k(x-2)，那么直线DE的方程为y=-1kx.由y=k(x-2)x24+y2=1得1+4k2x2-16k2x+16k2-4=0.设Px0,y0，因此2+x0=16k24k2+1，即x0=8k2-24k2+1.故|AP=x0-22+y0-02=1+k2x0-22.得|AP|=41+k24k2+1.设Dx1,y1，由椭圆对称性可知|DE|=

9、2|OD|.由y=-1kxx24+y2=1解得x12=4k24+k2，y12=44+k2，|OD|=x12+y12=21+k2k2+4，因此|DE|=41+k2k2+4.因此|DE|AP|=41+k2k2+441+k24k2+1=4k2+1k2+4.设t=k2+4，那么k2=t2-4，t2.|DE|AP|=4t2-4+1t=4t2-15t(t2).令g(t)=4t2-15t(t2)，那么g(t)=4t2+15t20.因此g(t)是一个增函数，因此|DE|AP|=4t2-15t44-152=12.综上，|DE|AP|的取值范围是12,+.【套路总结】求动点的轨迹方程，一般有如下几多种方法：几多何

10、法：看动点是否称心一些几多何性质，如圆锥曲线的定义等；动点转移：设出动点的坐标，其他的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可掉掉落欲求的动点轨迹方程；参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联破方程组并消元掉掉落关于x或y的一元二次方程，使用直线过已经清楚点在椭圆上可求直线与椭圆的另一个交点坐标用歪率表示，再由距离公式掉掉落目的函数后使用换元法可求函数的值域.考向二二元变量最值征询题转化为二次函数最值【例3】已经清楚椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为23，且离心率为12，圆D:x2+y2=a2+b2

11、(1)求椭圆C的方程，(2)点P在圆D上，F为椭圆右中心，线段PF与椭圆C订交于Q，假设PF=QF，求的取值范围【答案】1x24+y23=127+13,53【分析】1由题可知2b=23e=ca=12，又a2=b2+c2，解得b=3a=2椭圆C的方程为x24+y23=12由1知圆D:x2+y2=7D:x2+y2=7，点F坐标为1,0设Px1,y1，Qx0,y0，由PF=QF可得：1-x1,-y1=1-x0,-y0，(0)因此，由x12+y12=7可得：又y02=3-34x02，代入，消去y0，拾掇成关于x0的等式为：那么此方程在-2,2上必须有解，=210-6假设f-2=0，那么=1-73舍去或

12、=1+73假设f2=0，那么=-1-7舍去或=-1+7假设fx=0在-2,2上有且仅有一实根那么由f-2f20得：1+73b0)的右中心为F(c,0)，点F到直线x=a2c的距离为1.1求椭圆E的方程；2假设过点M(2,0)的直线与椭圆E订交于差异的A,B两点，设P为椭圆E上一点，且称心OA+OB=tOPO为坐标原点，事前|AB|253，务虚数t的取值范围.【答案】(1)x22+y2=1(2)-2t-263或263t0，得：k212*x1+x2=8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2AB2531+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x22531+k264k41+2k22-48

13、k2-21+2k214，结合*得：14k212OA+OB=tOPx1+x2,y1+y2=tx0,y0从而x0=x1+x2t=8k2t1+2k2，y0=y1+y2t=1tkx1+x2-4k=-4kt1+2k2点P在椭圆上8k2t1+2k22+2-4kt1+2k22=2拾掇得：16k2=t21+2k2即t2=8-81+2k283t24-2t-或263tb0)通过点C(0,1)，且离心率为22.1求椭圆N的方程；2假设点A、B在椭圆N上，且四边形CADB是矩形，求矩形CADB的面积S的最大年夜值.【答案】1x22+y2=12矩形CADB面积S的最大年夜值为329.【分析】1因为椭圆N:x2a2+y2

14、b2=1(ab0)通过点C(0,1)，且离心率为22，因此b=1，ca=22，又因为a2-c2=b2，可解得c=1，a=2，焦距为2c=2.所求椭圆的方程为x22+y2=1.2由题意知直线AB不垂直于x轴，可设直线AB:y=kx+m，由y=kx+mx22+y=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0，0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2(m2-1)1+2k2又因为CA=(x1,y1-1)，CB=(x2,y2-1)，因此CACB=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=(1+k2)x1x2-k

15、(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=(1+k2)2(m2-1)1+2k2-k(m-1)4km1+2k2+(m-1)2=0化简可得m=-13.因此|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=439k2+42k+1设9k2+4=t，t2，那么k2=t2-49，因此|x1-x2|=439k2+42k+1=12t2t2+1.令f(t)=12t2t2+1(t2)，因为f(t)=12-24t2(2t2+1)2b0)的左、右中心分不为F1,F2，A为椭圆上一动点异于左、右顶点，假设AF1F2的周长为4+23，且面积的最大年夜值为3.1求椭圆C的方程；2设A,B是椭圆C上两动点，线段AB的中点为P，OA

16、,OB的歪率分不为k1,k2(O为坐标原点)，且k1k2=-14，求OP的取值范围.【答案】1x24+y2=1；222,2.【分析】1由题知，AF1F2的周长为2a+2c=4+23，且122cb=3，a=2，b=1，c=3椭圆C的方程为：x24+y2=1；2当直线AB的歪率k0时，现在k1，k2O为坐标原点，称心k1k2=-14，k1-k2=12可令OB的方程为：y=12x，xB0由y=x2x2+4y2=4可得B2，22，现在|OP|=22，当直线AB的歪率k0时，可令AB的方程为：xmy+t，由x2+4y2=4x=my+t可得m2+4y2+2mty+t240，4m2t24m2+4t240m2

17、t2+40y1+y2=-2mtm2+4，y1y2=t2-4m2+4，x1+x2my1+y2+2t=8tm2+4p4tm2+4，-mtm2+4k1k2=-14，y1y2x1x2=-144y1y2+x1x204+m2y1y2+mty1+y2+t20t24+-2m2t24+m2+t202t2m2+4，且t22，由可得t22恒成破，|OP|2=16t2+m2t2(m2+4)2=16t2+m2t2(2t2)2=16+m24t2=16+(2t2-4)4t2=12+3t212，2|OP|(22，2综上，|OP|的取值范围为22，2【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1已经清楚椭圆P:x24+y23=

18、1的左、右中心分不为F1,F2，过F2的直线l与椭圆P订交于P,Q1求F1PQ的周长2设点A为椭圆P的上顶点，点P在第一象限，点M在线段AF2上，假设F1M=23F1P，求点P的横坐标3设直线l不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴对称点，直线QR与x轴交于点N求QF2N面积的最大年夜值.【答案】182x1=65.3332.【分析】1椭圆x24+y23=1的长轴长为4.由椭圆定义知，F1PQ的周长为8；2由椭圆方程得A(0，,3)，F1(-1,0),F2(0,1)，设P(x1,y1),M(x2,y2)，由F1M=23F1P，得x2+1=23(x1+1),y2=23y1，点M线段AF2上，因此x2,

19、y2称心方程为y2=-3(x2-1)将式代入，得y1=-3(x1-2)，代入椭圆方程，得5x12-6x1+12=0，因为x10，因此x1=65.3设P(x1,y1),Q(x3,y3),N(n,0)，直线l的方程为y=k(x-1)，那么点R的坐标为(x1,-y1)，直线QR的方程为y=y3+y1x3-x1(x-x3)+y3，n=x3-y3(x3-x1)y3+y1=x3y1+x1y3y3+y1=2x1x3-(x1+x3)x1+x3-2，将直线方程代入椭圆方程得：(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，那么x1+x3=8k23+4k2,x1x3=4k2-123+4k2，因此n=2(4k2-1

20、2)3+4k2-8k23+4k28k23+4k2-2=4，SQF1N=12(4-1)|y3|332，因此QF2N面积的最大年夜值为332.2已经清楚两直线方程l1:y=22x与l2:y=-22x，点A在l1上运动，点B在l2上运动，且线段AB的长为定值22.求线段AB的中点C的轨迹方程；设直线l1:y=kx+m与点C的轨迹订交于M，N两点，O为坐标原点，假设kOMkON=54，求原点O的直线l的距离的取值范围.【答案】x24+y2=10，2147【分析】点A在l1:y=22x上运动，点B在l2:y=-22x上运动，设Ax1，22x1，Bx2，-22x2，线段AB的中点C(x,y)，那么有x=x

21、1+x22，y=22x1-22x22，x1+x2=2x，x1-x2=22y，线段AB的长为定值22，(x1-x2)2+(22x1+22x2)2=8，即(22y)2+(2x)2=8，化简得x24+y2=1.线段AB的中点C的轨迹方程为x24+y2=1.设Mx1，y1，Nx2，y2，联破x24+y2=1y=kx+m得4k2+1x2+8kmx+4m2-4=0，=8km2-44k2+14m2-40，化简得m24k2+1.x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2，假设kOMkON=54，那么y1y2x1x2=54，即

22、4y1y2=5x1x2，因此4k2x1x2+4kmx1+x2+4m2=5x1x2，即4k2-54m2-44k2+1+4km-8km4k2+1+4m2=0，化简得m2+k2=54，由得0m265，120k254，因为O到直线l的距离d=m1+k2，因此d2=m21+k2=54-k21+k2=-1+941+k2又因为120k254，因此0d287，因此O到直线l的距离的取值范围是0，2147.3已经清楚椭圆C：x218+y29=1的短轴端点为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N称心NB1MB1，NB2MB2.求动点N的轨迹方程；求四边形MB2NB1面积的最大年夜值.【答案】

23、y29+x292=1x0；2722.【分析】法一：设Nx,y，Mx0,y0x00，MB1NB1,MB2NB2直线NB1:y+3=-x0y0+3x直线NB2:y-3=-x0y0-3x得y2-9=x02y02-9x2又x0218+y029=1，y2-9=181-y029yo2-9x2=-2x2，拾掇得点N的轨迹方程为y29+x292=1x0法二：设Nx,y，Mx0,y0x00，MB1NB1,MB2NB2直线NB1:y+3=-x0y0+3x直线NB2:y-3=-x0y0-3x由,解得：x1=y02-9x0y1=-y0，又x0218+y029=1，x1=-x02故x0=-2x1y0=-y1，代入x02

24、18+y029=1得y129+x1292=1.点N的轨迹方程为y29+x292=1x0法三：设直线MB1:y=kx-3k0，那么直线NB1:y=-1kx-3直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1，6k2-32k2+1.那么直线MB2的歪率为kMB2=6k2-32k2+1-312k2k2+1=-12k.直线NB2:y=2kx+3由解得:点N的轨迹方程为：y29+x292=1x0法一：设Nx1,y1，Mx0,y0x00由法二得：x1=-x02四边形MB2NB1的面积S=12B1B2x1+x2=332x0，0b0)的一个中心为F(3,0)，求椭圆C的方程；设过原点O

25、且与坐标轴不垂直的直线l与曲线C交于M,N两点，且点A(1,12)，求MAN面积的最大年夜值【答案】x24+y2=1；2.【分析】按照题意得c=3,e=ca=32，a=2.b2=a2-c2=1.故椭圆C的方程为x24+y2=1.按照题意：设直线的方程为y=kx(k0)，由y=kxx24+y2=1得(1+4k2)x2-4=0(k0)。设M(x1,y1),N(x2,y2)=16(1+4k2)0，x1+x2=0,x1x2=-41+4k2，|MN|=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2(k0)|MN|=(1+k2)161+4k2=41+k21+4k2.又点A(1,12

26、)到直线l的距离d=|k-12|1+k2，SMAN=12|MN|d=1241+k21+4k2|k-12|1+k2=|2k-1|1+4k2(k0)，SMAN=(2k-1)21+4k2=1-4k1+4k2(k0)，事前k0，SMAN1；事前kb0)以F1、F2为中心且过点P.当P点坐标为(x0,22)(x00)时，求x0的值及椭圆方程；假设直线l与中所求的椭圆交于A、B差异的两点，且点C(0,-1)，AC=BC，求直线l在y轴上截距b的取值范围.【答案】x0=62，椭圆方程为x23+y2=1；事前k=0，直线l在y轴上的截距的取值范围是-1,1；事前k0，直线l在y轴上的截距的取值范围是12,2.

27、【分析】由圆与x轴的交点为2,0得椭圆的焦距2c=22a2-b2=2a2=2+b2椭圆方程化为x22+b2+y2b2=1将Px0,22代入圆，得x02+12=2x0=62P62,22代入式，得322+b2+12b2=1解得b2=1椭圆方程为x23+y2=1由CA=CB，得点C该当在线段AB的中垂线上事前k=0，l与椭圆交于两点都称心题意b-1,1事前k0，设Ax1,y1，Bx2,y2，中点Mx,y由y=kx+bx23+y2=1，消y得13+k2x2+2kbx+b2-1=0由=2kb2-413+k2b2-10，得3k2-b2+10由x123+y12=1x223+y22=1，作差，得x1+x2x1

28、-x2+y1+y2y1-y2=0由2x=x1+x22y=y1+y2，及y1-y2x1-x2=k，得x+3ky=0MCABx+ky+1=0由得x=-3k2y=12，代入y=kx+b中，得k2=2b-13将式代入式，得0b0，得b12b的取值范围是12,2综上，事前k=0，直线l在y轴上的截距的取值范围是-1,1；事前k0，直线l在y轴上的截距的取值范围是12,2.7已经清楚椭圆C1，抛物线C2的中心均在x轴上，C1的中心跟C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分不是(3,-23)，(-2,0)，(4,-4)，(2,22)1求C1，C2的标准方程2过点M(0,2)的直线l与椭圆C1交

29、于差异的两点A，B，且AOB为锐角其中O为坐标原点，求直线l的歪率k的取值范围【答案】1x24+y2=1，y2=4x2k2【分析】1由题意抛物线的顶点为原点，因此点(-2,0)肯定在椭圆上，且a=2，那么椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2，因此(2,22)也在椭圆上，24+(22)2b2=1，b2=1，故椭圆标准方程x24+y2=1，因此点(3,-23)、(4,-4)在抛物线上，且抛物线开口向右，其方程y2=2px，12=6p，p=2，因此方程为y2=4x2当直线l歪率不存在时，易知AOB三点共线，不符题意当l歪率存在时，设l:y=kx+2，A(x1,y2)，B(x2,y2)，x2+4y

30、2-4=0y=kx+2，x2+4(kx+2)2-4=0，(4k2+1)x2+16kx+12=0，令=(16k2)-48(4k2+1)0，256k2-192k2-480，64k248，k32，OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，x1+x2=-16k4k2+1，x1x2=124k2+1y1y2=(kx1+2)(kx2+2),=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,=12k24k2+1-32k24k2+1+16k2+44k2+1,=-4k2+44k2+1，令OAOB=x1x2+y1y2=16-4k24k2+116，k2综上：k28已经清楚椭圆M：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63

31、，长轴长为23()求椭圆M的方程；()直线l：x=my+2交椭圆M于A，B两点.F为椭圆M的右中心，自点A，B分不向直线x=322作垂线，垂足分不为A1，B1，记FA1B1的面积为S，求S的最大年夜值及现在直线l的方程【答案】x23+y2=1；S的最大年夜值为34及现在直线l的方程x+y-2=0或x-y-2=0【分析】()由题意可得2a=23，那么a=3，e=ca=63，c=2，b2=a2-c2=1，椭圆M的方程为x23+y2=1；()由()可得F(2,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意可得A1(233,y1)，B1(233,y2)，由x=my+2x23+y2=1，消x可得(m

32、2+3)y2+22my-1=0，y1+y2=-22mm2+3，y1y2=-1m2+3，|A1B1|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=8m2(m2+3)2+4m2+3=23m2+13+m2，点F为到直线x=322的距离d=322-2=22，FA1B1的面积为S=12|A1B1|d=122223m2+13+m2=62m2+1m2+3，令m2+1=t，那么t1，S=62tt2+2=621t+2t62122=34，当且仅事前t=2，即m=1时取等号，故S的最大年夜值为34及现在直线l的方程x+y-2=0或x-y-2=09已经清楚椭圆E:x2a2+y2b2=1ab0的左、右中心分不为F1,

33、F2,P为E上的一个动点，且PF2的最大年夜值为2+3，E的离心率与椭圆:x22+y28=1的离心率相当.1求E的方程；2直线l与E交于M,N两点M,N在x轴的同侧，事前F1M/F2N，求四边形F1F2NM面积的最大年夜值.【答案】(1)x24+y2=1(2)2【分析】1依题意可知a+c=2+3,ca=1-28,解得a=2,c=3,那么b2=a2-c2=1，故E的方程为x24+y2=1.2延长MF1交E于点M，由1可知F1-3,0,F23,O，设Mx1,y1,Mx2,y2，设MF1的方程为x=my-3，由x=my-3x24+y2=1得m2+4y2-23my-1=0，故y1+y2=23mm2+4

34、y1y2=-1m2+4.设F1M与F2N的距离为d，那么四边形F1F2NM的面积为S，S=12F1M+F2Nd=12F1M+F1Md=12MMd=SMF2M，SMF2M=12F1F2y1-y2=3y1+y22-4y1y2=43m2+1m2+4=43m2+1+3m2+14323=2,当且仅当m2+1=3m2+1，即m=2时，等号成破，故四边形F1F2NM面积的最大年夜值为2.10已经清楚椭圆C的中心在原点，中心在x轴上，D(0,2)为椭圆C短轴的一个端点，F为椭圆C的右中心，线段DF的延长线与椭圆C订交于点E，且DF=3EF.1求椭圆C的标准方程；2设直线l与椭圆C订交于A，B两点，O为坐标原点

35、，假设直线OA与OB的歪率之积为-32，求OAOB的取值范围.【答案】1x28+y24=1；2-1,0)(0,1.【分析】1设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，右中心F(c,0)，因为D(0,2)为椭圆短轴的一个端点，那么b=2.因为DF=3EF，那么点E4c3,-23.因为点E在椭圆上，那么16c29a2+19=1，即a2=2c2.又c2=a2-4，那么a2=2(a2-4)，得a2=8，因此椭圆C的标准方程是x28+y24=1.2解法一：当直线l的歪率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，得x2+2(kx+m)2=8，即(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0

36、.设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么x1+x2=-4km2k2+1，x1x2=2m2-82k2+1.因为kOAkOB=-32，那么y1x1y2x2=-32，即3x1x2+2y1y2=0，即3x1x2+2(kx1+m)(kx2+m)=0，即(2k2+3)x1x2+2km(x1+x2)+2m2=0，因此(2k2+3)2m2-82k2+1-8k2m22k2+1+2m2=0，即(2k2+3)(m2-4)-4k2m2+m2(2k2+1)=0，化简得m2=2k2+3.因此OAOB=x1x2+y1y2=-12x1x2=-m2-42k2+1=-2k2-12k2+1=22k2+1-1.因为=16k2m

37、2-4(2k2+1)(2m2-8)=8(8k2+4-m2)=8(6k2+1)0，k20，那么022k2+12，因此-10，那么kOA=62.联破y=62x与x28+y24=1，得点A(2,3)，B(2,-3)，或点A(-2,3)，B(-2,-3)，现在OAOB=-1.综上分析，OAOB的取值范围是-1,0)(0,1.解法二：因为kOAkOB=-320，设kOA=k0，那么kOB=-32k.设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么y1x1y2x2=-32，即y1y2=-32x1x2，因此OAOB=x1x2+y1y2=-12x1x2.由y=kxx28+y24=1，得x2+2k2x2=8，即(2

38、k2+1)x2=8，因此x12=82k2+1.同理，x22=82-32k2+1=16k22k2+9.因此x12x22=816k2(2k2+1)(2k2+9)=816k24k4+20k2+9=8164k2+9k2+20.因为4k2+9k224k29k2=12，当且仅当4k2=9k2，即k=62时取等号，那么0b0)的短轴长为23，离心率为12，过右中心F的直线l与椭圆C交于差异两点M，N.线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0).1求椭圆C的方程；2求y0的取值范围.【答案】1x24+y23=1；2-312,312.【分析】1由题意可得：2b=23，ca=12，又a2=b2+c2，联破解得b=3，a=2，c=1.椭圆C的方程为x24+y23=1.2当歪率存在时，设直线MN的方程为y=k(x-1)(k0)，M(x1,