高考数学(理)一轮复习讲义5.2平面向量基本定理及坐标表示.docx

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1、5.2破体向量全然定理及坐标表示最新考纲考情考向分析1.理解破体向量全然定理及其意思.2.操纵破体向量的正交分析及其坐标表示.3.会用坐标表示破体向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的破体向量共线的条件.要紧调查破体向量全然定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示，调查向量线性运算的综合运用，调查老师的运算推理才能、数形结合才能，常与三角函数综合交汇调查，凹陷向量的货色性.一般以选择题、填空题的方法调查，偶尔有与三角函数综合在一起调查的解答题，属于中档题.1.破体向量全然定理假设e1，e2是一致破体内的两个不共线向量，那么对于这一破体内的任意向量a，有且只需一对实

2、数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一破体内所有向量的一组基底.2.破体向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法假设向量的起点是坐标原点，那么起点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么(x2x1，y2y1)，|.3.破体向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.不雅念方法微考虑1.假设两个向量存在夹角，那么向量的夹角与直线的夹角一样吗？

3、什么缘故？提示不一样.因为向量无倾向，而直线不考虑倾向.当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角一样.当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样.2.破体内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不用定.当两个向量共线时，这两个向量就不克不迭表示，即两向量只需不共线时，才能作为一组基底表示破体内的任一向量.题组一考虑辨析1.揣摸以下结论是否精确(请在括号中打“或“)(1)破体内的任意两个向量都可以作为一组基底.()(2)假设a，b不共线，且1a1b2a2b，那么12，12.()(3)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60.()(4)假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab的充

4、要条件可表示成.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标的确是向量起点的坐标.()(6)破体向量不论通过如何样的平移变卦之后其坐标波动.()题组二讲义改编2.已经清楚ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，那么顶点D的坐标为_.答案(1,5)分析设D(x，y)，那么由，得(4,1)(5x,6y)，即解得3.已经清楚向量a(2,3)，b(1,2)，假设manb与a2b共线，那么_.答案分析由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1).由manb与a2b共线，得，因此.题组三易错自纠4.设e1，e2是破体内一组基底，假设1e12e20，那

5、么12_.答案05.已经清楚点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，那么向量_.答案(7，4)分析按照题意得(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4).6.已经清楚向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，那么m_.答案6分析因为ab，因此(2)m430，解得m6.题型一破体向量全然定理的运用例1如图，已经清楚OCB中，A是CB的中点，D是将分成21的一个内分点，DC跟OA交于点E，设a，b.(1)用a跟b表示向量，；(2)假设，务虚数的值.解(1)由题意知，A是BC的中点，且，由平行四边形法那么，得2，因此22ab，(2ab)b2ab.(2)由题意知，故设x.因为(2ab)a(2)ab，

6、2ab.因此(2)abx.因为a与b不共线，由破体向量全然定理，得解得故.思维升华运用破体向量全然定理的本卷须知(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)夸大年夜几多何性质在向量运算中的感染，用基底表示未知向量，常借助图形的几多何性质，如平行、相似等.(3)强化平行向量全然定理的运用.跟踪训练1在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，那么t的值为_.答案分析，32，即22，2，即P为AB的一个三中分点，如以下列图.A，M，Q三点共线，x(1x)(x1)，而，.又，由已经清楚t，可得t，又，不共线，

7、解得t.题型二破体向量的坐标运算例2(1)已经清楚点M(5，6)跟向量a(1，2)，假设3a，那么点N的坐标为()A.(2,0)B.(3,6)C.(6,2)D.(2,0)答案A分析设N(x，y)，那么(x5，y6)(3,6)，x2，y0.(2)已经清楚A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设a，b，c，ambnc(m，nR)，那么mn_.答案2分析由已经清楚得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).mbnc(6mn，3m8n)，解得mn2.思维升华破体向量坐标运算的技艺(1)运用向量加、减、数乘运算的法那么来停顿求解，假设已经清楚有向线段中间点的坐标，那么应先求向量的坐标.(2)解题过程

8、中，常运用“向量相当，那么坐标一样这一结论，由此可列方程(组)停顿求解.跟踪训练2线段AB的端点为A(x,5)，B(2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|2|，那么xy_.答案2或6分析由已经清楚得(1x，4)，22(3,1y).由|2|，可得2，那么当2时，有解得现在xy2；当2时，有解得现在xy6.综上可知，xy2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1运用向量共线求向量或点的坐标例3已经清楚O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，那么AC与OB的交点P的坐标为_.答案(3,3)分析方法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，那么(44,4).又(2,6)，由与共线，得

9、(44)64(2)0，解得，因此(3,3)，因此点P的坐标为(3,3).方法二设点P(x，y)，那么(x，y)，因为(4,4)，且与共线，因此，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，因此(x4)6y(2)0，解得xy3，因此点P的坐标为(3,3).命题点2运用向量共线求参数例4(2018乌海模拟)已经清楚破体向量a(2，1)，b(1,1)，c(5,1)，假设(akb)c，那么实数k的值为()A.B.C.2D.答案B分析因为a(2，1)，b(1,1)，因此akb(2k，1k)，又c(5,1)，由(akb)c得(2k)15(k1)，解得k，应选B.思维升华破体向量共线的坐标表示征询题的解题

10、策略(1)假设已经清楚两向量共线，求某些参数的取值时，运用“假设a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么ab的充要条件是x1y2x2y1.(2)在求与一个已经清楚向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R).跟踪训练3(1)已经清楚a(2，m)，b(1，2)，假设a(a2b)，那么m的值是()A.4B.1C.0D.2答案A分析a2b(4，m4)，由a(a2b)，得2(m4)4m，m4，应选A.(2)已经清楚向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，那么实数k的值是_.答案分析(4k，7)，(2k，2).A，B，C三点共线，共线，2(4k)7(2k)，解得k.1.已经清楚M

11、(3，2)，N(5，1)，且，那么P点的坐标为()A.(8,1)B.C.D.(8，1)答案B分析设P(x，y)，那么(x3，y2).而(8,1)，解得P.应选B.2.假设向量(2,0)，(1,1)，那么等于()A.(3,1)B.(4,2)C.(5,3)D.(4,3)答案B分析(3,1)，又(1,1)，那么(1,1)，因此(4,2).应选B.3.(2018赤峰质检)已经清楚向量a(1,2)，b(2，t)，且ab，那么|ab|等于()A.B.C.D.5答案B分析按照题意可得1t2(2)，可得t4，因此ab(1，2)，从而可求得|ab|，应选B.4.已经清楚破体直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b

12、(m，3m2)，且破体内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，为实数)，那么实数m的取值范围是()A.(，2)B.(2，)C.(，)D.(，2)(2，)答案D分析由题意知向量a，b不共线，故2m3m2，即m2.5.在破体直角坐标系xOy中，已经清楚A(1,0)，B(0,1)，C为坐标破体内第一象限内一点，AOC，且|OC|2，假设，那么等于()A.2B.C.2D.4答案A分析因为|OC|2，AOC，因此C(，)，又，因此(，)(1,0)(0,1)(，)，因此，2.6.(2019呼伦贝尔期中)已经清楚向量m与向量n(3，sinAcosA)共线，其中A是ABC的内角，那么角A的大小为()A.B.

13、C.D.答案C分析mn，sinA(sinAcosA)0，2sin2A2sinAcosA3，1cos2Asin2A3，sin1，A(0，)，2A.因此2A，解得A，应选C.7.假设三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，那么实数a的值为_.答案分析(a1,3)，(3,4)，按照题意知，4(a1)3(3)，即4a5，a.8.设向量a，b称心|a|2，b(2,1)，且a与b的倾向相反，那么a的坐标为_.答案(4，2)分析b(2,1)，且a与b的倾向相反，设a(2，)(0).|a|2，42220，24，2.a(4，2).9.(2018世界)已经清楚向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，).

14、假设c(2ab)，那么_.答案分析由题意得2ab(4,2)，因为c(2ab)，因此42，得.10.已经清楚向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，假设A，B，C三点能构成三角形，那么实数k应称心的条件是_.答案k1分析假设点A，B，C能构成三角形，那么向量，不共线.(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.11.已经清楚a(1,0)，b(2,1)，(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)假设2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值.解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2).k

15、ab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)方法一2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)，A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，即2m30，m.方法二A，B，C三点共线，即2a3b(amb)，解得m.12.如图，已经清楚破体内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.假设(，R)，求的值.解方法一以O为原点，树破如以下列图的破体直角坐标系，那么A(1,0)，B，C(3，).由，得解得因此6.方法二如图，作平行四边形OB1CA1，那么，因为与的夹角为120，与的夹角为30，因此B1OC90.在RtOB1

16、C中，OCB130，|2，因此|2，|4，因此|4，因此42，因此4，2，因此6.13.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DECD，假设点P为CD的中点，且，那么等于()A.3B.C.2D.1答案B分析由题意，设正方形的边长为1，树破破体直角坐标系如图，那么B(1,0)，E(1,1)，(1,0)，(1,1)，(，)，又P为CD的中点，1，.14.(2017世界)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.假设，那么的最大年夜值为()A.3B.2C.D.2答案A分析树破如以下列图的破体直角坐标系，那么C点坐标为(2,1).设BD与圆C切于点E，连接CE

17、，那么CEBD.CD1，BC2，BD，EC，即圆C的半径为，P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x0，y0)，那么(为参数)，而(x0，y0)，(0,1)，(2,0).(0,1)(2,0)(2，)，x01cos，y01sin.两式相加，得1sin1cos2sin()3，当且仅当2k，kZ时，取得最大年夜值3.应选A.15.在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，ADDC2，AB4，E，F分不为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变更(如以下列图).假设，其中，R，那么2的取值范围是()A.，1B.，C.D.答案C分析树破如以下列图的破体直角坐标系，那么A(0,

18、0)，E(2,0)，D(0,2)，F(3,1)，P(cos，sin)，即(cos，sin)，(2,2)，(3,1).，(cos，sin)(2,2)(3,1)，cos23，sin2，(3sincos)，(cossin)，2sincossin.，.sin.16.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量mn(m，n为实数)，求mn的最大年夜值.解如以下列图，设点O为正六边形的中心，那么.当动圆Q的圆心通过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点.连接OP，那么，与共线，存在实数t，使得t，现在mn1t1t2，取得最小值.当动圆Q的圆心通过点D时，取AD的延长线与圆Q的交点P时，现在mn5取得最大年夜值.