部编版第38讲 应用同余问题.doc

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1、第38讲使用同余咨询题一、常识要点同余那个观点最后是由巨年夜的德国数学家高斯发觉的。同余的界说是如此的：两个整数a，b，假如它们除以统一天然数m所得的余数想同，那么称a，b关于模m同余。记作：abmod。读做：同余于模。比方，12除以5，47除以5，它们有一样的余数2，这时咱们就说，关于除数5，12跟47同余，记做1247mod5。同余的性子比拟多，要紧有以下一些：性子1：关于统一个除数，两个数之跟或差与它们的余数之跟或差同余。比方：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的跟是2+4=6。“32+19除以5的余数就恰恰即是它们的余数跟6除以5的余数。也确实是说，关于除数5，“32+1

2、9与它们的余数跟“2+4同余，用标记表现确实是：322mod5，194mod5，32+192+41mod5性子2：关于统一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。性子3：关于统一个除数，假如有两个整数同余，那么它们的差就必定能被那个除数整除。性子4：关于统一个除数，假如两个整数同余，那么它们的乘方依然同余。使用同余性子几多萼体的要害是要在准确了解的根底上灵敏应用同余性子。把求一个较年夜的数除以某数的余数咨询题转化为求一个较小的数除以那个数的余数，使庞杂的题变庞杂，使艰苦的题变轻易。二、精讲简练【例题1】求199259除以7的余数。使用同余性子2可将199259转化为求1992除以7跟59除以

3、7的余数的乘积，使盘算简化。1992除以7余4，59除以7余3。依照同余性子，“43除以7的余数与“199259除以7的余数应当是一样的，经过求“43除以7的余数就可明白199259除以7的余数了。由于199259435mod7因此199259除以7的余数是5。训练1：1、求4217364除以6的余数。2、求133965512除以13的余数。3、求87943765283除以11的余数。【例题2】曾经明白2001年的国庆节是礼拜一，求年的国庆节是礼拜几多？一礼拜有7天，请求年的国庆节是礼拜几多，就请求从2001年到年的国庆节的总天数被7除的余数就行了。但在甲酸中，假如咱们能充沛应用同余性子，就能

4、够不用算出那个总天数。2001年国庆节到年国庆节之间共有2个闰年7个闰年，即有“3662+3657”天。由于3662224mod7，3657170mod7，3662+365722+174+04mod7答：年的国庆节是礼拜五。训练2：1、曾经明白2002年除夕是礼拜二。求年除夕是礼拜几多？2、曾经明白2002年的“七月一日是礼拜一。求年的“十月一日是礼拜几多？3、明天是礼拜四，再过365的15次方是礼拜几多？【例题3】求2001的2003次方除以13的余数。2001除以13余12，即200112mod13。依照同余性子4，可知2001的2003次方12的2003次方mod13，但12的2003次

5、方依然是一个非常年夜的值，请求它的余数比拟艰苦。这时的要害确实是要寻出12的几多次方对模13与1是同余的。经实验可知12的平方1mod13，而200321001+1。因此12的平方的1001次方1的1001mod13，即12的2002次方1mod13，而12的2003次方12的2002次方12。依照同余性子2可知12的2002次方1211212mod13由于：2001的2003次方12的2003次方mod1312的平方1mod13，而200321001+112的2003次方12的2002次方1211212mod13因此2001的2003次方除以13的余数是12。训练3：1、求12的200次方除

6、以13的余数。2、求3的92次方除以21余几多。3、9个小冤家坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子均匀分给他们，最后剩下几多粒？【例题4】天然数16520，14903，14177除以m的余数一样，m最年夜是几多？天然数16520，14903，14177除以m的余数一样，换句话说确实是165201490314177modm。依照同余性子3，这三个饿数同余，那么它们的差就能被m整除。请求m最年夜是几多，确实是求它们差的最年夜条约数是几多？由于1652014903=1617=37的平方111652014177=2343=311711490314177=726=2311的平方M是这些差的条约数，m最年夜是

7、311=33。训练4：1、假定2836、4582、5164、6522四个整数都被统一个两位数相除，所得的余数一样。除数是几多？2、一个整数除226、192、141都失掉一样的余数，且余数不为0，那个整数是几多？3、当1991跟1769除以某一个天然数m时，余数分不为2跟1，那么m最小是几多？【例题5】某数用6除余3，用7除余5，用8除余1，那个数最小是几多？咱们可从较年夜的除数开场实验。起首思索与1模8同余的数，91mod8，但9输以7余数不是5，因此某数不是9。171mod8，17除以7的余数也不是5。251mod8，25除以7的余数也不是5。331mod8，33除以7的余数恰好是5，并且3

8、3除以6余数恰好是3，因此那个数最小是33。下面的办法实践是一种罗列法，也能够简化为下面的格局：被8除余1的数有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，此中被7除余5的数有：33，89，这些数中被6除余3的数最小是33。训练5：1、某数除以7余1，除以5余1，除以12余9。那个数最小是几多？2、某数除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此数最小值。3、在一个圆圈上有几多十个孔如图38-1，小明像玩跳棋那样从A孔动身沿逆时针偏向每隔几多个孔跳一步，盼望一圈当前能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，恰好跳回A孔。咨询：那个圆圈上共有几多个孔？