2022年直线、平面垂直的判定及其性质题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 直线、平面垂直的判定及其性质题（含答案）一、单项题1如图,已知棱长为1 的正方体 .- .1.1 .1.1中, .是.1.1的中点,就直线. 与平面 . 1.1所成角的正弦值是（）A15B15C10D1053352如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 中, AA1AB2,AD1,E、F、 G 分别是 DD1、AB、CC1 的中点,就异面直线 A1E 与 GF所成角的余弦值是（）15210A5 B2 C5 D 03已知边长为 2 的等边三角形 .,.为 . 的中点,以 .为折痕,将 . 折成直二面角 .- .- .,就过 .,.,.,.四点的球

2、的表面积为（）A 3. B 4. C 5. D 6.4如下列图, 在正方体 ABCDA1B1C1D1中,如 E是 A1C1的中点, 就直线 CE垂直于 A AC B BD C A1D D A1D15如图,已知正三棱柱.- .1.1.1的棱长均为2,就异面直线 .1.与.1.所成角的余弦值是 试卷第 1 页,总 7 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - A3B1C1D 02246如图,已知边长为 2 的正方体 .- .1.1.1.1,点.为线段 . 1的中点,就直线 .与平面 .1 . 1所成角的正切值为（）2 13A

3、2 B2 C2 D 27以下命题正确选项（）A 如两条直线和同一个平面所成的角相等,就这两条直线平行B 如一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,就这两个平面平行C 如两个平面都垂直于第三个平面,就这两个平面平行D 如一条直线平行于两个相交平面,就这条直线与这两个平面的交线平行8已知互不重合的直线.,., 互不重合的平面.,., 给出以下四个命题,正确命题的个数是 如./.,./.,.= .,就 ./. 如,.,.就. 如.,.,.= .,就 . 如. / .,./ .,就 ./ .A 1 B 2 C 3 D 49以下四个命题 :试卷第 2 页,总 7 页名师归纳总结 - - - - - -

4、 -第 2 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 存在与两条异面直线都平行的平面;2 过空间一点 , 肯定能作一个平面与两条异面直线都平行 ;3 过平面外一点可作很多条直线与该平面平行 ;4 过直线外一点可作无数个平面与该直线平行 . 其中正确的命题的个数是A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题10、 是两个平面, m、n 是两条直线,有以下四个命题：（ 1）假如 mn, m,n ,那么 .（2）假如 m,n ,那么 mn.（ 3）假如 ,m. ,那么 m . （ 4）假如 m n, ,那么 m 与 所成的角和 n与 所成的角相等 .其中正确的命题有 _.填写

5、全部正确命题的编号）11 设 .,.是两条不同的直线,_1 如 m .,n ., 就 m n,.,.是两个不同的平面,有以下正确命题的序号是2 如.,. .就./.3 如. .,.且. .,就 .； 4 如. . ., ./.,就 ./.12已知平面 , ,直线 .,.,给出以下命题： 如 ./.,./.,. .,就 .； 如./.,./.,./.,就 ./.； 如 . .,.,. .,就 .； 如.,. .,.,就 . . 其中是真命题的是 _（填写全部真命题的序号）13给出以下命题：假如 .,.是两条直线,且. .,那么 .平行于经过 .的任何平面；假如直线 .和平面 .满意 . .,那么

6、直线 .与平面 .内的任何直线平行；假如直线 .,.和平面 .满意 . .,. .,那么 . .；假如直线 .,.和平面 .满意 . .,. .,. .,那么 . .；假如平面 .,.,.满意 . .,. .,那么 . .其中正确命题的序号是 _14如图,圆锥的底面圆直径AB 为 2,母线长 SA为 4,如小虫 P 从点 A 开头围着圆锥表面爬行一圈到SA的中点 C,就小虫爬行的最短距离为_试卷第 3 页,总 7 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15已知矩形 . 的长 .= 4,宽.= 3,将其沿对角线 .折起

7、,得到四周体 .- .如下列图,给出以下结论：72四周体 .- . 体积的最大值为 5；四周体 .- . 外接球的表面积恒为定值；如 .、.分别为棱 .、.的中点,就恒有. 且 .；当二面角 .- .- .的大小为 60时,棱 . 的长为14 5；16 25 当二面角 .- .- .为直二面角时,直线.、. 所成角的余弦值为其中正确的结论有_ 请写出全部正确结论的序号16如下列图,已知正方体 点,给山以下四个结论：.- .1 .1.1.1, .,.分别是 .1.,.1.上不重合的两个动 . .1.；平面 .平面 .1. 1； . 1 .；平面 .平面 . 1.1.其中,正确结论的序号是 _17

8、 设 m,n 是两条不同的直线, , _ 填序号 是两个不同的平面,就以下命题正确选项如 m , n ,就 m n；如 m , m ,就 ；如 m n,m ,就 n ；如 m , ,就 m .18如图,正四棱锥 .- . 的体积为 2,底面积为 6,.为侧棱 . 的中点,就直线 .与平面 . 所成的角为 _. 试卷第 4 页,总 7 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解答题19如图 ABCD 是正方形 , .平面 . ,.|. ,.= .= 2.= 2.（）求证 :.平面 .（）求 .与平面 . 所成角的大小

9、；20 如 图 , 在 四 棱 锥 .- . 中 , .底 面 . , 底 面 . 是 直 角 梯 形 , ., ./. , .= 2, .= .= 1, .是线段 . 的中点 . 证明： .平面 . 如.= 3, 求三棱锥 .- . 的体积 .21如图 , 菱形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在 AD,CD上 ,AE=CF=5 ,EF 交 BD于点 H.将 DEF沿 EF折到 DEF 的位置 ,OD= 10 .4（）证明 :DH 平面 ABCD（）求二面角 B-DA-C 的正弦值 .试卷第 5 页,总 7 页名师归纳总结 - - - - - -

10、 -第 5 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 22 如图,在斜三棱柱.- .1.1.1中,底面 . 是边长为 2的正三角形,. 1= 3,. 1=10, . 1= 60 .（）求证：平面 .平面 . 1.1；（）求二面角.- . 1- .的正弦值 .1 2.= 2,.是. 的23在三棱锥 .- . 中, .底面 .,.,.= .=中点, .是线段 .上的一点,且 .= 5,连接 .,.,.（ 1）求证： ./平面 .（ 2）求点 .到平面 . 的距离 .24如图,四棱锥 .- . 中, .底面 .,.,., . = 60,.= .= .,.是. 的中点（ 1）求

11、证： .；（ 2）求证： .面.（ 3）求二面角 E-AB-C 的正切值25如图, 在四棱锥 .- . 中,底面 . 是边长为 4 的菱形, . = 60,.面.,.= 4,.是棱 .上一点,且 .= 1,.为.的一个靠近 .点的三等分点；试卷第 6 页,总 7 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）求证： .面.（ 2）求平面 . 与平面 . 所成的锐二面角的余弦值；26如下列图, 在四棱锥 .- . 中,.平面 .,./.,.,.= .=12.= 2.（ 1）求证： .；（ 2）当几何体 . 的体积等于4

12、 3时,求四棱锥 .- . 的侧面积 .27如图,在斜三棱柱 .- .1 .1.1中,底面 . 是边长为 2的正三角形, .为棱 . 的中点, . 1= 3,. 1= 10 , . 1= 60 .（）求证： .平面 . 1.1；（）求斜三棱柱 . .1 .1.1的体积 . 试卷第 7 页,总 7 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案1D 【解析】【分析】依据 .与平面 . 1.1的关系,先找到直

13、线与平面的夹角,然后通过勾股定理求得各边长,即可求得夹角的正弦值；【详解】连接 . 1、 . 1相交于点 M ,连接 EM 、AM由于 EM AB ,EM BC 1所以 EM 平面 . 1.1就 EAM 即为直线 . 与平面 . 1.1所成的角12所以 .= 2.1.= 215.= 12+ 2 2 = 22所以 sin .5 2=1052所以选 D【点睛】此题考查了空间几何体线面的夹角关系,主要是找到直线与平面的夹角,再依据各长度求正弦值,属于中档题；2D 【解析】【分析】以.,.,. 1所在直线为 .,.,.轴,建立空间直角坐标系,可得cos.1. . , . . .,从而可得结论 .【详解

14、】以.,.,. 1所在直线为 .,.,.轴,建立空间直角坐标系,就可得 .1 1,0,2 , . 0,0,1,.0,2,1 , . 1,1,0,.1 . . = -1,0, -1 ,. . = 1, -1, -1 ,设异面直线 .1.与.所成的角为 .,就cos.= |cos.1. . ,. . .| = |-1 1+0+ -1 -1 | = 0,应选 D.2 2答案第 1 页,总 20 页. .1. 和. . 的坐标,进而可得名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【点睛】此题主要考查异面直线所成的角,属于中档题.求异

15、面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法, 依据几何体的特别性质建立空间直角坐标系后,分别求出两直线的方向向量,再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法, 利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角,再利用平面几何性质求解 .3C 【解析】由题意,知过 .,.,.,.四点的球的直径为以 .,.,.为邻边的长方体的对角线的1 25长 , 而 .= 3, .= .= 1 , 就 .= 2 3 + 1 + 1 = 2, 所 以 球 的 表 面 积 为 .=254. 2 = 5.,故正确答案为 C.点睛：此题主要考查了从平面图形到空间几何体的变化过程的空间想象才能,简洁组合体中直三棱锥与外

16、接球关系,以及球的表面积的运算等方面的学问和技才能,属于中档题型, 也是常考题型 .在解决简洁几何体的外接球问题中,一般情形下,球的直径为简洁几何体的对角线的长 .4B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,求出 . . 的坐标,以及 . ,. . ,.1. . 的坐标,可得. . . . = 0,因此 . . . . ,即 .【详解】以.为原点, .,.,. 1所在直线分别为.,.,.轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为 1,就 .0,0,0 ,.1,1,0 ,.1,0,0 , .0,1,0 ,1 1.10 ,0,1 ,. 2,2,11 1. . = -, -,12 2.

17、= 1 ,1,0 , . . = -1 ,1,0 ,. = 0 ,1, - 1 , . . = 0 ,0, - 11 1. . . 2 -2 + 0 = 0就. . . . 即.应选 .答案第 2 页,总 20 页名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【点睛】此题考查了空间直线的位置关系,在解答此题中采纳了建立空间直角坐标系,然后运算求出结果,较为基础；5C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可 .【详解】以 AC 的中点 .为坐标原点,建立如下列图的空间直角坐标系 .

18、- .,就：.1 0, -1,2 ,.3, 0,0 ,.13, 0,2 ,.0,1,0 ,向量 .1. . = 3, 1, -2 ,.1 . . . = - 3, 1, -2 ,cos = |.1 . . . .1.| |. . |= 1.1. 22 22= 2 14.此题挑选 C 选项 .【点睛】答案第 3 页,总 20 页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此题主要考查异面直线所成的角的求解,空间向量的应用等学问,意在考查同学的转化才能和运算求解才能 .6A 【解析】连接 . 1交.1.于.,连接 .,由于 .

19、1.,.,所以 .平面 .1. 1,所以角2. 22. 为所求线面角 ,其正切值为 .= 1= 2.应选 .7D 【解析】分析：先举反例说明A,B,C 不成立,再利用线面平行判定定理与性质定理说明D正确 .详解：由于两条相交直线和同一个平面所成的角也可相等,所以 A 错,一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,两个平面可相交,B错,由于这三点可分布在另一个平面两侧,即这由于两个相交平面可同时垂直于第三个平面,所以 C错,如一条直线平行于两个相交平面,过该直线作平面与两个相交平面分别相交于 . 1,. 2,就该直线与 . 1,. 2平行,即 . 1,. 2相互平行,即 . 1平行 . 2所在平

20、面,因此即得这条直线与这两个平面的交线平行,所以选 D. 1与两个相交平面的交线平行,点睛：此题考查线面关系的判定,考查空间想象才能以及运用线面平行判定定理与性质定理论证的才能 .8C 答案第 4 页,总 20 页名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】【分析】由线线平行的性质定理能判定A 是正确的；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判定B 的正误； 由线面垂直的判定定理能判定【详解】C 的正误, 在 D 中,可得 ./.或. .,即可得到答案 .由题意,已知互不重合的直线.,.和互不重合的平面.,.,在 A 中

21、,由于 .= .,./.,./.,过直线 .平面 .,.都相交的平面 .,记 .= .,.= .,就./.且./.,所以 ./.,又./.,所以 ./.,故 A 是正确的；在 B 中,如 .,.,.,就由面面垂直和线面垂直的性质得 在 C 中,如 .,.,.= .,就由线面垂直的判定定理得.,所以是正确；.,所以是正确；在 D 中,如 ./.,./.,就 ./.或. .,所以是不正确的,应选 C.【点睛】此题主要考查了线面位置关系的判定与证明,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,合理作出证明是解答的关键,着重考查了推理与论证才能 .9C 【解析】1 将一个平面内的两条相交直线平移到

22、平面外,且平移后不相交,就这两条直线异面且与该平面平行 ,故正确 ;2当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的 ,故不正确 ;3明显正确 ;4明显正确 .故答案为 C. 10【解析】试题分析： ： 假如 mn,m,n ,不能得出,故错误； 假如 n ,就存在直线 l.,使 n l,由 m,可得 ml,那么 mn故正确； 假如 ,m.,那么 m 与 无公共点,就 m 故正确 假如 m n, ,那么 m,n 与 所成的角和m,n 与 所成的角均相等故正确答案第 5 页,总 20 页名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 28 页精选学习资料 - - -

23、 - - - - - - 考点： 命题的真假判定与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系视频11 34【解析】如./., ./.,就.与 .可能平行,相交或异面,故（1）错误；如 . .,. .,就 ./.或. .,故（ 2）错误；如 . .,.,且 . .,依据法向量的性质可得 .,故（ 3）正确；如 . . .,./.,由面面平行的性质,可得 ./.故（ 4）正确,故答案为（3）（4）.【方法点晴】 此题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定,属于难题 .空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判定,常采纳画图（特别是画长方体）、现实

24、实物判定法（如墙角、桌面等）、排除挑选法等；另外,如原命题不太简洁判定真假,可以考虑它的逆否命题,判定它的逆否命题真假,原命题与逆否命题等价 .12 .【解析】【分析】利用直线和平面的位置关系判定每一个命题的真假得解 .【详解】对于 ,如 ./.,./.,. .,就 . .或.,.相交,所以该命题是假命题；对于 ,如 ./.,./.,./.,就 .,.可能平行、相交、异面,所以该命题是假命题；对于 可以证明是真命题. 故答案为： 【点睛】（1）此题主要考查空间直线和平面位置关系,意在考查同学对这些学问的把握水平和空间想象转化才能 .2 类似这种空间直线平面位置关系命题真假的判定,方法比较敏捷,

25、可以举反例,也可以直接证明 .13【解析】分析：依据线面平行的判定定理可判定；依据线面平行的性质可判定、；根据线面平行的判定定理可判定；依据面面平行的性质与定义可判定.详解：对于,.在.与.确定的平面内,错误；对于, .和平面 .内的直线平行或异面,错误；答案第 6 页,总 20 页名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于, .与.可能平行,也可能异面,错误；对于,符合线面平行的判定定理,正确；对于,符合面面平行的定义,正确,故答案为.点睛：此题考查线面平行的判定与性质、面面平行的定义域性质,属于难题 .空间直线、

26、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判定,常采纳画图（特别是画长方体）、现实实物判定法（如墙角、桌面等） 、排除挑选法等；另外,如原命题不太简洁判定真假,可以考虑它的逆否命题,判定它的逆否命题真假,原命题与逆否命题等价 .14 25.【解析】分析：要求小虫爬行的最短距离,需将圆锥的侧面绽开,进而依据“ 两点之间线段最短” 得出结果详解：由题意知底面圆的直径AB 2,n,4. 180,故底面周长等于2 .设圆锥的侧面绽开后的扇形圆心角为依据底面周长等于绽开后扇形的弧长得2解得 n 90,所以绽开图中PSC90,依据勾股定理求得 PC25,所以小虫爬行的最短距离为 25.故答案为 25点睛： 圆锥的

27、侧面绽开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长此题就是把圆锥的侧面绽开成扇形,“ 化曲面为平面” ,用勾股定懂得决15【解析】分析：将矩形折叠后得到三棱锥：四周体. 体积最大值为两个面相互垂直求三棱锥的底面积和高即可；求出三棱锥的外接球半径,即可运算表面积；连接 .,.,答案第 7 页,总 20 页名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就.= .,连接 .,.,得到 .= .,利用等腰三角形的三线合一即可；当二面角 .-.- .为直二面角时,以 .为原点 .,.所在直线分别为 .,.轴

28、建立坐标系,借助于向量的数量积解答；找到二面角的平面角运算即可 . 详解：由题意,中,四周体 . 体积最大值为两个面相互垂直,四周体 .- . 体积的1 1 12 24最大值 32 3 4 5= 5,所以不正确；中,三棱锥 .- . 外接球的半径为 52,所以三棱锥 .- . 外接球的表面积为 4. 2 2 =25.,所以是正确的 . 中,如 .,.分别为棱 .,.的中点,连接 .,.,就 .= .,依据等腰三角形三线合一得到 .,连接 .,.,可得 .= .,所以 .,所以是正确的；14中,由二面角 .- .- .的大小为 600时,棱 . 的长为 5,在直角 . 中, .= 4, .= 3

29、, .= 5,12 9作.,.,就 .= .= 5,.= .= 5,7同理直角 . 中,就 .= .- .- .= 5,在平面 . 内,过 .作./.,连接 .,易得四边形 . 为矩形,7就.= .= 5, ./., .,又.,即 . 为二面角 .- .- .的平面角,即 . = 600,12就.= .= 5,由 .平面 .,得到 .,即有 .,就.= . 2 + . 2 =1935,所以是错误的,中,当二面角 .-.- .为直二面角时,以 .为原点 .,.所在直线分别为 .,.轴建立坐16标系,就由向量的数量积可得到直线 .,.所成的角的余弦值为 25,所以是正确的；综上可知正确命题的序号为

30、 . 点睛：此题考查了平面与立体几何的综合应用,解答中涉及到两条直线的位置关系的判定,二面角以及三棱锥的外接球的表面积,以及直线与平面垂直的判定等学问点的综合应用,试题综合性强, 属于中档试题, 着重考查了分析问题和解答问题的才能,以及空间想象才能 . 其中线面的位置关系以及证明是高考的重点内容,而其中证明线面垂直又是重点和热点,要证明线面垂直, 依据判肯定理转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直,或是依据面面垂直 . 16答案第 8 页,总 20 页名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】分析：取 E,F 特

31、别位置可否定,依据线面垂直关系可得正确 .详解：当 E=D 1,F=A 1 时. .1.与平面 .平面 .1. 1不成立,所以错；由于 . 1平面 . 1.1,.在平面 . 1.1内,所以 . 1.；由于 .平面 . 1.1,所以平面 .平面 . 1.1.因此正确 .点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 .1 证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行 .2 证明线面垂直,需转化为证明线线垂直 .3 证明线线垂直,需转化为证明线面垂直 .17 【解析】【分析】用直线与平面平行的性质定理判定的正误；用直线与平面平行的性质定理判定的正误；用线面垂直的判定定理判定的正误；通过面面垂直

32、的判定定理进行判定的正误 .【详解】. .,. .,就. .,.与.可能相交也可能异面,所以不正确； . .,. .,就. .,仍有 .与.可能相交,所以不正确；. .,. .,就 .,满意直线与平面垂直的性质定理,故正确；. .,.,就 . .,也可能 . .,也可能 .= .,所以不正确；故答案为 .【点睛】此题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化,考查空间想象才能才能,属于基础题 .18 60【解析】【分析】第一找到线面角,然后利用三角函数运算角的大小即可 .【详解】如下列图,连结 .,.,交于点 .,连结 .,.,由正方形的性质可知 .,由正棱锥的性质可知 .底面 .,就

33、.,且 .= .,答案第 9 页,总 20 页名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由线面垂直的判肯定理可得 .平面 .由线面角的定义可知. 即为直线 .与平面 . 所成的角,1.= 6,就 .= 6,.= 2.= 3,由三棱锥的体积公式有：13 . . .= 2,就 .= 1, .= . 2 + . 2 = 2,由正棱锥的性质可得 .= .= 2,222+22- 6 1在 BPC 中,由余弦定理可得：cos.2 2 2 = 4,1在 BPE 中,由余弦定理可得：.= 4 + 1 + 2 2 1 4= 2,.3就sin . .= 2, . = 60,即直线 . 与平面 . 所成的角为 60.【点睛】此题主要考查锥体的空间结构,线面角的运算等学问,意在考查同学的转化才能和运算求解才能 .19 证明见解析； 30 .【解析】试题分析：（）方法一：由. 是正方形,得.,再由 .平面 .,得到 .,利用线面垂直的判定定理,即可证得 .平面 .方法二：可依据平面 .平面 .,利用面面垂直的性质,证得 .平面 .答案第 10 页,总 20 页名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）设 .= ., 连接 .,.,得.平面 .