高中数学-公式-柯西不等式.doc

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1、第一课时3.1二维方式的柯西不等式一(a2b)(c2d)(acbd)2222.训练：曾经明白a、b、c、d为实数，求证提出定理1：假定a、b、c、d为实数，那么(a2b)(cd)(acbd).2222证法一：比拟法(ab)(c2d)(acbd)=.=(adbc)022222证法二：综正当(ab)(c2d)a2c2ad2bcbd22222222(acbd)2(adbc)(acbd).22要点：开展配方证法三：向量法设向量m(a,b)，n(c,d)，那么|m|ab，|n|c2d.222mnacbd，且mn|m|n|cosm,n，那么|mn|m|n|.证法四：函数法设f(x)(ab)x22(acbd

2、)xc2d，那么2222f(x)(axc)2(bxd)0恒成破.2(acbd)24(a2b)(c2d)022，即.二维方式的柯西不等式的一些变式：2a2b2cd2|acbd|或2a2b2cd2|ac|bd|或a2b2c2d2acbd.提出定理2：设,是两个向量，那么|.即柯西不等式的向量方式由向量法提出探讨：下面时分等号成破？是零向量，或许,共线2ab2c2d222训练：曾经明白a、b、c、d为实数，求证(ac)(bd).证法：剖析法平方使用柯西不等式探讨：其多少何意思？结构三角形2.教学三角不等式：x22y22(xx)2(yy).21212出示定理3：设x,y,x,y2R，那么x12y121

3、12剖析其多少何意思怎样应用柯西不等式证实变式：假定x,y,x,y,x,yR，那么联合以上多少何意思，可失掉怎么样的三角不等式？1122333.小结：二维柯西不等式的代数方式、向量方式；三角不等式的两种方式两点、三点第二课时3.1二维方式的柯西不等式二教学进程：(ab)(cd)(acbd)；x12y122222222y2(xx)2(yy)21212x2x1y2x的最年夜值?3.怎样应用二维柯西不等式求函数要点：应用变式|acbd|ab2c2d.22二、讲解新课：1.教学最年夜小值：出比方1：求函数y3x1102x的最年夜值？剖析：怎样变形？结构柯西不等式的方式板演y3x1102xyabxcde

4、fx,(a,b,c,d,e,fR)推行：变式：训练：曾经明白3x2y1，求x2y2的最小值.1(x2131(3x2y)21.1313解答要点：凑配法x2y22y)(3222)2.教学不等式的证实：11出比方2：假定x,yR，xy2，求证：2.xy剖析：怎样变形后应用柯西不等式？留意比照结构111(xy)(11)121)2(1)2y22(x)(y)(要点：xy2xyx探讨：别的证法应用根本不等式11)4.ab训练：曾经明白a、bR，求证：(ab)(3.训练：ab曾经明白x,y,a,bR1，那么xy的最小值.，且xyxy(ab)(xy)要点：.别的证法xy假定x,y,zR，且xyz1，求x2y2z

5、2的最小值.要点：应用三维柯西不等式变式：假定x,y,zR，且xyz1，求3.2普通方式的柯西不等式2.提咨询：二维方式的柯西不等式？怎样将二维方式的柯西不等式拓广到三维？xyz的最年夜值.第三课时(ab)(c2d)(acbd)2(ab2c2)(d2e2f)(adbecf)2；22222谜底：二、讲解新课：1.教学普通方式的柯西不等式：提咨询：由破体向量的柯西不等式|，假如失掉空间向量的柯西不等式及代数方式？猜测：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数方式？a1,a,a,b,b,bR，那么论断：设2n12n(a12a22a)(b1b2222bn)(abab22ab)2nnn112a1a2b

6、1b2anbnbi0探讨：什么时分取等号？当且仅当时取等号，假定2Aa1a22an2Cbb2221bn2，那么有B2AC0，可遐想到一遐想：设Babab2abn，112n些什么？探讨：怎样结构二次函数证实n维方式的柯西不等式？留意分类要点：令fxa122a)x22(abab22ab)x(bb222bn2)a，那么2n112nn1f(x)(axb)(axb)22+axb)20.nn1122又a12a22an20，从而联合二次函数的图像可知，222a2)n(b12b22bn2)02(abab2anb)n4(a1a2112即有要证实的论断成破.留意：剖析什么时分等号成破.1变式：a12a22an22

7、(aa21a).探讨怎样证实nn2.教学柯西不等式的使用：出比方1：曾经明白3x2yz1，求x2y2z2的最小值.剖析：怎样变形后结构柯西不等式？板演变式：111yz的最小值.23训练：假定x,y,zR，且1，求xxyz114abc出比方2：假定，求证：.abbcac11112)(11)4abbc要点：(ac)()(ab)(bc)(abbc提出排序不等式即排序道理：设有两个有序实数组:aa21a;bb2b.c,c,cb,b1,bn是，的任一陈列,那么有n1n12n2abab2+ab(同序跟)112nnacac+ac(乱序跟)1122nnabab+ab(反序跟)1n2n1n1当且仅当aa21=a

8、nbb21=b时，反序跟即是同序跟n.或要点：了解其思维，记着其方式2.教学排序不等式的使用：出比方1：设a,a,a是个互不一样的正整数，求证：nn1211231a2a32232ann21a1.n剖析：怎样结构有序陈列？证实进程：怎样应用套用排序不等式？b,b,ba1,a,a的一个陈列，且b1b2bb11,b2,bn.，那么n设是12n2n2n111又1，由排序不等式，得2232n2a3ann2b3bnn2a22232小结：剖析目的，结构有序陈列b22232a1b1.训练：333222曾经明白a,b,c为负数，求证：2(abc)a(bc)b(ac)c(ab).解答要点：由对称性，假定abc，那么ab2c，22222222222222因此aabbccacbacbaabbccabbcca，两式相加即得.