高考数学(理)一轮复习讲义4.6正弦定理和余弦定理.docx

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1、4.6正弦定理跟余弦定理最新考纲考情考向分析操纵正弦定理、余弦定理，并能处置一些庞杂的三角形度量征询题.以使用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象跟性质、三角恒等变卦、三角形中的几多何打算交汇调查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.1正弦定理、余弦定理在ABC中，假设角A，B，C所对的边分不是a，b，c，R为ABC外接圆半径，那么定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinA，sinB，sinC；(5)abcsinAsinBs

2、inC；(6)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA(7)cosA；cosB；cosC2在ABC中，已经清楚a，b跟A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)SabsinCacsinBbcsinA；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)不雅念方法微思索1在ABC中，AB是否可推出sinAsinB?提示在ABC中，由AB可推出sinAsinB.2如图，在ABC中，有如下结论：bcosCccosBa.试类比写出不的两个式子提示acosBbcosAc

3、；acosCccosAb.题组一思索辨析1揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)三角形中三边之比等于呼应的三个内角之比()(2)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已经清楚单方跟一角就能求三角形的面积()题组二讲义改编2在ABC中，acosAbcosB，那么谁人三角形的形状为答案等腰三角形或直角三角形分析由正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，因此2A2B或2A2B，即AB或AB，因此谁人三角形为等腰三角形或直角三角形3在ABC中，A60，AC4，BC2，那么ABC的面积为答案2分析，sinB1，B

4、90，AB2，SABC222.题组三易错自纠4在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，假设cbcosA，那么ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形答案A分析由已经清楚及正弦定理得sinCsinBcosA，sin(AB)sinBcosA，sinAcosBcosAsinB0，cosB1.角B不存在，即称心条件的三角形不存在6(2018包头模拟)设ABC的内角A，B，C所对边的长分不为a，b，c.假设bc2a,3sinA5sinB，那么C.答案分析由3sinA5sinB及正弦定理，得3a5b.又由于bc2a，因此ab，cb，因此cosC.由于C(0，)，因此C.题型一

5、使用正弦、余弦定理解三角形例1(2018天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分不为a，b，c.已经清楚bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b跟sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，因此tanB.又由于B(0，)，因此B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.由于ac，因此cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.因此sin(2AB)sin2AcosBco

6、s2AsinB.思想升华(1)正弦定理、余弦定理的感染是在已经清楚三角形部分元素的情况下求解其余元素，全然思想是方程思想，即按照正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个感染是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已经清楚条件化为角的三角函数关系，也可以把已经清楚条件化为三角形边的关系跟踪训练1(1)在ABC中，角A，B，C的对边分不是a，b，c，已经清楚bc，a22b2(1sinA)，那么A等于()A.B.C.D.答案C分析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccosA，bc，a22b2(1cosA)，又a22b2(1sinA)，c

7、osAsinA，tanA1，A(0，)，A，应选C.(2)如以下列图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，那么sinC的值为答案分析设ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sinC.题型二跟三角形面积有关的征询题例2在ABC中，内角A，B，C所对的边分不为a，b，c.已经清楚bc2acosB.(1)证明：A2B；(2)假设ABC的面积S，求角A的大小(1)证明由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBco

8、sAsinB，因此sinBsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，因此B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，因此A2B.(2)解由S，得absinC，故有sinBsinCsinAsin2BsinBcosB，由sinB0，得sinCcosB.又B，C(0，)，因此CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.思想升华(1)关于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已经清楚哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的征询题，一般要用到正弦定理或余弦定理停顿边跟角的转化跟踪训练2(1)(2018沈阳质检)假设AB2，ACBC，那么SABC的最大年夜值为()A2B.C.D3答案

9、A分析设BCx，那么ACx.按照三角形的面积公式，得SABCABBCsinBx.按照余弦定理，得cosB.将代入，得SABCx.由三角形的三边关系，得解得22x0，sinA1，即A，ABC为直角三角形引申探究1本例(2)中，假设将条件变为2sinAcosBsinC，揣摸ABC的形状解2sinAcosBsinCsin(AB)，2sinAcosBsinAcosBcosAsinB，sin(AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2本例(2)中，假设将条件变为a2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，揣摸ABC的形状解a2b2c2ab，cosC，又0Cc，可得30B180，B60

10、或B120.3(2018丹东模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分不为a，b，c，cos2AsinA，bc2，那么ABC的面积为()A.B.C1D2答案A分析由cos2AsinA，得12sin2AsinA，解得sinA(负值舍去)，由bc2，可得ABC的面积SbcsinA2.4在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，已经清楚三个向量m，n，p共线，那么ABC的形状为()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案A分析向量m，n共线，acosbcos.由正弦定理得sinAcossinBcos.2sincoscos2sincoscos.那么sinsin.0，0，即AB.同理

11、可得BC.ABC的形状为等边三角形应选A.5(2018本溪质检)已经清楚ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，假设cosC，bcosAacosB2，那么ABC的外接圆面积为()A4B8C9D36答案C分析cbcosAacosB2，由cosC，得sinC，再由正弦定理可得2R6，R3，因此ABC的外接圆面积为R29，应选C.6(2018乌海模拟)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分不为a，b，c，假设SABC2，ab6，2cosC，那么c等于()A2B4C2D3答案C分析2cosC，由正弦定理，得sinAcosBcosAsinB2sinCcosC，sin(AB)sinC2sinCco

12、sC，由于0C，sinC0，cosC，C，SABC2absinCab，ab8，又ab6，解得或c2a2b22abcosC416812，c2，应选C.7(2018通辽模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c.假设(a2c2b2)tanBac，那么角B的值为答案或分析由余弦定理，得cosB，结合已经清楚等式得cosBtanB，sinB，又0B，B或.8设ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c.假设a，sinB，C，那么b.答案1分析由于sinB且B(0，)，因此B或B.又C，BC，因此B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.9ABC的内角A，B，C的对边分不为a，b，c，已

13、经清楚b2，B，C，那么ABC的面积为答案1分析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A，sinAsinsincoscossin.那么SABCbcsinA221.10(2018锦州质检)假设E，F是等腰直角三角形ABC歪边AB上的三中分点，那么tanECF.答案分析如图，设AB6，那么AEEFFB2.由于ABC为等腰直角三角形，因此ACBC3.在ACE中，A，AE2，AC3，由余弦定理可得CE.同理，在BCF中可得CF.在CEF中，由余弦定理得cosECF，sinECF，因此tanECF.11在ABC中，内角A，B，C所对的边分不为a，b，c，已经清楚acb，sinBsinC.(1)求cosA的值

14、；(2)求cos的值解(1)在ABC中，由及sinBsinC，可得bc，又由acb，得a2c，因此cosA.(2)在ABC中，由cosA，可得sinA.因此cos2A2cos2A1，sin2A2sinAcosA.因此coscos2Acossin2Asin.12(2018北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC边上的高解(1)在ABC中，由于cosB，因此sinB.由正弦定理得sinA.由题设知B，因此0A，因此A.(2)在ABC中，由于sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，因此AC边上的高为asinC7.13在ABC中，a2b2c22absinC，那么

15、ABC的形状是()A不等腰的直角三角形B等腰直角三角形C钝角三角形D正三角形答案D分析易知a2b2c2a2b2a2b22abcosC2absinC，即a2b22absin，由于a2b22ab，当且仅当ab时取等号，因此2absin2ab，sin1，故只能ab且C，因此ABC为正三角形14已经清楚ABC中，内角A，B，C的对边分不为a，b，c，假设a2b2c2bc，a3，那么ABC的周长的最大年夜值为()A2B6C.D9答案D分析a2b2c2bc，bcb2c2a2，cosA，A(0，)，A.a3，由正弦定理得2，b2sinB，c2sinC，那么abc32sinB2sinC32sinB2sin33

16、sinB3cosB36sin，B，当B时周长取得最大年夜值9.15在ABC中，C60，且2，那么ABC面积S的最大年夜值为答案分析由C60及2，可得c.由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)，SabsinC3，ABC的面积S的最大年夜值为.16在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，a2(bc)2(2)bc，且sinB1cosC，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A跟角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，cosA，又0A，A.又sinB1cosC,0sinB1，cosC0，即C为钝角，B为锐角，且BC，那么sin1cosC，化简得cos1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，sinC，cosC，在ACM中，由余弦定理得AM2b222bcosCb2()2，解得b2，故SABCabsinC22.