知识讲解_《导数及其应用》全章复习与巩固（基础）（理）.doc

《知识讲解_《导数及其应用》全章复习与巩固（基础）（理）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知识讲解_《导数及其应用》全章复习与巩固（基础）（理）.doc（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、导数及其运用全章复习与波动编稿：李霞审稿：张林娟【深造目标】1.会运用导数处置曲线的切线的征询题.2.会运用导数处置函数的单调性等有关征询题.3.会运用导数处置函数的极值、最值等有关征询题.4.能通过运用导数这一货色处置生活中的一些优化征询题：比如利润最大年夜、用料最省、效能最后等征询题【知识搜集】【要点梳理】要点一：有关怀线征询题直线与曲线相切，我们要抓住三点：切点在切线上；切点在曲线上；切线歪率等于曲线在切点处的导数值.要点说明：通过以上三点可以看出，抓住切点是处置此类题的关键，有切点开门见山求，无切点那么设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的征询题设函数在区间a，b内可导，1假设恒

2、有，那么函数在a，b内为增函数；2假设恒有，那么函数在a，b内为减函数；3假设恒有，那么函数在a，b内为常数函数.要点说明：1假设函数在区间a，b内单调递增，那么，假设函数在a，b内单调递减，那么.2或恒成破，求参数值的范围的方法：不离参数法：或.假设不克不迭隔绝参数，的确是求含参函数的最小值，使.或是求含参函数的最大年夜值，使要点三：函数极值、最值的征询题函数极值的征询题1判定函数的定义域；2求导数；3求方程的根；4检查在方程根左右的值的标志，假设左正右负，那么f(x)在谁人根处获得极大年夜值；假设左负右正，那么f(x)在谁人根处获得极小值.(最好通过列表法)要点说明：先求出定义域一般都要列

3、表：然后看在每个根附近导数标志的变卦：假设由正变负，那么该点为极大年夜值点；假设由负变正，那么该点为极小值点.留心：无定义的点不用在表中列出按照表格给出结论：留心肯定指出在哪获得极值.函数最值的征询题假设函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，那么求函数在上的最大年夜值跟最小值的步伐如下：1求函数在内的导数；2求方程在内的根；3求在内所有使的的点的函数值跟在闭区间端点处的函数值，；4比较上面所求的值，其中最大年夜者为函数在闭区间上的最大年夜值，最小者为函数在闭区间上的最小值.要点说明：求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大年夜仍然极小值，只需将导数为0的点跟端点的函数值停顿比较即可.假

4、设在开区间内可导，且有唯一的极大年夜小值，那么这一极大年夜小值即为最大年夜小值.要点四：优化征询题在理论生活中用料最省、利润最大年夜、效能最后等征询题，常常可以归结为函数的最大年夜值征询题，从而可用导数来处置.我们清楚，导数是求函数最大年夜小值的有力货色，导数在理论生活中的运用要紧是处置有关函数最大年夜值、最小值的理论征询题.运用导数处置理论征询题中的最值的一般步伐：(1)分析理论征询题中各量之间的关系，寻出理论征询题的数学模型，写出理论征询题中变量之间的函数关系式；(2)求函数的导数，解方程；(3)比较函数在区间端点跟极值点的函数值大小，最大年夜(小)者为最大年夜(小)值要点说明：处置优化征

5、询题的方法：起首是需要分析征询题中各个变量之间的关系，树破适当的函数关系，并判定函数的定义域，通过制作在闭区间内求函数取值的情境，即中心征询题是树破适当的函数关系.再通过研究呼应函数的性质，提出优化方案，使征询题得以处置，在谁人过程中，导数是一个有力的货色运用导数处置优化征询题的全然思路：树破数学模型处置数学模型作答用函数表示的数学征询题优化征询题用导数处置数学征询题优化征询题的答案得出变量之间的关系后，必须由理论意思判定自变量的取值范围；在理论征询题中，偶尔会遇到函数在区间内只需一个点使的状况，假设函数在这点有极大年夜(小)值，那么不与端点值比较，也可以清楚这的确是最大年夜(小)值在务理论征

6、询题的最大年夜(小)值时，肯定要留心考虑理论征询题的意思，不符合理论意思的值应舍去要点五：定积分的不雅观点假设函数在区间上连续，用分点将区间中分成个小区间，在每个小区间上取点，作跟式：事前，上述跟式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记作：，即要点说明：1定积分是一个常数，即无限趋近的常数时，记为，而不是(2)定积分是一个数值极限值，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示有关，即称为积分方法的波动性，不的定积分与积分区间，绝不相关，差异的积分区间，定积分的积分上下限差异，所得的值也就差异，比如与的值就差异要点六：定积分的多少多何意思从多少多何上看，

7、假设在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线跟曲线所围成的曲边梯形(如图a中的阴影部分)的面积.要点说明：1事前，由、=、=与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，积分在多少多何上表示上述曲边梯形面积的相反数负数因此，即，如图b2当在区间，上有正有负时，积分在多少多何上表示多少多个小曲边梯形面积的代数跟轴上方面积取正号，轴下方面积取负号在如图c所示的图象中，定积分要点七：定积分的运算性质性质1：；性质2：；性质3：定积分关于积分区间存在可加性。如右图：其中性质4设在，上连续：当是奇函数，；当是偶函数，要点八：求定积分的全然方法定义法极限不雅观念一般步伐：联络，近似替换，求跟，取极限公式法微积分全

8、然定理微积分全然定理牛顿-莱布尼茨公式：假设，且在，上可积，那么运用定积分的多少多何意思，转化为规那么图形如三角形、四边形、圆等的面积运用奇偶函数在对称区间上的性质要点三运算性质4。要点说明：关于这多少多种打算定积分的方法，要公正的运用：一般先看积分区间，假设是对称区间，就运用对称区间上积分的性质来化简方法，接着分析被积函数的特征，假设是有理函数，就运用微积分全然定理打算方法，假设是在理函数，那么运用定积分的多少多何意思打算方法而运用定积分的定义求积分的值时，除了多少多个专门的状况需要求积分比较艰辛，一般特不常用要点九：定积分的运用立体图形的面积求立体图形的面积，要紧是运用定积分的多少多何意思

9、，借助图形直不雅观，把立体图形停顿适当的联络，从而把求立体图形面积的征询题转化为求曲边梯形面积的征询题不联络型图形的面积由曲线围成的面积，要按照图形，判定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后打算定积分即可求由曲线围成图形面积的一般步伐：(1)按照题意画出图形；(2)寻出范围，判定积分上、下限联破与，解方程组得；(3)判定被积函数上曲线-下曲线：；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分全然定理打算定积分，求出结果联络型图形面积的求解由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在差异的区间位于上方跟下方的曲线差异时，这种图形的面积怎么样求呢？要将所求的曲面面积联络成多少多个不联络图形面积的方法

10、求联络型图形面积的一般步伐：1按照题意画出图形；2先求出曲线的差异的交点横坐标，将积分区间细化；3判定呼应区间的被积函数上曲线-下曲线；4将各细分区间的不联络立体图形的面积分不用定积分表示，那么所求图形面积表示为假设干定积分跟的方法；5运用微积分全然定理打算定积分得出结果复杂改变体的体积改变体可以看作是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴改变一周而成的多少多何体，如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等运用定积分也可以求出一些复杂的改变体的体积，体积公式为【模典范题】典范一：运用导数处置有关怀线征询题例1.已经清楚函数，过点作曲线的切线，求此切线方程【思路点拨】由于点A不在曲线上，故应先设出切点并

11、求出切点【分析】曲线方程为，点不在曲线上设切点为，那么点的坐标称心因，故切线的方程为点在切线上，那么有化简得，解得因此，切点为，切线方程为【总结升华】此类题的解题思路是，先揣摸点A是否在曲线上，假设点A不在曲线上，应先设出切点，然后按照直线与曲线相切的三个关系列方程组，从而求得参数值.举一反三：【变式1】梅州三模已经清楚函数，假设过点A0,16的直线方程为，与曲线相切，那么实数的值是A.B.3C.6D.9【答案】设切点为，在点处的切线方程为，把点A0,16代入，得，解得，过点A0,16的切线方程为。应选D【变式2】求过点且与曲线相切的直线方程【答案】设为切点，那么切线的歪率为切线方程为，即又已

12、经清楚切线过点，把它代入上述方程，得解得，即典范二：运用导数处置有关函数单调性的征询题【高清课堂：导数的运用综合370878例题3】例2.已经清楚函数()=(0).()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间.【思路点拨】()求出导数后，要紧按照的正负停顿分类讨论.【分析】I事前，由于，因此曲线在点处的切线方程为即II，.事前，.因此，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.事前，由，得，因此，在区间跟上，；在区间上，故得单调递增区间是跟，单调递减区间是.事前，故得单调递增区间是.事前，得，.因此在区间跟上，；在区间上，故得单调递增区间是跟，

13、单调递减区间是【总结升华】1处置此类题目，关键是解不等式或，假设中含有参数，须分类讨论.2特不该留心，在求解过程中应先写出函数的定义域.举一反三：【变式1】假设恰有三个单调区间，试判定的取值范围，并求出这三个单调区间.【答案】1事前，那么，现在只需一个增区间，与题设冲突；2事前，那么，现在只需一个增区间，与题设冲突；3事前，那么由得，由，得综上可知，事前，恰有三个单调区间：减区间；增区间【高清课堂：导数的运用综合370878例题1】【变式2】函数的图象大年夜抵是ABCD【答案】C起首易揣摸函数为奇函数，打扫A，求导后解导数大年夜于零可得周期性区间，从而打扫B、D,应选C.典范三：运用导数处置函

14、数极值、最值的征询题例3.设函数，其中事前，求曲线在点处的切线方程；事前，求函数的极大年夜值跟极小值.【分析】事前，得，且，因此，曲线在点处的切线方程是，拾掇得令，解得或由于，以下分两种状况讨论1假设，当变卦时，的正负如下表：因此，函数在处获得极小值，且；函数在处获得极大年夜值，且2假设，当变卦时，的正负如下表：因此，函数在处获得极小值，且；函数在处获得极大年夜值，且【总结升华】1.导数式含参数时，怎么样讨论参数范围而判定到数值的正负是处置这类题的难点，一般采用求根法跟图象法.2.列表能比较明晰的看清极值点.3.写结论时极值点跟极大年夜小值都要交代明晰.举一反三：【高清课堂：导数的运用综合37

15、0878例题2】【变式1】设函数那么A在区间内均有零点.B在区间内均无零点.C在区间内有零点，在区间内无零点.D在区间内无零点，在区间内有零点.【答案】D由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，应选择D.【变式2】已经清楚函数(x0)在x=1处获得极值-3-c，其中a,b,c为常数.1试判定a,b的值；2讨论函数f(x)的单调区间并求极值；【答案】1由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得2由1知，令，解得事前，现在为减函数；事前，现在为增函数因此有极小值.因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为,事前，取极小值.例4.已经清楚函数(为常数

16、).事前，求函数的单调区间；求函数在上的最值.【思路点拨】求导后可采用求根法求出极值点，再讨论增减性以判定最值.【分析】事前，函数=，函数的定义域为由得，函数的单调增区间为；由得，函数的单调减区间为.,假设，那么对任意的都有，函数在上为减函数，在上有最大年夜值，不最小值，；假设，令得，事前，事前，函数在上为减函数，事前，函数在上为增函数；时，函数有最小值，事前，在恒有，函数在上为增函数，在有最小值，.【总结升华】求含参函数在某区间上的最值征询题，起重要通过对参数分类讨论，判定出函数的单调区间，其要紧善于对极值跟端点值停顿比较，现在屡屡需要接着分类讨论.举一反三：【高清课堂：导数的运用综合370

17、878例题4】【变式】已经清楚函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)假设f(x)在区间2,2上的最大年夜值为20，求它在该区间上的最小值【答案】(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)在(1,3)上f(x)0，f(x)在(1,2上单调递增又由于f(x)在2，1)上单调递减，f(1)是f(x)的极小值，且f(1)a5.f(2)跟f(1)分不是f(x)在区间2,2上的最大年夜值跟最小值，因此有22a20，解得a2.f(x)x33x29x

18、2.f(1)a57，即函数f(x)在区间2,2上的最小值为7.典范四：运用导数处置优化征询题例5.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，恳求长方体的长与宽之比为2：1，征询该长方体的长、宽、高各为多少多时，其体积最大年夜？最大年夜要积是多少多？【思路点拨】拔取一个把持变量，建立体积的函数是此题的第一个关键.【分析】设长方体的宽为xm，那么长为2x(m)，高为：.故长方体的体积为从而令Vx0，解得x=0舍去或x=1，x=1.当0x1时，Vx0；当1x时，Vx0，故在x=1处Vx获得极大年夜值，同时谁人极大年夜值的确是Vx的最大年夜值.最大年夜要积VVx912-613m3，现在长方体的长为2

19、m，高为1.5m.当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大年夜，最大年夜要积为3m3.【总结升华】生活中的优化征询题，大年夜多可以树破目标函数.此题的目标函数为高次多项式函数，采用导数法可解.同时要格外留心理论意思对定义域的阻碍；举一反三：【变式1】秋房山区期末某夷易近营企业花费甲、乙两种产品，按照以往阅历跟市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已经清楚甲、乙产品分不投入资金4万元时，所获得利润万元状况如下：投入资金甲产品利润乙产品利润412.5该企业方案投入资金10万元花费甲、乙两种产品，那么可获得的最大年夜利润万元是ABCD【答案

20、】B【变式2】某单位用2160万元购得一块空地，方案在该空地上建筑一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，假设将楼房建为xx10层，那么每平方米的平均建筑费用为560+48x单位：元为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少多层？注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为，那么，令，得x=15当x15时，当10x15时，因此，当x=15时，获得最小值为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层典范五：定积分的打算例6打算以下各定积分：1；2；3；4【思路点拨】1中被积区间是对称区间，被积函数是偶函数，故先用

21、要点三中的性质4停顿化简；2、3用微积分全然定理打算；4被积函数是在理函数，运用定积分的多少多何意思打算。【分析】1方法一：运用性质化简后打算：函数是偶函数，方法二：开门见山打算：2，即，34函数表示以0，0为圆心，以1为半径的半圆，即圆在轴上方的部分包括轴，如以下列图：那么由定积分的多少多何意思可知，那么表示谁人半圆的面积，【总结升华】打算定积分的方法有特不多，各个方法有差异的特征，往常深造中留心总结法那么，以期选择最适宜、最随便打算的方法除了我们介绍的四种方法之外，尚有恢复法、分部积分法等等打算定积分的方法，可用于被积函数较复杂的状况。由于逾越了考纲范围，因此在讲义与教学中不作介绍，有兴趣

22、的同学可以通过课外深造举一反三：【变式1】打算上去定积分：1；2；3；4；【答案】9/21是奇函数，234，函数是偶函数，因此，运用导数的多少多何性质可知，表示圆在第一象限的扇形的面积，为，如以下列图。因此是奇函数，因此。因此【变式2】打算的值。【答案】，【变式3】打算，其中【答案】典范六：运用定积分求立体图形的面积例7打算由曲线及直线所围成的立体图形的面积。【思路点拨】画出图象，判定被积函数与积分上、下限，将面积转化为定积分的方法，运用微积分全然定理精确的打算出结果【分析】第一步：按照题意画出图形：第二步：寻出范围，判定积分上、下限：联破解得或因此曲线及直线的交点坐标是0，0跟1，1那么取为

23、积分变量，积分区间为0，1第三步：判定被积函数：被积函数为：第四步：将面积用定积分表示，并打算：设所求立体图形的面积S，那么【总结升华】运用定积分求不联络立体图形的面积，要按照图形，判定积分上、下限，判定被积函数，将面积精确的用定积分表示，然后打算即可举一反三：【变式1】求由抛物线与直线所围成图形的面积【答案】如图，联破解得或抛物线与直线的交点坐标是(3，5)跟(2，0)取为积分变量，积分区间为：0，1，被积函数为：设所求图形的面积为S，那么【变式2】求椭圆所围图形的面积。【答案】椭圆的大年夜抵图形如以下列图：由于椭圆是中心对称图形，因此椭圆所围图形的面积设为S是椭圆在第一象限内面积设为的4倍

24、在第一象限，椭圆方程可变形为：，因此按照定积分的多少多何意思求的值。表示圆的面积，如图：，因此，椭圆所围图形的面积是例8求由曲线，及直线，所围成图形的面积【思路点拨】画出图象，在被积区间上被积函数是不不合的，因此需要将积分区间细化【分析】第一步：按照题意画出图形：第二步：将积分区间细化：联破，解得由图可知，立体图形阴影地域是被分成左、右两部分第三步：判定被积函数：在区间，被积函数为；在区间，被积函数是第四步：将面积表示为定积分的方法，并打算：设所求立体图形的面积为S，右边图形面积为，右边图形面积为，那么因此，所求图形的面积为【总结升华】用定积分求联络型立体图形的面积，一般步伐是：先通过求曲线的

25、差异的交点横坐标将积分区间细化，再分不求出呼应区间不联络立体图形的面积再求跟，留心在每个区间上被积函数均是由上减下举一反三：【变式1】求以以下列图中阴影部分的面积【答案】设阴影部分的面积为S，那么【变式2】曲线与坐标轴所围成的阴影部分图形的面积是_【答案】设阴影部分图形的面积为S，由图可知，S是由的右边部分设为跟右边部分设为构成的那么：方法一：，其中，那么，方法二：由的对称性可知，典范七：运用定积分求复杂改变体的体积例9打算由跟所围成的立体图形绕轴改变所得的改变体的体积【思路点拨】判定被积函数与积分区间，按照公式打算【分析】如图，被积函数是，被积区间是0，1，因此，所求改变体的体积【总结升华】求复杂改变多少多何体的体积要理解“累加思想，按照图形中曲线交点精确判定积分的上、下限，公正判定被积函数要理解其中包括的定积分思想举一反三：【变式】求由曲线围成的图形绕轴改变构成的多少多何体的体积【答案】如图，曲线的交点坐标是0，0跟1，1设所求改变体的体积为S，曲线绕轴改变构成的多少多何体体积为，曲线，即绕轴改变构成的多少多何体体积为那么：其中，因此，因此，所求改变体的体积为