研数三真题解析(10).doc

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1、2002年世界硕士研究生入学分歧检验数学三试题一、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分，把答案填在题中横线上)(1)设常数，那么(2)交换积分次序：.(3)设三阶矩阵，三维列向量.已经清楚与线性相关，那么.(4)设随机变量跟的联合概率分布为-10100.070.180.1510.080.320.20那么跟的协方差.(5)设总体的概率密度为而是来自总体的庞杂随机样本，那么未知参数的矩估计量为二、选择题(此题共5小题，每题3分，共15分，在每题给出的四个选项中，只需一项符合题目恳求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，那么()(A)事前，存在，

2、使.(B)对任何，有.(C)事前，存在，使.(D)存在，使.(2)设幂级数与的收敛半径分不为与，那么幂级数的收敛半径为()(A)5(B)(C)(D)(3)设是矩阵，是矩阵，那么线性方程组()(A)事前仅有零解(B)事前必有非零解(C)事前仅有零解(D)事前必有非零解(4)设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵，已经清楚维列向量是的属于特色值的特色向量，那么矩阵属于特色值的特色向量是()(A)(B)(C)(D)(5)设随机变量跟都遵从标准正态分布，那么()(A)遵从正态分布(B)遵从分布(C)跟都遵从分布(D)遵从分布三、(此题总分值5分)求极限四、(此题总分值7分)设函数有连续偏导数，且由方程所判定，

3、求.五、(此题总分值6分)设求.六、(此题总分值7分)设是由抛物线跟直线及所围成的破体地域；是由抛物线跟直线所围成的破体地域，其中.(1)试求绕轴改变而成的改变体体积；绕轴改变而成的改变体体积；(2)征询当为何值时，取得最大年夜值？试求此最大年夜值.七、(此题总分值7分)(1)验证函数称心微分方程(2)使用(1)的结果求幂级数的跟函数.八、(此题总分值6分)设函数在上连续，且.使用闭区间上连续函数性质，证明存在一点，使.九、(此题总分值8分)设齐次线性方程组其中，试讨论为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(此题总分值8分)设为三阶实

4、对称矩阵，且称心条件，已经清楚的秩(1)求的全部特色值(2)当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中为三阶单位矩阵.十一、(此题总分值8分)假设随机变量在区间上遵从均匀分布，随机变量试求：(1)跟的联合概率分布；(2).十二、(此题总分值8分)假设一配备开机后无缺点义务的时辰遵从指数分布，均匀无缺点义务的时辰为5小时.配备定时开机，出现缺点时自动关机，而在无缺点的情况下义务2小时便关机.试求该配备每次开机无缺点义务的时辰的分布函数.2002年世界硕士研究生入学分歧检验数学三试题分析一、填空题(1)【答案】【详解】不处为型，通过凑成要紧极限方法来求极限，(2)【答案】【详解】画出与原题中二次积分的限所对

5、应的积分地域与，将它们的并集记为因此再将后者依照积分定义化为如下方法，即，因此(3)【答案】【详解】由于与线性相关，(两个非零向量线性相关，那么对应分量成比例)，因此有，得或(两个非零向量线性相关，那么其中一个可以由另一个线性表出)即，得，得(4)【答案】【详解】、跟根本上分布，而分布的期望值恰为取时的概率由团聚型随机变量跟的联合概率分布表可得的可以取值为0跟1，且的可以取值也为0跟1，且跟的边缘分布为；故有而边缘分布律：，因此，的联合分布及其边缘分布为01001802204010320280600500501由上表同理可求得的分布律为01072028因此由分布的期望值恰为取1时的概率掉掉落：

6、(5)【答案】【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计呼应的总体矩，此题中被估参数只需一个，故只需求用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)期望样本均值用样本均值估计期望有，即，解得未知参数的矩估计量为二、选择题(1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法由题设在开区间内可导，因此在内连续，因此，对于内的任意一点，必有即有应选(B)方法2：打扫法(A)的反例：，有，但在内无零点(C)与(D)的反例，但(当)，不称心罗尔中值定理，因此也不称心拉格朗日中值定理的结论应选(B)(2)【答案】(D)【详解】方法1：是矩阵，是矩阵，那么是阶方阵，因事前，有(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方

7、程组必有非零解，故应选(D)方法2：是矩阵,事前,，那么，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组必有非零解，即存在，使得，单方左乘，得，即有非零解，应选(D)(3)【答案】(B)【详解】方法1：由题设依照特色值跟特色向量的定义，是阶实对称矩阵，故设，那么上式左乘，右乘，得，即，因此单方左乘，得得依照特色值跟特色向量的定义，知的对应于特色值的特色向量为，即应选(B)方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项称心，由题设依照特色值跟特色向量的定义，是阶实对称矩阵，故设属于特色值的特色向量为，即，其中对(A)，即令，代入对(B)，成破故应选(B)(4)【答案】C【分析】(i)变量的模范

8、方法是：，其中恳求称心：相互独破，称为参数为的变量(ii)变量的模范方法是：，其中恳求称心：与相互独破，称为参数为的变量【详解】方法1：依照题设条件，跟均遵从故跟都遵从分布，答案应选(C)方法2：题设条件只需跟遵从，不与的相互独破条件因此，与的独破条件不存在，选(B)、(D)项均不精确题中条件既不与独破，也不正态，如斯就不克不迭推出遵从正态分布的选项(A)依照打扫法，精确选项必为(C)三【详解】四【详解】方法1：用一阶微分方法波动性指摘微分由所判定，单方指摘微分，有，解出因此方法2：(依照多元函数偏导数的链式法那么)下面通过隐函数求导掉掉落，由单方对求偏导数，有得，类似可得，代入表达式，再代入

9、中，得五【详解】起重要从求出命，那么有，因此(通过换元求出函数的表达式)(换元积分法)(分部积分法)六【分析】改变体的体积公式：设有连续曲线，与直线及轴围成破体图形绕轴改变一周发生改变体的体积.【详解】(1)(2)依照一元函数最值的求法恳求驻点，令,得.事前，事前，因此是的唯一极值点且是极大年夜值点，因此是的最大年夜值点，七【解】(1)，由收敛半径的求法知收敛半径为，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得，同理得从而(由的麦克劳林展开式)这说明，是微分方程的解，同时称心初始条件，.(2)微分方程对应的齐次线性方程为，其特色方程为，其特色根为，因此其通解为.不的，该非齐次方程的特解方法为，代入原非

10、齐次方程得，因此.故微分方程的通解为.故由初始条件得解得，因此掉掉落唯一的一组解：从而掉掉落称心微分方程及初始条件的解，只需一个，为另一方面，由(1)已经清楚也是微分方程及初始条件的解，由微分方程解的唯一性，知八【详解】方法1：由于与在上连续，因此存在使得，称心又，故依照不等式的性质依照定积分的不等式性质有因此由连续函数的介值定理知，存在，使即有方法2：由于与在上连续，且，故与都存在，且记，因此即因此必存在使否那么，那么在内由连续函数的零点定理知要么恒为正，从而依照积分的根天分子得；要么恒为负，同理得，均与不符由此推知存在使，从而九【详解】方法1：对系数矩阵记为作初等行变卦事前，的同解方程组为

11、，基础解系中含有个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性有关的解向量，取为自由未知量，分不取，,得方程组个线性有关的解，为基础解系，方程组的全部解为，其中是任意常数事前，当且时，仅有零解.事前，的同解方程组是基础解系中含有个线性有关的解向量，取为自由未知量，取，得方程组个非零解，即其基础解系，故方程组的全部解为，其中是任意常数方法2：方程组的系数行列式(1)当且时，方程组只需零解(2)事前，方程组的同解方程组为基础解系中含有个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性有关的解向量，取为自由未知量，分不取，,得方程组个线性有关的解，为基础解系，方程组的全部解为，其中是任意常数(1)事前，其同解方程组是基础解

12、系中含有个线性有关的解向量，取为自由未知量，取，得方程组个非零解，即其基础解系，故方程组的全部解为，其中是任意常数十【详解】(1)设是的任意特色值，是的属于的特色向量，依照特色值、特色向量的定义，有单方左乘，得+2*得因，从而上式，因此有，故的特色值的取值范围为由于是实对称矩阵，因此必类似于对角阵，且的主对角线上元素由的特色值形成，且，故的特色值中有且只需一个0.(假设不0，那么，故与已经清楚冲突；假设有两个0，那么，故与已经清楚冲突；假设三个全为0，那么，故与已经清楚冲突).故即有特色值(2)是实对称矩阵，有特色值，知的特色值为由于矩阵正定的充要条件是它的所有的特色值均大年夜于零，故正定故时

13、是正定矩阵十一【分析】有四个可以值，可以逐个求出在打算过程中要留心到取值与的值有关的分布为均匀分布，打算概率不用积分都行，可以开门见山看所占区间的长度比例即可【详解】只需四个可以值依照题意，有因此，分布为(2)由于，因此我们该当清楚跟的分布律对团聚型随机变量，的取值可以有的取值可以有0跟4；跟的分布律分不为0402跟因此由团聚型随机变量的数学期望打算公式有：因此有，十二【详解】起首寻出随机变量的表达式由跟2(小时)来判定，因此指数分布的的分布参数为其密度函数为：其中是参数由分布函数的定义：(1)事前，(由于，其中跟2都大年夜于0，那么小于0是不克不迭够情况)(2)事前，(由于最大年夜也就取到2，因此小于等于2是肯定发生的，是肯定情况)(3)事前,因此