20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.16 定积分与微积分（解析版）.docx

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1、第十六讲 定积分与微积分【套路秘籍】-始于足下始于足下一定积分的不雅念1定积分的不雅念一般地，假定函数在区间上连续，用分点将区间中分红个小区间，在每个小区间上任取一点，作跟式其中为小区间长度，事前，上述跟式无限濒临某个常数，谁人常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分不叫做积分上限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.2定积分的几多何意思从几多何上看，假定在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，跟曲线所围成的曲边梯形的面积.这的确是定积分的几多何意思.3定积分的性质由定积分的定义,可以掉掉落定积分的如下性质：；其中.二微积分全然定理一般地，假

2、定是区间上的连续函数，同时，那么.谁人结论叫做微积分全然定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.为了便当，我们常常把记成，即.【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一运用定积分的几多何意思求曲线的面积【例1】1定积分011-x2的值等于。2已经清楚fx是偶函数，且05fxdx=6，那么-55fxdx=_.(3)xdx=。(4)cosxdx=。【答案】14212(3)0;(4)0【分析】1由y=1-x2得x2+y2=1x0,1，按照定积分的意思可知，扇形的面积S=1412=4即为所求.2fx是偶函数-55fxdx205fxdx又05fxdx6，-55fxdx12故答案为：12(3)如图，xdx

3、A1A10.(4)如图，cosxdxA1A2A30.【套路总结】1. 运用定积分的几多何意思求解时，稀有的破体图形的形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的破体图形.2.关于复杂图形的面积求解，我们可以开门见山运用定积分的几多何意思，现在，1判定积分上、上限，一般为两交点的横坐标.2判定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差.如斯所求的面积征询题就转化为运用微积分全然定理打算定积分了.3.设函数在闭区间上连续，那么假定是偶函数，那么；假定是奇函数，那么.【举一反三】1定积分-aaa2-x2dx等于。【答案】12a2【分析】由题意可知定积分表示半径为a的半个圆的面积，因此S=12(a2)

4、=12a2.2已经清楚函数f(x)求f(x)在区间1,3上的定积分【答案】【分析】由定积分的几多何意思知：f(x)x5是奇函数，故x5dx0；0(如图(1)所示)；xdx(1)(1)(如图(2)所示)f(x)dxx5dxxdxxdx3. 运用定积分的几多何意思求，其中.【答案】看法析【分析】.为奇函数，.运用定积分的几多何意思，如图，故.考向二微积分定理的运用【例2】打算以下定积分：1；2；3；4.【分析】1.2.3.4.【举一反三】1-101-2x1-3x2dx=_【答案】-12【分析】-101-2x1-3x2dx=-10(1-3x2-2x+6x3)dx=x-x3-x2+32x4|-10=-

5、122-11（1-x2+x）dx=_【答案】2【分析】由定积分的几多何意思知-111-x2dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，即-111-x2dx=2，-111-x2+xdx=-111-x2dx+-11xdx=2+x22-11=23-11（x2+1-x2)dx=_.【答案】23+2【分析】原式化为-11x2dx+-111-x2dx，-11x2=13x3|-11=23，按照定积分的几多何意思可知，-111-x2等于以原点为圆心，以1为半径的圆面积的一半，即-111-x2=2，因此-11(x2+1-x2)dx=23+2，故答案为23+2.413(x-1x2)dx=_【答案】103

6、【分析】13x-1x2dx=12x2+1x|13=129+13-12+1=103，故答案为：103.考点三积分在几多何中的运用【例3】求由曲线与，所围成的破体图形的面积画出图形.【答案】1【分析】画出曲线与，那么以以下列图中的阴影部分即为所恳求的破体图形.解方程组，可得.故破体图形的面积为=1.因此所求图形的面积为1【套路总结】（1） 定积分可正、可负或为零，而破体图形的面积总是非负的.2假定图形比较复杂，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分不求出呼应区间上破体图形的面积再求跟，留心在每个区间上被积函数均是由上减下.【举一反三】1由直线x=-6，x=6，y=0与曲线y=cosx所围成

7、的封闭图形的面积为。【答案】1【分析】题目所求封闭图形的面积为定积分-66cosxdx=sinx|-66=sin6-sin-6=12+12=1.2如图，求曲线所围成图形的面积.【分析】由解得.由解得.因此所求阴影部分的面积为.3曲线yx与直线y2x1及x轴所围成的封闭图形的面积为。【答案】512【分析】由分析式作出如以下列图简图：由图像可知封闭图形面积为曲线与x轴围成曲边三角形OCB的面积与ABC的面积之差.联破两函数分析式，求出交点C的坐标为：(1,1)，那么点B的坐标为：(1,0)，求出直线与x轴交点A坐标为：(0.5,0)，那么曲边三角形的面积为：SOCB=01x12dx=23，ABC的

8、面积为：SABC=12121=14，因此两线与x轴围成图形的面积为：512.考向四定积分在物理中的运用【例4】设有一长25cm的弹簧，假定加以100N的力，那么弹簧伸长到30cm，又已经清楚弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功.【答案】看法析【分析】设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，表示加在弹簧上的力(单位：N).由题意，得，且事前，即，解得，那么.故将弹簧由25cm伸长到40cm时所做的功为.【套路总结】1已经清楚变速直线运动的方程，求在某段时刻内物体运动的位移或者经过的行程，的确是求速度方程的定积分.2运用定积分求变力做功的征询题，关键是求出变

9、力与位移之间的函数关系，判定好积分区间，掉掉落积分表达式，再运用微积分全然定理打算即可.【举一反三】1已经清楚甲、乙两车由一致同点同时出发，并沿一致路途(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分不为跟(如以下列图).那么关于图中给定的t0跟t1，以下揣摸中肯定精确的选项是A在t1时刻，甲车在乙车后面Bt1时刻后，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置一样Dt0时刻后，乙车在甲车后面【答案】A【分析】由图可知，曲线，直线跟t轴所围成图形的面历年夜于曲线，直线跟t轴所围成图形的面积，那么在t0时刻，甲车在乙车后面，故C差错；同理，在t1时刻，甲车在乙车后面，故A精确，D差错；t1时刻后，甲车会领先

10、乙车一小段时刻，但从两曲线的趋势可猜想总会有某时刻乙车会逾越甲车，故B差错.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行10121-x2dx=。【答案】2【分析】函数y=1-x2表示单位圆位于x轴上方的部分，结合定积分的几多何意思跟定积分的运算法那么可得：0121-x2dx=2011-x2dx=21412=2.2假定函数fx=Asinx-6A0,0的图象如以下列图，那么图中的阴影部分的面积为。【答案】2-34【分析】由图可知，A=1，T2=3-(-6)=2，即T=.=2，那么f(x)=sin(2x-6).图中的阴影部分面积为S=-012sin(2x-6)dx=12cos(2x-6)120=12

11、cos(6-6)-cos(-6)=12(1-32)=2-343从图示中的长方形地域内任取一点M，那么点M取自图中阴影部分的概率为。【答案】13【分析】图中阴影部分的面积为013x2dx=x3|01=1，长方形地域的面积为133，因此，点M取自图中阴影部分的概率为134假定，那么的大小关系为。【答案】【分析】，因此.5.已经清楚函数为偶函数，且，那么_.【答案】16【分析】由于函数为偶函数，因此.6.假定，那么实数等于_.【答案】-1【分析】取，那么，因此，解得.7物体以的速度在不时线上运动，物体在直线上，且在物体的正前方5m处，同时以的速度与同向运动，出发后物体追上物体所用时刻为【答案】5s【

12、分析】物体A经过ts行驶的行程为，物体B经过ts行驶的行程为，那么有，解得t=5.10.已经清楚函数，那么.【答案】【分析】，其中，由定积分的几多何意思可知，其表示半径为的圆的面积的，即，故.故填.11如图，在边长为1的正方形内，阴影部分是由两曲线围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是，那么函数的值域为_.【答案】【分析】设阴影部分的面积为S，那么，又正方形的面积为1，因此.故，那么的值域为.12已经清楚函数f(x)=cosx,x-2,01-x2,x(0,1，假定-21f(x)dx=_【答案】1+4【分析】由已经清楚得-20cosxdx+011-x2dx=sinx|-20+4=

13、1+4.13定积分e1(x-1-x2)dx的值为_.【答案】12-4【分析】01x-1-x2dx=01xdx-011-x2dx，其中011-x2dx的几多何意思为函数y=1-x2与直线x=0,x=1及x轴所围成的图形的面积，即圆x2+y2=1在第一象限的部分的面积，其值为4.而01xdx=12x2|01=1212-1202=12.因此原式=12-4.故答案为：12-4.14已经清楚定义在R上的函数fx与gx，假定函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，且0afxdx=6，那么-aafx+2gxdx=_【答案】12.【分析】函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，函数fx的图象关于y轴对称，函数gx的图

14、象关于原点对称-aafxdx=20afxdx=12，-aagxdx=0，-aafx+2gxdx=-aafxdx+2-aagxdx=1215已经清楚212(k+1)dx4，那么实数k的取值范围是_【答案】1,3【分析】依题意得12k+1dx=k+1x|12=k+1，即2k+14，解得1k3.故k的取值范围是1,3.16-4416-x2dx+-22x3dx=_【答案】8【分析】由于y=16-x2表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，故-4416-x2dx=1242=8.-22x3dx=x44|-22=0.故原式=8.17打算由直线y=x-4,曲线y=2x以及x轴所围图形的面积S为。【答案】403

15、【分析】做出草图如下，解方程组y=2xy=x-4，掉掉落交点为8,4，直线y=x-4与x轴的交点为4,0，因此，由y=2x与y=x-4，以及x轴所求图形面积为：042xdx+482x-x+4dx=22x04+22x-12x2+4x48=40318求-22(x2sinx+ex)dx的值。【答案】e2-1e2【分析】y=x2sinx为奇函数，-22(x2sinx)dx=0-22(x2sinx+ex)dx=-22exdx=ex|-22=e2-1e2故答案为：e2-1e219直线x=-1，x=1，y=0与偶函数y=f(x)的图象围成破体图形的面积表示为；.其中，精确表示的个数为。【答案】2【分析】由于偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当f(x)时，破体图形的面积为；当当f(x)时，破体图形的面积为,精确.20已经清楚，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)12,(2)126,(3)【分析】(1).(2).(3).