高考数学(理)一轮复习讲义7.2均值不等式及其应用.docx

《高考数学(理)一轮复习讲义7.2均值不等式及其应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学(理)一轮复习讲义7.2均值不等式及其应用.docx（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、7.2均值不等式及其运用最新考纲考情考向分析1.了解全然不等式的证明过程.2.会用全然不等式处理庞杂的最大年夜(小)值征询题.要紧调查运用全然不等式求最值.常与函数、分析多少多何、不等式相结合调查，作为求最值的方法，常在函数、分析多少多何、不等式的解答题中调查，难度为中档.1.均值不等式：(1)均值不等式成破的条件：a0，b0.(2)等号成破的条件：当且仅当ab时取等号.2.多少多个要紧的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同号).(3)ab2(a，bR).(4)2(a，bR).以上不等式等号成破的条件均为ab.3.算术平均数与多少多何平均数设a0，b0，那么a，b的算术平

2、均值为，多少多何平均值为，均值不等式可表达为两个正实数的算术平均值大年夜于或等于它们的多少多何平均值.4.运用均值不等式求最值征询题已经清楚x0，y0，那么(1)假设积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2.(简记：积定跟最小)(2)假设跟xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大年夜值.(简记：跟定积最大年夜)不雅观点方法微思索1.假设两个正数的跟为定值，那么这两个正数的积肯定有最大年夜值吗？提示不用定.假设这两个正数能相当，那么这两个数的积肯定有最大年夜值；假设这两个正数不相当，那么这两个正数的积无最大年夜值.2.函数yx的最小值是2吗？提示不是.因为函数yx的定义域是x|x0

3、，当x0时，y0且y0是“2的充要条件.()(3)(ab)24ab(a，bR).()(4)假设a0，那么a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有一样的成破条件.()(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.()题组二讲义改编2.设x0，y0，且xy18，那么xy的最大年夜值为()A.80B.77C.81D.82答案C分析x0，y0，即xy281，当且仅当xy9时，(xy)max81.3.假设把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，那么矩形场地的最大年夜面积是_m2.答案25分析设矩形的一边为xm，面积为ym2，那么另一边为(202x)(10x)m，其中0x0是“x2成破的()A.

4、充分不用要条件B.需要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不用要条件答案C分析当x0时，x22.因为x，同号，因此假设x2，那么x0，0，因此“x0是“x2成破的充要条件，应选C.5.假设函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，那么a等于()A.1B.1C.3D.4答案C分析当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，应选C.6.假设正数x，y称心3xy5xy，那么4x3y的最小值是()A.2B.3C.4D.5答案D分析由3xy5xy，得5，因此4x3y(4x3y)(492)5，当且仅当，即y2x时，“成破，故4x3

5、y的最小值为5.应选D.题型一运用均值不等式求最值命题点1配凑法例1(1)已经清楚0x1)的最小值为_.答案22分析x1，x10，y(x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成破.命题点2常数代换法例2(2019大年夜连模拟)已经清楚首项与公比相当的等比数列an中，称心amaa(m，nN)，那么的最小值为()A.1B.C.2D.答案A分析由题意可得，a1q，amaa，a1qm1(a1qn1)2(a1q3)2，即qmq2nq8，即m2n8.(m2n)1.当且仅当m2n时，即m4，n2时，等号成破.命题点3消元法例3已经清楚正实数a，b称心a2b40，那么u()A.有最大年夜值B.有最小值C.有

6、最小值3D.有最大年夜值3答案B分析a2b40，ba24，aba2a4.又a，b0，u3333，当且仅当a2，b8时取等号.应选B.思维升华(1)条件：“一正“二定“三相当.(2)要按照式子的特色敏锐变形，配凑出积、跟为常数的方法，然后再运用均值不等式.(3)条件最值的求解素日有三种方法：一是消元法；二是将条件敏锐变形，运用常数“1代换的方法；三是配凑法.跟踪训练1(1)(2019丹东质检)设x0，y0，假设xlg2，lg，ylg2成等差数列，那么的最小值为()A.8B.9C.12D.16答案D分析xlg2，lg，ylg2成等差数列，2lg(xy)lg2，xy1.(xy)10210616，当且

7、仅当x，y时取等号，故的最小值为16.应选D.(2)假设a，b，c全然上正数，且abc2，那么的最小值是()A.2B.3C.4D.6答案B分析a，b，c全然上正数，且abc2，abc13，且a10，bc0.(a1bc)(54)3.当且仅当a12(bc)，即a1，bc1时，等号成破.应选B.题型二均值不等式的综合运用命题点1均值不等式与其他知识交汇的最值征询题例4在ABC中，点P称心2，过点P的直线与AB，AC所在直线分不交于点M，N，假设m，n(m0，n0)，那么m2n的最小值为()A.3B.4C.D.答案A分析，M，P，N三点共线，1，m2n(m2n)23，当且仅当mn1时等号成破.命题点2

8、求参数值或取值范围例5(2018包头模拟)已经清楚不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成破，那么正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8答案B分析已经清楚不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成破，只要要(xy)的最小值大年夜于或等于9，1aa21，当且仅当yx时，等号成破，a219，2或4(舍去)，a4，即正实数a的最小值为4，应选B.思维升华求参数的值或范围：不雅观看题目特征，运用均值不等式判定相关成破条件，从而得参数的值或范围.跟踪训练2(1)在ABC中，A，ABC的面积为2，那么的最小值为()A.B.C.D.答案C分析由ABC的面积为2，因此SbcsinAbcsin2，得bc8，在

9、ABC中，由正弦定理得22，当且仅当b2，c4时，等号成破，应选C.(2)已经清楚函数f(x)ax2bx(a0，b0)的图象在点(1，f(1)处的切线的歪率为2，那么的最小值是()A.10B.9C.8D.3答案B分析由函数f(x)ax2bx，得f(x)2axb，由函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线歪率为2，因此f(1)2ab2，因此(2ab)(108)9，当且仅当，即a，b时等号成破，因此的最小值为9，应选B.运用均值不等式求解理论征询题数学建模是对幻想征询题停顿数学抽象，用数学的语言表达征询题，用数学的方法构建模型处理征询题.过程要紧包括：在理论情况中从数学的视角觉察征询题、提出征

10、询题、分析征询题、树破模型、判定参数、打算求解、检验结果、改进模型，最终处理理论征询题.例某厂家拟在2019年停顿促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)称心x3(k为常数)，假设不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件.已经清楚2019年花费该产品的结实投入为8万元.每花费1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的贩买价钞票定为每件产品年平均本钞票的1.5倍(产品本钞票包括结实投入跟再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少多万元时，厂家的利润最大年

11、夜？解(1)由题意知，当m0时，x1，13kk2，x3，每万件产品的贩买价钞票为1.5(万元)，2019年的利润y1.5x816xm48xm48m29(m0).(2)m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元).故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大年夜为21万元.素养提升运用均值不等式求解理论征询题时按照理论征询题抽象出目标函数的表达式，树破数学模型，再运用均值不等式求得函数的最值.1.函数f(x)的最小值为()A.3B.4C.6D.8答案B分析f(x)|x|24，当且仅当x2时，等号成破，应选B.2.假设x0，y0，那么“x2y2的

12、一个充分不用要条件是()A.xyB.x2yC.x2且y1D.xy或y1答案C分析x0，y0，x2y2，当且仅当x2y时取等号.故“x2且y1是“x2y2的充分不用要条件.应选C.3.(2018沈阳模拟)已经清楚正数a，b称心ab1，那么的最小值为()A.B.3C.5D.9答案D分析由题意知，正数a，b称心ab1，那么(ab)41529，当且仅当，即a，b时等号成破，因此的最小值为9，应选D.4.假设a0，b0，lgalgblg(ab)，那么ab的最小值为()A.8B.6C.4D.2答案C分析由lgalgblg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，那么有1，因此ab(ab)2224，

13、当且仅当ab2时等号成破，因此ab的最小值为4，应选C.5.已经清楚函数f(x)ex在点(0，f(0)处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，那么2a2b的最小值是()A.4B.2C.2D.答案D分析由题意得f(x)ex，f(0)e01，kf(0)e01.因此切线方程为y1x0，即xy10，ab10，ab1，2a2b222，应选D.6.多少多何原本卷2的多少多何代数法(以多少多何方法研究代数征询题)成了后辈西方数学家处理征询题的要紧按照，通过这一情理，特别多的代数的公理或定理都可以通过图形完成证明，也称之为无字证明.现有如以下列图图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，B

14、Cb，那么该图形可以完成的无字证明为()A.(a0，b0)B.a2b22(a0，b0)C.(a0，b0)D.(a0，b0)答案D分析由ACa，BCb，可得圆O的半径r，又OCOBBCb，那么FC2OC2OF2，再按照题图知FOFC，即，当且仅当ab时取等号.应选D.7.设x，y均为正数，且xyxy100，那么xy的最小值是_.答案6分析由xyxy100，得x1，xy1y26，当且仅当1y，即y2时，等号成破.8.设正项等比数列an的前n项跟为Sn，假设S7S53(a4a5)，那么4a3的最小值为_.答案4分析设正项等比数列an的公比为q(q0)，S7S5a7a63(a4a5)，q23.4a34

15、a34a324，当且仅当4a3，即a3时等号成破.4a3的最小值为4.9.已经清楚ABC的角A，B，C的对边分不为a，b，c，假设a2b2c2bc，且ABC的面积为，那么a的最小值为_.答案分析由题意得b2c2a2bc，2bccosAbc，cosA，A.ABC的面积为，bcsinA，bc3.a2b2c2bc，a22bcbcbc3(当且仅当bc时，等号成破)，a.10.已经清楚a，b为正实数，且(ab)24(ab)3，那么的最小值为_.答案2分析由题意得(ab)2(ab)24ab，代入已经清楚得(ab)24(ab)34ab，单方同除以(ab)2得24428，当且仅当ab1时取等号.因此2，即的最

16、小值为2.11.已经清楚x0，y0，且2x5y20.(1)求ulgxlgy的最大年夜值；(2)求的最小值.解(1)x0，y0，由均值不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成破.因此有解得现在xy有最大年夜值10.ulgxlgylg(xy)lg101.当x5，y2时，ulgxlgy有最大年夜值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成破.由解得的最小值为.12.某人准备在一块占空中积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大年夜棚，大年夜棚周围均是宽为1米的小路(如以下列图)，大年夜棚占空中积为S平方米，其中ab12.(1)试用x，y表示S；(2)假设要

17、使S的值最大年夜，那么x，y的值各为多少多？解(1)由题意可得xy1800，b2a，那么yab33a3，因此S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x8)18083xy(x3，y3).(2)方法一S18083x18081808218082401568，当且仅当3x，即x40时等号成破，S取得最大年夜值，现在y45，因此当x40，y45时，S取得最大年夜值.方法二设Sf(x)1808(x3)，那么f(x)3，令f(x)0，那么x40，当0x0；当x40时，f(x)0.因此当x40时，S取得最大年夜值，现在y45.13.在ABC中，角A，B，C的对边分不为a，b，c，假设，b4，那么ABC面积的最大

18、年夜值为()A.4B.2C.3D.答案A分析，(2ac)cosBbcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，2sinAcosBsinCcosBsinBcosCsin(BC)sinA.又sinA0，cosB.0B0，nN)处的切线ln的歪率为kn，直线ln交x轴、y轴分不于点An(xn,0)，Bn(0，yn)，且|x0|y0|.给出以下结论：a1；当nN时，yn的最小值为；当nN时，knsin；当nN时，记数列的前n项跟为Sn，那么Sn(1).其中，精确的结论有_.(写出所有精确结论的序号)答案分析令，因此y2，kn，因此ln：y(xn)，因此x0a，y0，aa1，对；令t，因此yntt，因此yn，对；令f(x)xsinx，因此f(x)1cosx0，因此f(x)f(0)0，即sin，错；因为kn()，因此Snk1k2kn(1)()()(1)，对.